关于欧拉常数不等式的一个注记
关于欧拉常数不等式的一个注记 2009年11月
第27卷第6期
合肥师范学院
Journa1ofHefeiTeachersCollege Nov.2009
Vo1.27No.6
关于欧拉常数不等式的一个注记
魏长城,肖箭,杨芸,詹婷婷
(安徽大学数学与计算科学学院,安徽合肥230039) [摘要]本文主要研究欧拉常数的不等式,引入新变量u=y(+1)和函数斛()一1—1n(1+专)++
霎(一1[一]用函数()性质,证明T~q:0,1,2,3,4,5时文[1]的猜想正确,改进了文[2],[3]
的相关结果.
[关键词]欧拉常数;严格单调;不等式
[中图分类号]0171[文献标识码]A[文章编号]1674—2273(2009)06—0007—02 1引百
1999年,文[1]基于[2][3][4]基础上,给出了
欧拉常数的一个不等式猜想,猜想如下:对于每一个
正整数,有客i1一ln行一+喜(一1)1}一1儿,一1厶'', +R1()===l()+R1()(g一0,1,2…).
0<(_1)vR)<(_1).?
这里Bzz是贝努里数,其中Bz一吉,B一,Bs一
,…
并且当q为奇数时,()为严格单调递减
于y;当q为偶数时,(n)为严格单调递增于y.
同时,文[1]证明了当q一0,1,2情形时猜想正
确.本文基于文[1],引入新的变量U===Y(Y+1)和
函数g()一1一ln(1+1)+1+ (一害[?一],证明了当q一3, 4,5时猜想正确.
2主要结果和证明
定义1对于函数展开式上et--]一tn ,称
系数b为贝努里数.
注1有时以函数展开式+号=1+ (一1)来定义贝努里数B.
性质1与的关系为:B一(一1),62 一
o,一2(一1)()!妻(2),萎(:)一0.一1k=0\, 注2Bz===百1,
B一,B一1
,
Bs一1
u4,bZU
B.一丽5…B一…
B一丢.
引理1设U—y(y+1),对自然数有(+ 1)讲一一().这里()为"的次多项式. 证明用归纳法证明此引理.
当=0时,计算(+1)耕一3一1,则结论成立. 当一1时,计算(+1)一.计一(+1). 一
Y.一1+3u—f1().结论成立.
假设当一k时,结论成立,即(+1)卅一. 一
(),当===k+1时,计算[(.y+1)一
Y外]((+1)+)一(+1).'抖卅一'抖卅+
(+1)Y[(+1).H—Y.H]
所以有(+1).'抖—Y'抖+一()(1+ 2u)一U2(),又2A()与(z,)均为k+
1次,得上式为U的志+1次多项式. 故由归纳法知引理1成立.
注3
fo()一1,()一1-4-3u,-厂2()一5u*+5u+1, .厂3()一7u.+14u+7u+1, f4()一9u+30u.+27u+9u+1, ()===1lu+55u+77u.+44u+llu+1,
[收稿日期]2OO9一O4—24
[基金项目]安徽省教育厅重点项目(I(J2007A003)
[第一作者简介]魏长城(1984一),男,安徽桐城人,安徽大学数学科学院硕士研究生,
研究方向:微分方程.
7
-,6(一13u-p9lu十18Zu十i56u十65u'十 13u+1.
下面我们证明Yq+()严格单调,采用如下技术 处理.令gq+l():l(+1)一1()一
一
-n(+)+1+q+lc一
(一)c?
则(一一+誊(_1)(
一
)=一去+q+l,州
引理2当q=0时,有g()=一1+B
=
击>0;
当g一埘,有gz()===<o; 当一2时,有g)一>o;
当g:==3时,有(y)=二堡二<o; ,():工691
—
4
—
16
L
6399
——
5
Ubu
g>0;5()=————————>; 当q一5时,有
一二二二
210U1
二3
銎二二墨<0.
一—————————L——<. 引理3当g一1,3,5时,有Fq+()单调递增; 当q一0,2,4时,有(,2)单调递减.
证明当q一1,3,5时,有(<0Klimg()
一0,于是g()>0,因此()单调递增. 当g一0,2,4时,有>o且(1)一13.一ln2<o,
ga(1)一gl(1)+(一1B4(一1)+
譬(一1)--74125Xlo<0, gs(1)=g.(1)+(一1)鲁(一1)+
10(一1)=15182X10一.<0.
于是有g()<0,因此()单调递减.引
理3得证.
定理3设y5()一去一ln()一+
娄(恕2…,
则),一y5()+R(规)其中0<lR() l<.
证明由引理3知结论成立.
3推论
令)一茎1()一+击一
+一瓣1,我们有如下推论.
推论:对每个正整数n(n>1),有
)<),<),()+
y(n)+一<),<)+
691.1
3276n.121'
证明南引理】,2,3可得.
[1]
[2]
[3]
[4]
[参考文献]
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(2):132—135.
RichaMBarshinger.Calculus?andEuleralso[J].Alller.
Math.Monthy,101(1994)244—245.
DSM1trinovic.Analytici,M].SpingerVerlay,1970.
陈纪修等.数学分析I-M].北京:高等教育出版社,1999. OnaNoteoftheEuler'SConstantInequality
WEIChang-cheng,XIAOJian,YANGYun,ZHANTing—ting
(SchoolofMathematicsandComputationalScience,AnhuiUniversity,Hefei230039,China)
Abstract:InthispaperwestudytheEuler'sConstantInequality.Weintroduceanewvariable"
一(.y+1)
and+()一1一
ln(1+.y/
1+/,
y
+
i~l(一1鲁[}一1].Byusingpr.perties.f岛+(),
wepartlyanswertheconjectureL1andimprovetherelatedresultsin[2]r3]. Keywords:Euler'SConstant;strictlymonotone;inequality 8
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