2016年高中数学椭圆离心率求法专题
专题:关于椭圆离心率
22xy设椭圆的左、右焦点分别为，如果椭圆上存在点P，使，,,,10()abFF、1222ab
，求离心率e的取值范围。 ，,:FPF9012
解法1:利用曲线范围
设P(x，y)，又知，则 FcFc(，)，(，),0012
,,
FPxcyFPxcy,，,,()()，，，12
,,
90由，知，，,:,FPFFPFP1212
,,
0则，FPFP,,12
20即()()xcxcy，,，,
222得xyc，,
将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得
2222acab,2x,22ab,
FPF但由椭圆范围及，,:9012 22xa知0,,
2222acab,2a即0,,22ab,
2222222可得，即，且cbcacca,,,,
c2c从而得，且e,,,,e1 a2a
2所以，)e,[12
解法2: 利用基本不等式
由椭圆定义，有 平方后得 2aPFPF,，||||12
2222222 42228aPFPFPFPFPFPFFFc,，，,,，,,||||||||(||||)||12121212
2c12得,所以有，)e,[1 222a
解法3:巧用图形的几何特性
由，知点P在以为直径的圆上。 ，,:FPF90||FFc,21212
又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P
1
2222 故有 cbcbac,,,,,
2 由此可得，)e,[12
练习
一、直接求出或求出a与b的比值，以求解。 ac，e
2222cca,bbc在椭圆中，， e,e,,,,1,222aaaaa
31.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 2
22.已知椭圆两条准线间的距离是焦距的2倍，则其离心率为 2
13.若椭圆经过原点，且焦点为,则椭圆的离心率为 F(1,0),F(3,0)122
14.已知矩形ABCD，AB,4，BC,3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为。 2
22xyP5.若椭圆，,1,(a,b,0)短轴端点为满足，则椭圆的离心率为PF,PF1222ab
2。 e,2
2212xy，,1(m,0.n,0)，,16..已知则当mn取得最小值时，椭圆的的离心率为22mnmn
3 2
22xyMN，，,,,1(0)ab7.椭圆的焦点为F，F，两条准线与轴的交点分别为，x1222ab
，,2MNFF?,若，则该椭圆离心率的取值范围是 ，1,,12,2，,
8.已知F为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF?FA，111
2e,PO?AB(O为椭圆中心)时，椭圆的离心率为。 2
22yx9.P是椭圆+=1(a,b,0)上一点，F、F是椭圆的左右焦点，已知 ，PFF,,,，PFF,2,,12122122ab
3,1e,椭圆的离心率为 ，FPF,3,,12
,,F、F10.已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，若， 则，PFF,15,，PFF,75121221
6椭圆的离心率为 3
2
11.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭2
2圆的离心率为 2
22xy12.设椭圆=1(a,b,0)的右焦点为F，右准线为l，若过F且垂直于x轴的弦，11122ab
1的长等于点。 F到l的距离，则椭圆的离心率是112
22xy13.椭圆(a>b>0)的两顶点为A(a,0)B(0,b),若右焦点F到直线AB的距离等，,122ab
61于?AF?，则椭圆的离心率是。 23
22xy14.椭圆(a>b>0)的四个顶点为A、B、C、D，若四边形ABCD的内切圆恰好过，,122ab
5,1焦点，则椭圆的离心率是 2
22xy，,115.已知直线L过椭圆(a>b>0)的顶点A(a,0)、B(0,b),如果坐标原点到直22ab
6a线L的距离为，则椭圆的离心率是 23
22xyab,,，,16.在平面直角坐标系中，椭圆1( 0)的焦距为2，以O为圆心，为半径a22ab
2,,a2,0作圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= e,,c2,,
ac，二、构造的齐次式，解出 e
31(已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是 52(以椭圆的右焦点F为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M、N两点，椭圆2
3,1的左焦点为F，直线MF与圆相切，则椭圆的离心率是 11
3(以椭圆的一个焦点F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O并且与椭圆交于M、N两点，
3,1如果?MF?=?MO?，则椭圆的离心率是 4(设椭圆的两个焦点分别为F、F，过F作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若?FPF为等1、2212
21,腰直角三角形，则椭圆的离心率是
5(已知F、F是椭圆的两个焦点，过F且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若?ABF1212
3是正三角形，则这个椭圆的离心率是 3
3
22xy6(设分别是椭圆的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为 3c，,,,10abFF、，，1222ab
2( 为半焦距)的点，且，则椭圆的离心率是 FFFP,c1222
三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形。 ,,,,,,,,,,
1(已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离MFFMFMF,,01212
2心率的取值范围是 (0,)2
,2(已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且，椭圆离心率e的F、F，FPF,901212
，,2,取值范围为 ,1,,2，,
,3(已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且，椭圆离心率e的F、F，FPF,601212
1，,取值范围为 ,1,,2，,
22xy，,14(设椭圆(a>b>0)的两焦点为F、F，若椭圆上存在一点Q，使?FQF=120º，121222ab
6 椭圆离心率e的取值范围为,e,13
7?ABCABBC,AB，CcosB,,5(在中，，(若以为焦点的椭圆经过点，则该椭18
3圆的离心率( e,8
22xyab,,0，,16(设FF，分别是椭圆()的左、右焦点，若在其右准线上存在 P,1222ab
，,3使线段PF的中垂线过点F，则椭圆离心率的取值范围是 ，1,,12,3，,
7(如图，正六边形ABCDEF的顶点A、D为一椭圆的两个焦点，其余四个顶点B、C、E、F
3,1均在椭圆上，则椭圆离心率的取值范围是
F EF EF E
A D A D A D
B C B C
4
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