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Cartan型模李超代数H_0_n_Cartan型模李超代数H_0_n_ 3() 型模李超代数0, Car tan H n 穆 强 ( )哈尔滨师范大学 数学科学学院, 黑龙江 哈尔滨 150025 ( ) 摘要: 讨论了素特征域上有限维型李超代数0, 的单性、限制性和结合型.C a r tan H n 关键词: 型李超代数; 单李超代数C a r tan 在本文中, 基域 F 的特征 p > 2, n 为大于 3 的整数. 令 N 为正整数, N0 为非负整数, Z 为 () 整数集, Z= {0, 1} 为整数模 2 剩余类环. 设 ...

Cartan型模李超代数H_0_n_
Cartan型模李超代数H_0_n_ 3() 型模李超代数0, Car tan H n 穆 强 ( )哈尔滨师范大学 数学科学学院, 黑龙江 哈尔滨 150025 ( ) 摘要: 讨论了素特征域上有限维型李超代数0, 的单性、限制性和结合型.C a r tan H n 关键词: 型李超代数; 单李超代数C a r tan 在本文中, 基域 F 的特征 p > 2, n 为大于 3 的整数. 令 N 为正整数, N0 为非负整数, Z 为 () 整数集, Z= {0, 1} 为整数模 2 剩余类环. 设 + n 为 F 上 n 个变元 x , x , , x 的外代数.2 1 2 n () () 显 然 + n 有自然的 Z- 阶化, 使得 + n 是结合超代数. 简记 Y = {1, 2, , n }. 令 B=2 k n ) ) ) ( (( { i, i, , i 1 ? i? i< < i? n }, B n = ?B. 这里 B= Ø . 对 u = i, i, , i|1 2 k 1 2 k k0 1 2 k k = 0 u Ø Ξ ? Bk. 令 u = k , {u } = { i1 , i2 , , ik }, x = x i x ix i , Ø = 0, x = 1. 特别地, 我们记 x || || 1 2 k u ) () () (= x x . 显然{x | u ? B n } 是结合超代数 + n 的一个 F2 基底. 易知 Κn 有自然的 Z21 n 阶化: n () () + n = ? + n i i= 0 u () ) ( 其中 + n i = sp anF {x u ? B n , u = i}.||| u u () () 设D , D , D 是 + n 上的线性变换, 使得D x = 5x ƒ5x , i ? Y. 则D , D , , D 1 2 n i i 1 2 n () 是 + n 上的超导子. 令 n () () W 0, n = {f D | f ? + n , i ? Y }ii i ?i= 1 () () () 则W 0, n 是一个李超代数, 并且是D e r+ n 的一个子代数见参考文献1 . 我们用 deg f() () () 表示 + n 或W 0, n 的 Z2 齐次元素 f 的 Z2 次数. 由文1 知, 在W 0, n 中, 如下公式成 2 2 立: deg f D deg gD ij ()()()() [ f D , gD = f D g D - - 1gD f D 1i j i j j i () 这里 f , g ? + n , i, j ? Y. () () 令D : + n ?W 0, n 为线性映射, 使得H n deg f () () ()()D f = - 1D f D 2H i i ?i= 1 { { () () () () () 令 H0, n = sp anF {D H f | f ? + n }. 在 H0, n 中, 有如下公式成立 见参考文献2 : 收稿日期: 2009207207() ( ) 基金项目: 黑龙江省自然科学基金项目 200802; 黑龙江省教育厅科学技术研究项目 11531247; 哈尔滨师范大A n deg f () () ()( () ()() ) (() () ) 3 D D D f g [D H f , D H g =D H - 1i f D i g =H H ?i= 1 { () () () , f , g 为 + n 中任意的 Z2 2 齐次元素. 由公式 3, H0, n 是李超代数.其中 n- 2 { { { () () () () 容验证, + 阶化诱导了H 2阶化: H - H0, n i , 其中n 的 Z 0, n 的一个 Z0, n = ?i= - 1 { u () () () () H0, n i = sp an F {D H f f ? + n i+ 2 } = sp anF {D H x u = i + 2}|||| { () () = sp an{D x 特别地, H0, n | i ? Y } = sp an {D | j ? Y }.- 1 F H j F j { { () () () 令 H 0, n = H0, n , H0, n . { Ξ () () ()命题 1 H0, n = H 0, n ? F D x .rH u { u () () ()证明 设D x 为H0, n 的一个基元素, 其中 x ? + n . 如果 u < n , 则存在 j ?|| H u u { u u () () () () ()Y , 使得 j | {u }. 于是x x ?+ n , D x x ?H0, n , 并且D x x ?0. 注意到D x j H j H j H u { u () () () ()= D j , D H x j x , 这里 D j ? H0, n - 1. 我们有 D H x ? H 0, n . 这样, 我们证明了 { Ξ () () ()H0, n = H 0, n + F r D x .H { u v () () () 假设存在 H0, n 的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 基元素D H x , D H x 使得 u v Ξ () () () ()[D x , D x = aD x + f 4H H H n- 1 () () 这里 a ? F, a ? 0, f ?? + n . 比较 4式两边的 Z - 次数可知 f = 0, 并且 | u | + | v | =ii= 0 n + 2. 所以{u } 和{v } 至少有两个不同的公共元素. 于是, 对于任意的 y ? Y , 都存在某 j ? u v u v u () () ()() () () Y , 使得 D x 和 D x 中都有 x , 即 D x D x = 0. 由 3式, 我们有 [D x ,i i j i i H v Ξ() () () () D x = 0, 这与 4式矛盾. 这样, 我们就证明了D x 不在 H 0, n 中, 即命题中的是 H H 直和. n- 3 u () () () () 由命题 1 得H 0, n = sp an{D x | 0 < | u | < n }, 并且H 0, n = ?H 0, n 是 Z2F H i i= - 1 阶化的李超代数, 其中 u () () () () ()x H 0, n = sp an{D f | f ? + n } = sp an{D | | u | = i + 2} 5i F H i+ 2 F H () 定理 2 H 0, n 是单李超代数. () () () 证 明 先证明可迁性. 任取 D f ? H 0, n , 其中 k ? N, 则 f ? + n . 若H k 0 k + 2 () () () () () [D f , H 0, n = 0, 则[H 0, n , D f = 0. 故[D , D f = 0, Π i ? Y. 注意到H - 1 - 1 H i H () (() ) (() ) () () [D , D f = D D f , Π i ? Y. 于是D D f = 0, Π i ? Y. 于是D f ? + n ,i H H i H i i 0 () () () () Π i ? Y. 由此得 f ? + n ? + n = 0, 即D f = 0. 因此 H 0, n 是可迁的.0 k + 2 H n () () 再证明不可约性. 设M 是H 0, n 2模H 0, n 的非零子模. 设a D 是M 中任意一0 - 1 ii ?i= 1 () ( 个非零元素, 其中 a i ? F. 不妨设 a 1 ? 0. 取 j ? Y \ {1}, 则 x jD 1 - x 1D j = D H x 1 x j ?H 0, ) n . 直接计算得0 n ()[ x D - x D , a D = a D - a D ?M 6j1 1j ii 1j j1 ?i= 1 () 若 a = 0, 由6式有D ?M . 若 a ? 0, 由假设 n ? 4, 可以取 l ? Y \ { i, j }, 由 x D - x D j j j jl lj() () = D x x ?H 0, n , 所以[ x D - x D , a D - a D = - a D ?M , 即D ?M . 于是, H l j 0 jl lj 1j j1 1l l () 我们证明了存在某 j ? Y , 使得D ?M . 对任意 i ? Y \ { j }, 由 x D - x D = D x x ? j ij ji H j i () H 0, n , 可得0 [ x D - x D , D = D ?Mij ji j i () () 这样, 我们证明了 H 0, n - 1 Α M . 故 H 0, n 是不可约的. () () 设 I 是H 0, n 的任意一个非零理想. 因为H 0, n 是可迁不可约的, 由参考文献2 中 n- 3u () () () () (第二章引理 111 可知 H 0, n - 1 Α I. 我们知道 H 0, n = ?H 0, n . i设D H x 为 H 0,i= - 1 ) n i 中的一个基元素, 其中 i < n - 3. 于是 | u | < n - 1, 则存在 j ? Y , 使得 j | {u }. 注意到 n- 1 u u () () () x x ?? + n . 于是D x x ? H 0, n . 直接计算得j iH j i= 0 u u () () D H x = D j , D H x j x ] ? I n- 4 () () 于是 ?H 0, n i Α I. 特别地, 由假设 n ? 4, 我们有 H 0, n 0 Α I.i= - 1 Ξ() () () (() ) 下面, 我们证明 H 0, n Α I. 由5式, H 0, n = sp an{D D x | i ? Y }. 对 n- 3 n- 3 F H i Ξu (() ) () 任意的 i ? Y , 我们想证明D D x ? I. 取 j ? Y \ { i}, 注意到当 j ? {u } 时, x D x =H i jj u() x . 由3式, 有 ΞΞΞ() (() ) (() (() ) ( () (() )[D x x , D D x ] = D D x x D x = D x D - x D D x H i j H j H H ij j H ji ij j ΞΞΞ(() ) (() )(() ) = D x D D x = D - x D D x = - D D x . H jij H jji H i Ξ() () () (() ) 因为 H 0, n Α I , 因此D x x ?H 0, n Α I , 于是D D x ? I. 这样我们就证明 0 H i j 0 H i () () () 了 H 0, n Α I. 综上, H 0, n = I , 故 H 0, n 是单李超代数.n- 3 () () 命题 3 设 n , m 为正整数, 则 H 0, n ? H 0, m 当且仅当 n = m . u () () () 证明 考虑 H 0, n 的维数. 由引理 1, 有 H 0, n = sp an {D x u < n }. 由D ||| F H H u () () ()的定义易知 k e rD = F 1. 所以H 0, n = sp an{D x 0 < u < n }. 于是 d im H 0, n r||| H F H n = 2- 2. () () () 下面, 我们讨论 H 0, n 的限制性. 因为W 0, n 是 + n 的导子代数的子代数, 所以 () () () () W 0, n 的任意元素都是 + n 上的线性变换, 于是H 0, n 的任意元素都是 + n 上的线性 u u k u () () () () () 变换. 对于任意的D x ?H 0, n , 我们用D x 来表示 + n 上线性变换D x 的 k H H H 次幂. u () () 引理 4 设D x 为 H 0, n 任意一个基元素, 则以下结论成立.H u u p ) () () () () 1如果D x ? H 0, n , 则D x ? H 0, n ;H 0 H u u 2p ) () () () ()2如果D x ? H 0, n , 则D x ? H 0, n .H 1 H u u () () () ) 证明 1假设D x ?H 0, n , 则 | u | 为偶数. 当 | u | = 0 时, D x = 0, 结论显 H 0 H u p v () () 然成立. 当 | u | > 2 时, 断言D x = 0. 事实上, 设x 为 + n 中的任意基元素. 如果{u } ?H u v u p v () () () () {v } = Ø , 由D 的定义易得D } ? {v } ? Ø ,H H x x = 0, 因此D H x x = 0. 如果{u u 2 v u p v () () () () 直接验证知D x x = 0, 故D x x = 0.H H u p u () () 考虑 | u | = 2 的情形. 断言D x = :D x , 其中H H () 1, 当 p ? 1 m o d 4时 : =() - 1, 当 p ?- 1 m o d 4时 u v () 设 x = x x , 其中 i ? j. 设 x 为 + n 中的任意一个基元素. 当 i, j | {v } 时, 显然i j v p v v () () () () () ()D x x x = 0, 于是D x x x = 0 = :D x x x . 当 i ? {v } 并且 j ? {v } 时,H i j H i j H i j 直接计算得 2 v v v v() () (() ) () D x x x = - x D x D x = - x D x = - x H ij ij ji ii 于是, 对任意的非负整数 k , 有 4k v v4k + 2 v v() () () () D x x x = x ; D x x x = - x H i j H i j 所以, 当 i ? {v } 并且 j | {v } 时, 结论成立. 同理可以证明, 当 j ? {v } 并且 i | {v } 时, 结 u v u p v () () () () 论 也成立. 当 i, j ? {v } 时, 直接计算可知 D x x = 0, 于是 D x x = 0 =H H v () () :D x H x i j x . 综上, 结论成立.u u 2p ) () () () 2假设D x ? H 0, n . 则 u 为奇数. 断言D x = 0. 当 u > 2 时, 由引理 || || H 1H u 2p u v () () ()() 中1的证明可知D x = 0 ? H 0, n . 考虑 | u | = 1 时的情形. 设 x = x . 设D x H iH v 2p v () () () () () 为 H 0, n 中任意一个基元素. 如果 i | {v }, 则D x x = 0, 故D x x = 0. 如果 H i H i 2 v 2p v () () () () i ? {v }, 直接验证得D x x = 0, 所以D x x = 0. 于是引理成立.H i H i 参考文献3 给出了限制李超代数的一个等价定义. 3 引理 5设L = L ? L 是李超代数, {f | i ? I } 和{g | j ? J } 分别是L 和L 的基 0 1 i j 0 1 p 2p () () () 底. 如果所有的 adf 和adg 都是L 的内导子, 则L 是可限制李超 代数.i i () 命题 6 H 0, n 是限制李超代数. u u () () () () ()证明 设D x 为H 0, n 的任意一个基元素. 如果D x ?H 0, n , 由公式 3H H 0 和归纳法可知 u p u p(() ) () adD x = adD x H H u p u p u () ()(() ) () () 再由引理 4, D x ?H 0, n . 即adD x 是H 0, n 的内导了. 同理, 如果D x ? H H H u 2p () (() ) () () H 0, n , 那么 adD x 是H 0, n 的内导子. 于是, 由引理 5 可知H 0, n 是限制李超 1 H 代数. () ( 最后, 我们讨论 H 0, n 的结合型. 关于李超代数的结合型, 有如下结论成立 见参考文 )献2 . 2 引理 7设L 是单李超代数, 下列结论成立. ) 1L 上的结合型或者是非退化的, 或者是 0. ) 2L 上的结合型或者全是奇的, 或者全是偶的. u () () , 定义映射 ?: + 使得 ?cx 其中 c? F. 显然 ? 是线性映射., n ? Fu = cΞu ?u () 命题 8 H 0, n 具有非退化的结合型 (() () ) () ()ΚD f , D g = ?f g 7H H () () () 其中D H f , D H g 为 H 0, n 中任意元素. () () 证明 显然 Κ是非平凡的. 注意到 ke rD = Fr 1, 易知 7式定义了函数 Κ: H 0, n ×H () () H 0, n ? F. 显然 Κ是双线性的. 因为 + n 的剩法是超交换的, 所以 Κ是超对称的. 下面证 () () 明 Κ的不变性. 由公式 3和引理 1, 对任意 f , g ? + n , 有 n- 1 () () (() () ) () (() )[D f , D g = D D f g ? H 0, n = D + n H H H H H i ?i= 0 n- 1 () () () 由于 k e r D = F r 1, 由上式可知D f g ?? + n . 故H H ii= 0 (() () ) () ?D f g = 0, Π f , g ? + n H () () () () () 对 H 0, n 中任意的三个元素D H f , D H g , D H h , 利用上式, 直接计算并注意D H g 是 () + n 的导子, 有deg f deg g ( () () () ) () (() () () )Κ[D g , D f , D h + - 1ΚD f , D g , D h ]H H H H H H deg f deg g ((() () ) () ) (() (() () ) )) ΚD D g f , D h +(1ΚD f , D D g h = H H H - H H H deg fdeg g ( (() () ) ) () ((() () ) ) ?D g f h + - 1?f D g h = H H (() () ) ?D g f h = 0.= H 这说明 ( () () () ) (() () () )Κ[D f , D g , D h = ΚD f , D g , D h ]H H H H H H () () 即 Κ是不变的. 由定理 2, H 0, n 是单李超代数. 由引理 7 中1, 可知 Κ是非退化的. () () 0, 0, 推论 9 当n 是偶数时, H n 上非退化结合型均是偶的. 当n 是奇数时, H n 上非 退化结合型均是奇的. () () 证明 由命题 8, H 0, n 有非退化结合型 Κ. 由 ? 的定义, 知 Κ是偶 奇的当且仅当 n () () 是偶 奇的. 再由引理 7 中2, 知结论成立. 参考文献: 1 . 2[. Zh ang Y ZF in ited im en sio na l L ie sup e ra lgeb ra s o f C a r tan typ e o ve r f ie ld s o f p r im e ch a rac te r ist ic J C h ine se Sc i ( ) , 1997, 42 7: 7202724.B u ll 2 张永正, 刘文德. 模李超代数[. 北京: 科学出版社, 2004.M ( ) 3 王颖, 张永正. 限制李超代数的新定义[. 科学通报, 1999, 44 8: 8072813.J ()0, Car tan Type M odular L ie Supera lgebra H n M U Q ian g (), , , 150025, Schoo l o f M a th em a t ica l Sc ience sH a rb in N o rm a l U n ive r sityH a rb inH e ilo ng jiang C h ina : , A bstrac tT h e sim p lic ityth e re st r ic tab ility and a no ndegene ra te a sso c ia t ive b ilinea r fo rm o f ( ) 0, C a r tan typ e L ie sup e ra lgeb ra H n o ve r a f ie ld o f p r im e ch a rac te r ist ic a re stud ied in th is .p ap e r : ; KeywordsL ie sup e ra lgeb ra o f ca r tan typ esim p le L ie sup e ra lgeb ra
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