三 多面体和旋转体的体积

三 多面体和旋转体的体积 三 多面体和旋转体的体积 ? 2.7体积的概念与公理 ? 2.8棱柱、圆柱的体积 一、素质教育目标 (一)知识教学点 1(体积的概念与公理5、公理6。 2(棱柱、圆柱的体积公式。 (二)能力训练点 1(理解并掌握公理5及其推论1、2和公理6。 2(理解并掌握棱柱、圆柱的体积公式并会应用它求棱柱、圆柱的组合体的体积。 (三)德育渗透点 1(使学生认识求棱柱、圆柱的体积是人类生产实践的需要，进一步培养学生实践第一的观点。 2(通过公理6(祖原理)把棱柱、圆柱的体积问题转化成可求体积的等积体——长方体的体积问题，使学生懂得一般与特殊间关系及化归的解题意识。 3(通过祖原理的提出比国外早1200年的事实，激发学生的爱国热情。 二、教学重点、难点和疑点 1(教学重点:公理5、6，棱柱、圆柱的体积公式及其应用。 2(教学难点:对公理6的理解及利用公理6、5推出棱柱、圆柱的体积公式。 3(教学疑点:把棱柱、圆柱的体积转化成等积的长方体，这 1 个长方体的存在性。 三、课时安排 1课时。 四、教与学过程 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 (一)体积的概念 师:在生产建设和科学实验中，经常会遇到关于物体体积的问题，这些问题与各种几何体的体积有关，那么什么叫做几何体的体积,: 生:几何体占有空间部分的大小叫做它的体积。 师:同度量长度、面积一样，要度量一个几何体的体积，首先要选取一个单位体积作为 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 ，然后求出几何体的体积是单位体积的多少倍，这个倍数就是这个几何体的体积的数值。通常取棱长等于单位长度(例如1cm、1m等)的正方体的体积作为体积单位。 作为推算体积的基础，我们把下面的两个事实当作公理。 (一)两个公理 公理5 长方体的体积等于它的长、宽、高的积。 V=abc。 长方体 推论1 长方体的体积等于它的底面积s和高h的积。 V=sh。 长方体 推论2 正方体的体积等于它的棱长a的立方。 3V:a 正方面 公理6 夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两上截面的面积总相等，那么 2 这两个几何体的体积相等。 图2—48表示，夹在平行平面α、β之间的两个形状不同的几何体，被平行于平面的任意一个平面所截，如果截面和的面积总相等，那么它们的体积一定相等。 师:公理6的条件有三个:(1)这两上几何体夹在两个平行平面之间;(2)两个几何体被平行于这两个平面的任意平面所截;(3)两个截面的面积总相等三个条件缺一不可，否则不能得出两个几何体的体积相等，三个条件缺一不可，否则不能得出两个几何体的体积相等。 师:我国古代数学家祖 ，早在公元五世纪，就在实践的基础上，总结出这个公理，并首先用这个公理证明人球的体积公式，因而我们把公理6也叫做祖日恒原理，祖日恒比外国人早十二世纪提出这个事实。在古代我国数学家对世界数学发展的贡献也是很大的。 (三)棱柱、圆柱的体积 师:下面我们用以上两个公理来求棱柱和圆柱的体积。 师问:棱柱、圆柱的截面有什么性质, 生:平行于底面的截面与底面相等。 师:设棱柱与圆柱的底面积都为S、高都为h，根据祖日恒原理， 那么它们的体积相等，但等于多少呢,为此还必须引进一个底面积为S、高为h的长方体，而这样的长方体、棱柱、圆柱的体积都相等。由公理5的推论1和V =Sh，于是得到下面的定理: 长方体 定理 柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的底面积S和高h的积。 3 V=Sh。 柱体 2推论 底面半径是r,高是h的圆柱的体积是 V=πrh。 圆柱 (四)例题 例1 有一堆相同规格的六角螺帽毛坯(图2-50)共重5.8kg,已知底面六边形的边长是12mm，高是10mm，内孔直径是10mm 。 3问约有毛坯多少个(铁的比重是7.8g/cm)。 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 :要先求出一个螺丝帽的体积，而一个螺丝帽的体积等于一个正六棱柱与一个圆柱体积之差。象这样，由若干个简单体组合而成的几何体，叫做组合体。求组合体的关键是掌握简单体的体积公式。这是一个实际题，是属于近似计算的，由于所给的数据都具有两位有效数字，因此运算过程中都取三位有效数字，结果取二位有效数字。 解:六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积之差。 233V=?3/4×12×6×10?3.74×10(mm), 正六棱柱 233V=3.14×(10/4)×10=0.785×10(mm) 圆柱 毛坯的体积V 33 =3.74×10-0.785×10 33?2.96×10(mm) 3=2.96(cm) 25.8×103?(7.8×2.96)?2.5×10(个) 例2 三棱柱的底面是?ABC，AB=13cm,BC=15cm,CA=12cm,侧棱AA′的长是20cm，如果AA′与底面所成的角是60?，求这个三棱柱的体积。 4 分析:求三棱柱的体积先要求棱柱的底面积和高。 解:设A′在平面ABC上的射影为H，则A′H是棱柱的高，?A′AH=60?(图2-51) 在Rt?A′AH中 ?AA′=20， ?A′H=AA′sin60?=10?3 在Rt?ABC中，AB=3，BC=5，CA=12， 222? AB=BC+CA, ??C=90? 2? S=1/2BC.CA=30(cm) ?ABC 根据柱体的体积公式，得 3V=Sh=30×10?3=300?3(cm). 课堂练习 1、用棱长为1的正方体的体积作为体积单位。图2-47中长方体体积为24，假如将体积单位改用棱长为2的正方体的体积，这个长方体的体积为多少,为什么, 解:这个长方体的体积为3，因为新体积单位的体积是原来的8倍，所以长方体的体积是新体积单位的24/8=3倍。 2、一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积相等，比较它们的体积哪个大,大多少, 解:设正方体棱长为x,则圆柱的高h=x. 23?S=4x V=x S=2πrx 正方体侧正方体圆柱侧 ?S=S， 正方体侧圆柱侧 2?2πrx=4x r=2x/π 222?V=πrx=π(2x/π)x=4/πx 23V/V=(4/πx)/x=4/π>1 ?圆柱体积大。 圆柱正方体 圆柱体体积是正方体体积的4/π倍。 5 (六)总结 这节课我们学习了公理5、6及公理5的两个推论，学习了棱柱、圆柱的体积公式及这些公式的简单的应用。 五、作业 P(98中2、3、4、7、8、11 六、板书设计 ?2.3 棱锥、圆锥的体积 一、素质教育目标 (一)知识教学点 1、等底面积等高的两个锥体体积之间的相等关系。 2、棱锥、圆锥的体积公式。 (二)能力训练点 1、理解并掌握等底面积等高的两个锥体的体积相等。 2、理解并掌握棱锥、圆锥的体积公式并会应用它解有关的问题。 (三)德育渗透点 1、使学生认识求锥体体积是人类生产实践的需要，进一步培养学生实践第一的观点。 2、通过等底面积等高的锥与柱的体积关系的实验及证明，向学生提示认识事物先感性认识、后理性认识的规律。 3、通过用割补方法推导锥体体积公式，让学生了解事物间的内在联系、进而提高数形结合的解题意识。 6 二、教学重点、难点 1、教学重点:锥体体积公式及其应用。 2、教学难点:锥体体积公式的证明。 三、课时安排 1课时。 四、教与学过程设计 (一)引入新课 (问题提出)。在仓库一角有谷一堆呈1/4圆锥形(如图2-52)，量得底面弧长为2.8m，母线长为2.2m，这堆谷重约多少(谷的比 3重720kg/m), 师:这问题的关键是求这堆形谷的体积，先来做一个实验，等底面积、等高的圆柱形和锥形容器各一个，把圆锥容器装满细沙倒入圆柱中，连续三次，发现刚好装满圆柱，由这个实验可得出什么结论, 生:V=1/3V 圆锥圆柱 师:若把实验中的圆柱形、圆锥形容器改为三棱柱、三棱锥(条件:底面积相等、高相等不变)可得什么结论, 生:V=1/3V 三棱锥三棱柱 师:我们先研究等底面积、等高的任意两个锥体体积之间的关系。 取任意两个锥体，设它们的底面积都是S、高都是h(图2-53) 图2-53 把这两个锥体放在同一平面α上，这时它们的顶点都在和平 7 面α平等的同一个平面内，用平行于α的任意平面去截它们，截面分别与底面相似。设截面和顶点的距离是h，截面积面积分别是 2222S、S，那么，S/S=h/h,S/S=h/h 121121 ? S/S=S/S S=S 1212 根据祖日恒 原理这两个锥体的体积相等。 定期 等底面积等高的两个锥体的体积相等。 现在，我们来证明三棱锥的体积公式。 定理 如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积是 V=1/3Sh. 三棱锥 分析:由实验知 V=1/3V。(三棱柱的底面积为S，高三棱锥三棱柱 为h)，因此我们可考虑把三棱锥1以?ABC为底面、AA′为侧棱补成一个三棱柱，然后再把这个三棱柱分割成三个三棱锥1、2、3(如图2-54)(借助模型)。 三棱锥1、2底?ABA′、?B′A′B面积相等，高也相等(顶点都是C);三棱锥2、3的底?BCB′、?C′B′C的面积相等，高也相等(顶点都是A′)， ?V=V=V=1/3V 123三棱柱 ?V=Sh 三棱柱 ?V=1/3Sh 三棱锥 证明过程的书写见课本。(让学生看书3分钟。) 最后，因为和一个三棱锥等底面积等高的任何锥体都和这个三棱锥的体积相等，所以我们得到下面的定理: 8 定理 如果一个锥体(棱锥、圆锥)的底面积是S，高是h，那么它的体积是 V=1/3Sh 锥体 推论 如果圆锥的底面半径是r，高是h，那么它的体积是 2V=1/3πrh 锥体 接下去我们来计算这堆谷的重量问题。 解:圆锥底面周长=4×2.8=11.2(m) 圆锥底面半径r=11.2/2π?11.2/2×3.14=1.78(m) 22圆锥的高h=?2.2-1.78?1.29(m) 23谷堆的体积=1/4×1/3×3.14×1.78×1.29=1.07(m) 谷的重量=1.07×720?770(kg) 例2 正四面体P—ABC的高为h,M的底面ABC内部的点，M到三个侧面PAB、PBC、PCA的距离分别为h、h、h，求h+h+h123123的值。 分析:先考虑这样一个问题:设等边三角形的高为h，M是边BC上的点，M到边AB、AC的距离分别为h、h，则h、h与h有1212什么关系,为什么, 生:h+h=h 12 证法一:连AM则 S?=S?+S? ABCABMACM =>1/2BC.h=1/2AB.h+1/2AC.h=>h+h=h 1212 证法二:h+h=MbsinB+McsinC=Bcsin60?=h. 12 证法三:作MN?AC交AB于N，作BD?AC于D交MN于G(图2-55)，易知h=DG而?BMN为正三角形，故h=BG，故h+h=BG+GD=h. 2212 从中我们能有什么启发, 9 仿证法一，解为下: 设正四面体P—ABC的一个面的面积为S、连MP、MA、MB、MC。 则VM-PAB+VM-PBC+VM-PCA=VP-ABC =>1/3Sh+1/3Sh+1/3Sh=1/3Sh 123 =>h+h+h=h. 123 师:若M为正四面体内任一点，它到四个面的距离分别为h、1h、h、h;则h、h、h、h与h有什么关系,为什么,(让学生2341234 课后思考。) 让学生看课本P.102中例1、2。 (练习2动笔证，其余用口答形式。) (三)总结 这节课我们学习了三个定理及一个推论，其中定理V三棱锥=1/3Sh的证明是一个难点。先补后割，割后的三个三棱锥有两两等底等高的关系要分辨清楚。例2是用割补法解题的又一例子。 五、作业 P.103中习题十三3-8 六、板书设计 ?2.10 棱台、圆台的体积 一、素质教育目标 (一)知识教学点 棱台、圆台的体积公式 10 (二)能力训练点 1、理解并掌握棱台、圆台的体积公式并会应用它解有关的问题。 2、了解柱体(棱柱和圆柱)、锥体(棱锥和圆锥)、台体(棱台和圆台)有区别又有联系，可以转化。 德育渗透点 (三)通过柱体、锥体、台体间的区别、联系及转化关系的教学，提高学生从事物间的联系和变化中来认识事物的能力。 二、教学重点、难点 1、教学重点:棱台、圆台的体积公式及其应用。 2、教学难点:用S、S′、h表示截去的锥体的高。 三、课时安排 1课时 四、教学过程的设计 (一)引入新课 师:什么叫做棱台、圆台, 生:用平行于棱锥(圆锥)、底面的平面去截棱锥(圆锥)，底面和截面之间的部分叫做棱台(圆台) 师:此定义可理解为棱台、圆台分别是棱锥、圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的，而锥体的体积我们已经会计算，因此台体的体积可以用两个锥体的体积差来计算。 若已知台体的上、下底面的面积分别是S′、S，高是h，那么这个台体的体积是多少, 设截得台体时去掉的锥体的高是X，去掉的锥体和原来的锥体 11 的体积分别是V′、V(如图2-57)。 这时V′=1/3 S′x V=1/3S(h+x) ?V= V- V′ 台体 =1/3S(h+x)-1/3 Sx =1/3[Sh+(S- S′)x]. 师:表达式还含未知数x，能否进一步用S、S′、h来表示x呢,注意原锥体与去掉的锥体有什么关系, 生:相似关系。 师:相似形有什么性质, 生:对应面积比等于相似比的平方比。 22故S′/S=x/(h+x) ?s/?s=x/h+x x=?s′h/?s-?s′ 1 代入上式，得 V=1/3h[s+(s-s′) ?S′/?s-?s′]=1/3h[s+?ss′+s′] 台体 因此我们得到下面的定理: 定理 如果台体(棱台、圆台)的上、下底面的面积分别是s′、s，高是h，那么它的体积是V=1/3h(s+?ss′+s′) 台体 推论 如果圆台的上下底面半径分别是r′、r，高是h，那 2么它的体积是V=1/3πh(r+?rr′+r′). 圆台 最后，我们注意到，在台体的体积公式中若设S′=S，就得到柱体体积公式V=Sh;若设s′=0，就得到锥体体积公式V=1/3Sh。 柱体锥体 这样，柱体、锥体、台体的体积这间可表示为下图: 12 例1 有一个正四棱台形油槽，可以装煤油190升，假如它的两底面边长分别等于60cm和40cm，求它的深度。 2解:? 上底面面积S′=40=1600， 2下底面面积S=60=3600， 22?SS′=?40×60=2400， ?V=1/3h(3600+2400+1600)=7600/3h 3由已知V=190升=190000cm ?h=3×190000/7600=75(cm) 答:油槽深度是75cm. 例2 表面积为16π的球内切于一圆台，已知此圆台侧面展开图的圆心角为216?，求这个圆台的体积。 解:?球的表面积为16π， ?球的半径R=2。 ?圆台的高h=2R=4 (师:球体积还需求两底半径。) 设圆台上、下底面半径分别为r、r′则其母线L=r+r′。 依题意r-r′/L=216/360=3/5 r-r′/r+r′=3/5 ?4r′„? (师:r、r′两个未知数才得一个方程，还要设一个方程。相比条件怎么用、它有什么性质,) 如图2-58在Rt?AOD中由OE?AD得 2OE=DE.AE rr′=4 ? 解??得r=4, r′=1. 22?V=π/3×4(4+4×1+1)=28π. 圆台 答:此圆台的体积为28π。 13 (二)练习 R(107中练习。习题十四1、5 (三)总结 这节课我们学习了棱台、圆台的体积公式及柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系。 五、作业 P(107中习题十四2、3、4、7、8、9。 复习一下P.79中习题4。 板书设计 ?2.11 球的体积 一、素质教育目标 (一)知识教学点 球的体积公式。 (二)能力训练点 22 1、充分分析平行于半球截面面积表达式S=πR-πL的几何意义、特征，从而找出满足祖日恒原理又可计算体积的几何体，提高学生分析问题、解决问题的能力。 2、掌握球的体积公式，并会应用它解决有关的问题。 (三)德育渗透点 通过先用实验方法进行验证，然后再用证明球的体积的方法，使学生懂得对事物的认识往往是先有感性认识，然后再从理论上去证明，进而把感性认识提高到理性认识，这就是认识事物的规律。 二、教学重点、难点 14 1、教学重点:球的体积公式及其应用 2、教学难点:球的体积公式的证明,特别是找那个满足祖日恒原理又可计算体积的几何体。 三、课时安排 1课时。 四、教与学过程设计 (一)引入新课 师:我们前面学习了公理5及其推论，又学习了祖日恒原理(公理6)，并以这两个公理为基础推出了柱体、锥体的体积，这一节课我们要应用祖日恒原理推出球体的体积公式。 先做这样一个实验:取一个半径为R的半球，再各取一个底面半径与高都是R的圆柱桶和圆锥，先把圆锥放入圆柱桶内，再将半球里面装满细沙，把这些细沙倒入圆柱桶内，这时圆柱桶恰好装满，(见图2-59)，这个实验给我们什么启示, 333V=V-V=πR-1/3πR=2/3πR 半球圆柱圆锥 2故V=2V=4/3πR 球半球 我们回忆一下祖日恒原理(请一位学生叙述原理的内容)，求球的体积关键是的一个满足原理又可计算体积的几何体，这个几何体的形状应是怎样的,先观察与半径为R的半球底面平行，且与 2222底面距离为L的截面面积S=πR-πL，而πR=πL可能作一圆环面积，其中圆环的大圆半径为R对任意截面不变，故底面半径为R的圆柱满足;小圆半径要等于L，轴截面为等腰直角三角形的倒圆锥具有这性质，这就启发我们用祖日恒原理可以这样推导: 取一个底面半径和高都等于R的圆柱，从圆柱中挖去一个以 15 圆柱的上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体和半球放在同一个平面α上(图2-59)，因为圆柱的高等于R，所以这个几何体和半球都夹在两个平行平面之间。 用平行于平面α的任意一个平面去截这两个几何体，截面分别是圆面和圆环面，如果截面与平面α的距离为L，那么圆面半径 22r=?R-L，圆环面的大圆半径为R，小圆半径为L(因为?O′OB1是等腰三角形)。因此: 2a2S=πR=π(R-L)， 圆 22a2S=πR-πL=π(R-L) 圆环 ?S=S。 圆圆环 根据祖日恒原理，这两个几何体的体积相等，即:1/2V=π球223 R.R-1/3πR.R=2/3πR 3?V=4/3πR 球 因此，我们得到下面定理: 3 定理 如果球的半径是R，那么它的体积是 V=4/3πR球 3注重:?S=4πR， ?V=1/3 SR，其形式与锥体球表面积球球表面积 的体积公式相似。 例1 有一种空心钢球，重142kg，测得外径等于5.0cm，求它 3的内径(钢的比重是7.9g/cm) 解:设空心钢球的内径为2xcm，那么钢球的重量是7.9[4/3 23π(5/2)-4/3πx]=142. 2X3=(5/2)-142×3/7.9×4π?11.3 ?x?2.24 2x?4.5(cm). 答:空心钢球的内径为4.5厘米。 16 例2 将半径分别为1cm、2cm、3cm的三个锡球熔成一个大锡 球，求这个大锡球的表面积。 解:设大锡球的半径为R，表面积为S。 3323则4/3πR=4π×1+4/3π×2+4/3π×3 33得 R=36 R=?36 23232S=4πR=4π(?36)=24?6π(cm). 32答:这个大锡球的表面积是24?6πcm (二)练习 课本P.110中1、2。 (三)总结 这节课我们学习了球的体积公式及公式的应用。 四、作业 课本P.113中习题十五1-6。 五、板书设计 球的体积 3球的体积公式 V=4/3πR) 例1„„ 例2„„ 第二章 多面体和旋转体 一 多面体 ?2.1 棱柱 一、素质教育目标 (一)知识教学点 1、棱柱的概念及性质。 2、平等六面体，长方体的概念及长方体的性质。 3、直棱柱直观图的画法 17 4、棱柱侧面积的计算 (二)能力训练点 1、在学习棱住概念和性质过程中，努力提高学生的观察、抽象和概括能力。 2、通过直棱柱直观图的画法的教学，进一步提高学生的作图和识图能力。 3、通过直棱柱侧面积公式的教学，进一步增强学生把空间形转化为平面图形的意识，使学生进一步掌握化归的数学思想和方法，以提高学生分析问题、解决问题的能力。 (三)德育渗透点 1、棱柱概念的形成，是从特殊到一般、具体到抽象的过程;通过教学使学生初步认识辩证唯物主义认识论的观点。 2、通过四面体、平行六面体、直平行六面体、长方体、正方体之间相互关系的教学，使学生树立普遍联系的唯物主义观点。 3、通过运用侧面积公式计算生产实践中具体零件的面积，使学生懂得数学对工、农业生产的意义，激励学生努力学好数学，将来为祖国的“四化”建设做出更大的贡献。 二、教学重点、难点、疑点及解决办法 1、教学重点:理解棱柱的概念，掌握棱柱的性质及直棱柱侧面积公式，能利用性质及侧面积公式解决有关问题。 2、教学难点:直棱柱直观图的画法 3、教学疑点:直棱柱的判断，注意引导学生严格按定义 三、课时安排 本课题建议安排3课时 四、教与学过程设计 第一课时节棱柱的概念及性质 (一)引入 将画有图2-1、图2-2、图2-3的小黑板挂出 18 师:今天这一节课我们学习棱柱的概念和性质(给出课题)，以上三个图形所表示的模型均为棱柱，下面我们一起来研究它们的共同特点。 (二)棱柱及有关概念的定义 师:大家注意到图2-1到图2-3所表示的几何本均由一些面围成，而面与面之间有交线，因此可以从“面”和“线”两个角度去找它们的特点，先观察图2-1。 (1)首先看面:从面和面的关系及面的开头引导学生讨论，得出结论;有两个面互相平行，其余各面为四边形。 (2)再看线:从线与线之间的引导学生得出结论:每相邻两个四边形的公共边都互相平行。 让学生就图2-2，图2-3分析是否也有以上两条特点， 请一位同学叙述棱柱的定义(注意纠正学生的表达) 然后由师板书。 请同学们阅读课文P.51第7行到P.52第3行。 就图2-4请同学们说出部分点、线、面的名称(或说出名称请学生找点、线、面) (三)棱柱的表示法 师:棱柱的表示方法有两种，一种用底面各顶点的字母表示，如图2-4中的棱柱可表示为棱柱ABCD-ABCD，或者用表示一条对1111 角线的两个端点的字母表示，如图2-4中的棱住也可表示为棱柱D、B(强调一定要冠以“棱柱”两字) (四)棱柱的分类 师:棱柱根据侧棱和底面的关系分为两种:一种当侧棱与底面不垂直时，称为斜棱柱;另一种当侧棱与底面垂直时，称为直棱柱，直棱柱的面若为正多边形则称为正棱柱。 即: 斜棱柱(侧棱与底面不垂直) 19 棱柱 直接柱(侧棱与底面垂直) 正棱柱 直棱柱 让学生就图2-1到图2-4 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 哪些是直棱柱，哪些是斜棱柱，哪些是正棱柱。 问题1.有一个侧面是矩形的棱柱是不是直棱柱,有两个侧面是矩形的棱柱是不是直棱柱,有两个相邻是矩形的棱柱是不是直棱柱, 师:我判断一个棱柱是否是直接棱柱主要看侧棱与底面是否垂直，引导学生从线面垂直的判定了发，就问题中所给三个不同条件进行论证，得出结论。 生:第一种情况不一定是直棱柱;第二种情况也不一定是直棱柱;第三种情况一定是直棱柱。 师:根据棱柱多边形的边数棱柱又可分为:三棱柱、四棱柱、五棱柱„„ 问题2.哪一种棱柱的表示法只能有一种, 生:三棱柱(因为三棱柱没有对角线) 问题3 如果五棱柱的底面是正五边形，那么它是正五棱柱吗, 生:不一定 师(强调):正棱柱首先要是直棱柱 (五)棱柱的性质 师:请同学们就图2-4考虑侧棱长有何关系,为什么, 生:相等，因为夹在平行平面间的平行线段相等。 师:棱柱的侧面是否平行四边形,为什么, 生:是平行四边，因为侧棱平行且平相等。 师:棱柱的上、下底面多边形是否全等,为什么,用一个平行底面的平面去截棱柱截面与上、下底面的关系如何, (引导学生考虑对应角、对应边的关系，讨论后回答)。 20 生:全等 师:图2-4中过AA，CC的截面是什么图形,为什么, 11 生:平行四边形，因为AA CC 11 根据以上讨论总结棱柱的三条性质。 (六)小结 本节课我们通过观察特殊的棱柱所具有的特点，得到棱柱两大共性，因而给出棱柱的定义，又通过棱柱的分类给出直棱柱、斜棱柱及正棱柱的概念，最后由定义出发还得到棱柱的三条性质，这些概念及性质，都是我们解题的依据。希望大家要记好。 (七)练习 课本P、53中的练习1、3。 五、作业 课本P、57中习题七1、2、3。 六、板书设计 1、用小黑板画好图2-1，图2-2，图2-3，图2-4。 第二课时 长方体 一、教与学过程设计 (一)复习提问 1、棱柱的定义中，强调了棱柱的二个特点，它们分别指什么, 2、棱柱分为斜棱柱、直棱柱的依据是什么, 3、棱柱有三条性质，它们所涉及的对象各是什么, 生1:有二个面互相平行，其余各面均为四边形;侧棱互相平行。 21 生2:侧棱与底面是否垂直。 生3:第一条性质是侧棱、侧面;第二条是上下底面与平行于底面的截面;第三条是过不相领的棱的截面。 (二)新课引入 师:今天我们专门来研究最常见的棱柱长方体，首先请同学们阅读课文P、53中倒第5行到第2行。 (三)长方体的概念 师:请同学们根据刚才阅读的内容在以下横线上方的括号内填上相应的内容。 棱柱( )四棱柱( )平行六面体 ( )直平行六面体( )长方体 ( )正方体 (请一位同学板演。) 师:刚才我们从棱柱这个图形出发逐步附加条件最后得到正方体。这一过程中每后面的图形都是前面图形的子集。大家不难发现附加条件越多图形所涉及的范围就会越小。解题时可根据已知图形的定位往箭头相反方向推出它所具备的性质。 例1 设M={正四棱柱}，N={直四棱柱}，P={长方体}，Q={直平行六面体}，这些集合的关系是( ) (A)MCPCNCQ， (B)MCPCQCN， (C)PCMCNCQ， (D)PCMCQCN 师:抓住各图形底面形状来考虑。(选B) 例2 斜面棱柱的侧面最多可有几个面是矩形( ) (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 师:可以有两个相对的侧面为矩形，故选(C) 例3 一个棱柱是正四棱柱的条件是( ) (A)底面是正方形，有两个侧面是矩形 (B)底面是正方形，有两个侧面垂直于底面 (C)底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直 22 (D)每个侧面都是全等的矩形的四棱柱 师:我们要紧紧抓住正四棱柱的底面是正方形，侧检与底面垂直这两个特点来逐个答案进行考试(让学生讨论后，帮助总结) 条件(A)无法保证侧棱与底面垂直;条件(B)一样无法保证侧棱与底面垂直;条件(C)的后半部分可以保证侧棱与底面垂直，前后两部分结合可得底面是正方形，故选(C);条件(D)的底面可以是菱形，故不能选。 (四)长方体的性质 例4 已知长方体ABCD-ABCD中AA=a,AD=b, 1111111 AB=c,求对角线AC的长。 111 师:要求对角线AC的长，必须把它纳入某一个三角形中，为1 此我们连结AC，则得Rt?AAC?(?AA?面AC,且ACC面AC,?AA111 22222?AC.)在?RtABC中AC=AB+BC=c+b。 2222故可求得AC=a+b+c(具体求解由学生自己完成) 1 师:例题4写成命题的形式就是课本P、54的定理，请同学阅读。 例5 已知长方体的对角线AC1与三条棱AD、AB、AA1所成 222的角分别为a、β、γ，求证:cos+cosβ+cosγ=1。 222师:(分析)要证cosa+cosβ+cosγ=1，首先就当考虑将 222cosa、cosβ、cosγ表示成线段比的形式，为此应把a、β、γ分别纳入Rt?C DA，Rt?C，BA，Rt?CAA中(它们为什么是Rt1111 222222?,)然后得cosa=AD/AC cosβ=AB/AC cosγ=AA/AC，再212111利用长方体的性质定理，即可得证。 小结:由例4、例5可得在立体几何中，求线段长及角的三角函数问题时，总是先拭到它纳入三角形，再通过解三角形来处理，这一规律，望大家能很好的去体会。 23 (五)总结 1、本节课从四棱柱出发，通过附加条件得到平行六面体、直平行六面全、长方体、正方体、我们判断特殊四棱柱应从它们的底面，侧棱与底面的关系以及棱长等三个方面进行综合分析。 2、长方体对角线的长的平方是等于同一个顶点的三条棱的平方和。 3、立体几何中求角的三角函数值问题，求线段长问题，总是归结到三角中去处理。 (六)练习 P.54练习1、2 二、作业 课本P.58中4、5、9 补充:已积压长方体的对角线与过其一个端点的三个面所成 22的角分别为a、β、γ，求证:cos+cosβ+cosγ=2 长方体 (一)长方体及有关的概念 棱柱( )四棱柱( )平行六面体 ( )直平行六面体( )长方体 ( )正方体 (二)长方体的性质 定理:长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和. 第三课时 直棱柱直观图的画法及侧面积 一、教与学过程设计 (一)复习引入 师:在第一章中我们学过水平放置的平面图形的直观图的画法，所采用的方法叫做斜二测画法，它有三条规则，请同学们一 24 起回忆一下。(请一位同学回答，其他同学补充) 生:(1)在已知图形中的互相垂直的轴ox、oy，画直观图时，把它画成对应的轴oˊxˊ，oˊyˊ，使?xˊoˊyˊ=45º(或135º)。 (2)已知图形中平行于X轴或Y轴的线段，在直观图中分别画成平行于Xˊ轴或Y轴ˊ的线段。 (3)已知图形中平行于X轴的线段，在直观图中保持原长度不变;平行于Y轴的线段，长度为原来的一半。 (二)直棱柱直观图的画法 师:请同学们画一个边长为2cm的正六边形的直观图。(教师以放大10倍后，同时在黑板上画出。) 师:请同学们在所画的图形中再画上一条轴Oˊzˊ使 ?zˊoˊxˊ=90º, ?zˊoˊyˊ=45º,然后分别过A′，B′，C′，D′，E′，F′作Oz′轴的平行线，并在其上截取3cm长的线段，最后依次过线所得的点。 师:(待学生画好后)，大家所画的图形就是底面边长为2cm，高为3cm的正六棱柱的直观图。下面请一位同学来总结直棱柱直观图的画法，让学生举手挑选程度高的同学回答。(只要说出 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 即可) 生:先画底面的直观图，接着画O′z′轴，使?xˊoˊzˊ=90º，再过底面各顶点作O′z′轴的平行线并截取等于高的线段长，最后依次连结各截点，并去掉辅助线，所遮挡部分为虚线。(学生表示不清时教师可提示。) 思考题:如何画斜棱柱的直观图。(Oz′轴不垂直于oˊXˊ) (三)直棱柱的侧面积 师:下面我们来学习怎样计算直棱柱的侧面积。大家思考直 25 棱柱的侧面都是些什么样的图形。为什么,(学生回答“矩形”，因为侧棱垂直于底面)，如果我们沿一条侧棱剪开后展在一个平面上，将得到一个什么样的图形(矩形),请同学们看课本P、56的图2-8，所得矩形的长和宽各为多少,(长等于棱柱的底周长，宽等于直棱柱的高)，请一位同学说说直棱柱侧面积的计算公式。(教师板书) 生:直棱柱的侧面积等于底周长乘以高。 师:请同学们阅读读本P、56例题1。这道例题为我们提供了求斜棱柱侧面积的公式，其证明过程也提供了我们求斜棱柱侧面积的方法，大家说说看这个方法是什么,(逐面计算法)。另外请大家从图形分割、拼凑的方向思考这道题有没有更好的证明方法。(请一位同学回答) 生:把图形沿直截面切断，上、下底面沿对应边叠放便得到一个直棱柱，然后利用直棱柱的侧面积公式即得。 师:(总结)刚才这位同学提供的方法叫做割补法，通过割补使斜棱柱问题转化为直棱柱问题，使问题得到非常完美的解决。所以我们看问题不要用静止的、孤立的眼光，要用运动的、变化的联系的观点来思考。 例2 长方体ABCD-ABCD与AB=3，AD=2，CC=1，一条绳子11111 从A沿着表面拉到点C1绳子的最短长度是( ) (A)?13+1 (B)?26 (C)?18 (D)?13 师:我们知道平面内两点之间线段最短，只可惜我们的问题是在空间讨论，那么能不能把问题由空间转化为平面呢,(让学生思考，并引导学生将长方体的面展成平面图形，再进行计算比较。)选(C) 例3 一个斜三棱柱的底面是边长为5的正角形，侧棱长为4，若其中一条侧棱和底面三角形的两边都成45º角，求这个棱柱的侧面积。 师:分析(一)因所给棱柱是斜棱柱，故可考虑作直截面为 26 此过B作BD?AA于D，连结DC，因?BAD??CAD,(两边夹11111111角相等)??ADC=?ADB=Rt?. 11 11 ?面BCD?AA又BD=CD=5×cos45º=5?2/2 11111 于是得直截面周长为5(?2+1)，利用例1结论即可。分析(二)由(一)可行AA?BC，?四边形B1BCC1是矩形，面积为111 20，然后过A分别做AE?A1B1于E，AF?A1C1于F，可求得AE=AF=5，sin45º=5?2/2.所以又可算出另外两侧面面积，问题也得到解决。 (四)总结 1、直棱柱直观图的画法，直棱柱侧面积公式，斜棱柱侧面积公式，棱柱侧面积计算方法(逐个侧面算，这是最本质的方法)。 2、空间图形化归平面图形的思想和方法，割补的思想和方法。 (五)练习 课本P、57中练习1、2。 二、作业 课本P、58中习题七6、7、8、10、11、12。 三、板书设计 ?2.2 棱锥 一、素质教育目标 (一)知识教学点 1、棱锥的概念及性质。 2、正棱锥的概念及性质。 3、正棱锥直观图的画法。 4、正棱锥的侧面积。 (二)能力训练点 27 1、在理解并掌握棱锥概念及性质的过程中，努力提高学生观察、抽象和概括能力。 2、过正棱锥直观图画法的教学，进一步提高学生作图、识图能力，为发展学生作图、识图能力，为发展学生的空间能力奠定良好的基础。 3、正棱锥的性质2揭示了如何把空间问题转化为平面几何问题的奥秘，通过教学可培养学生分析立体图形的能力。 (三)德育渗透点 1、棱锥的形象是非常的美，教学过程要注意挖掘图形的美育潜能，给学生以美感教育。 2、正棱锥的性质2是转化正棱锥计算问题为平面计算问题的桥梁，通过它使空间问题和平面问题这对矛盾得以统一，教学过程要注意帮助学生树立统一的辩证唯物主义观点。 3、正棱锥侧面积公式的获得，是将空间图形展成平面图形的结果，教学过程要注意培养学生运用运动变化的观点来分析问题的思维方式。 二、教学重点、难点、疑点及解决办法 1、教学重点:正棱锥的概念及性质和有关平行于底面的截面的问题。 2、教学难点:正棱锥的直观图的画法。 3、教学疑点:一般棱锥侧面积的计算，要逐个侧面算出再求和。 三、课时安排 本课题建议安排2课时。 四、教与学过程设计 第一课时 棱锥的概念和性质 (一)引入 师:埃及与我们国家一样堪称世界文明古国。其最具有象征意义的是金字塔，它是古埃及人民智慧的结晶，它的形状给我们 28 以棱锥的形象。今天我们学习棱锥，不仅要感受它的形象美，还要探究它的内在美。(激发学生的学习热情。) (二)棱锥的概念及基本元素 (把画有图2-9、图2-10、图2-11的小黑板挂出) 师:请同学们注意观察图2-9到图2-11，它们的各个面有什么特点, 生1:有一个面是多边形，其余各面都是三角形。 生2:(补充)三角形的面有一个公共点。 师:棱锥的特点是:有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形。正同请一位同学来说说什么是棱锥。 生:有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的的几何体叫做棱锥。(注意纠正学生的表达) 师:下面请同学们找开课本P、59阅读课文，注意棱锥有哪些元素, 然后，就图2-9请同学们说出具体的线段、面点的名称，也可以说出棱锥的元素，让学生在图形中找出具体的线段、面或点。 师:棱锥的表示法有两种:其一是用顶点的字母和底面顶点的字母来表示，如图2-9可表示为:棱锥S-ABCD;也可以用可项的字母和底面一条对角线两端点的字母表示，如棱锥S-AC。不管哪种表示法都要冠以“棱锥”。棱锥根据其底面多边形的边数，分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。如图2-9是四棱锥，图2-10是五棱锥。 (三)正棱锥的概念及性质 师:如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥。要注意只有两条件:第一底面是多边形，第二顶点在底面上的射影是底面的中心同时 29 满足时，棱锥才叫正棱锥。 底面是正多边形 即正棱锥 顶点在底面射影是底面的中心 两个条件缺一不可，同时一个棱锥若是正棱锥，则它一具备以上两条特点。 下面请同学们思考以下问题: 问题1:如果图2-9是正四棱锥，那么它的侧棱长有什么关系,侧三角形有何特点, (引导学生利用射影定理来分析) 生:因为AO=BO=CO=DOSA=SB=SC=SD，侧面三角形是全等的等腰三角形。 师:在正棱锥中我闪把侧面等腰三角形底边上的高叫做棱锥的斜高。(注意不是正棱锥没有斜高)，即六棱锥的高、斜高、底面边心距，底面半径、侧棱这五条线段中哪些线段的组合可构成直角三角形, 生:高、斜高、边心距、侧棱、半径。 由教师板书正棱锥的两条性质。 问题2:正棱锥各侧面与底成所成的角有什么关系 ,各侧棱与底成所成的角有什么关系, 生:相等，因为所有由高、斜高、边心距组成的三角形都全等;所有由高、侧棱、半径组成的三角形都全等。 问题3:如果一个棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，那么它是否是正棱锥, 师:请同学们注意观察这个图形，显然它不是正三棱锥。 问题4:如果一个棱锥的底面既有外接圆，又有内切圆，且侧棱长都相等，那么它是否是正棱锥, 师:请同学们观察图形，其中?ABC=90º，O是AC的中点，且SO?面ABC，请一位同学用这个图形说明问题。 30 生:因为OC=OA=OB，且SO?面ABC，所以SA=SB=SC，又Rt?ABC既有内切圆又有外切圆，问题的条件都符合，但棱锥S-ABC不是正棱锥。 (通过以上教学，使学生掌握用特例来判断命题的真伪的方法，从而培养学生探究问题的能力) (四)棱锥的一个重要性质 定理:如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比。 师:要证两个多边形相似应该去证什么, 生:对应角相等，对应边成比例。 师:两个相似多边形的面积比等于什么, 生:相似比的平方即边的比的平方。 师:请同学们阅读课本P(61中定理的证明。 (待同学们阅读完后) 师:这个定理的证明，是通过两平行平面的性质定理和等角定理来证明多边形相似，然后利用相似多边形的性质，把面积比较化为边的比的平边，再通过平行把边的比的平方传递给高的比的平方，这种转移比例的手段是我们学用的，大家要好好体会。 例1 如图2-14，已知正三棱锥S-ABC的高SO=h，斜高SM=l，求经过SO的中点平行于底面的截面?AˊBˊCˊ的面积。 师:因为截面AˊBˊCˊ过SO的中点，所以S?，S?=1:AˊBˊCˊABC 24，故要求S?只须求出S?，又S?=3/4AB，所以问题的AˊBˊCˊABCABC 关键是求底面三角形的边长，如何根据已知条件求出AB, 生:在Rt?SOM中，SM=l，SO=h，所以OM可求，又在Rt=AOM中?MAO=30º，故AM可求，即AB可求。 师:从刚才同学的回答中，我们得到启示，联系性质2中两个直角三角的直角三角形AOM是非常关键的，解题中大家要加以应用。请同学们阅读课本P.62的解题过程。 31 (五)练习 P.62练习1 (六)总结 1、这节课我们学习了一般棱锥和正棱锥的概念，特别是正棱锥的概念大家一定要注意，两个条件缺一不可。 2、正棱锥的性质对一般棱锥不适用，性质2只阐明两个直角三角形其实应该是三个。 3、一般棱锥平行于底的截面的性质，是截面问题的重要解题依据，大家一定要注意的是截得的棱锥的高与原棱锥的高的比的平方，不要记错为高被截成两段的比的平方。 五、作业 课本P.65中习题八1-6 六、板书设计 第二课时 正棱锥的直观图画法及侧面积 一、教与学过程设计 (一)复习提问 师:正棱锥有两上突出的特点，请一位同学说说。 生:正棱锥的底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心。 师:今天我们首先来学习正棱锥直观图的画法。 (二)正五棱锥直观图的画法 师:请同学们按比例尺是1/5的要求画一个边长为5cm的正五边形水平放量的直观图。 (说明比例尺1/5的意义，要求直角坐标系的原点迁在正五边形的中心) 等同学们画好后 师:在同学们画的图形中，过Oˊ作一条轴Oˊzˊ使?zˊO 32 ˊxˊ=90º，?zˊOˊyˊ=45º，并在其上的OˊSˊ-AˊBˊCˊDˊE，便是高为11.5(cm)正五棱锥(为什么高是11.5cm,) 生:因为2.3(cm)×5=11.5(cm) 师:我们总结正棱锥直观图的画法，请一位同学来说。 生:先画底面的直观图，再画Oˊz轴，使?zˊOˊxˊ=90º，?ˊ上截取高，最后连结截点和底面zˊOˊYˊ=45º，然后在Oˊz 上的顶点即是。 (三)正棱锥的侧面积 利用模型让学生观看，把正棱锥沿侧棱将侧面展成平面的演示。 师:如果这个正棱锥的底面边长为a，周长为c，斜高为hˊ，问这个展开图的面积是什么,正棱椎的侧面积又是多少, 生:两者相等，都是1/2chˊ (教师把定理板书出来) 定理:如果正棱锥的底面周长是c，斜高是hˊ，那么它的侧面积是:S1/2chˊ。 正棱锥侧 (然后请同学们阅读课本P.64例3及解题过程，教师抄写补充例题。) 补例 1 棱锥的一个平等于底面的截面把飘然锥的高截成1:2，那么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积比等于( ) (A)1:9 (B)1:8 (C)1:4 (D)1:3 师:我们可以从一个侧面来考虑被截成两部分面积的比，如图2-15设为一个侧面三角形，则有AˊBˊ?AB且AˊBˊ:AB=1:3 由于?SAˊBˊ??SAB，所以S?:S?=1:9，所以SAˊBˊSAB ?:S四边形=1:8 SˊAˊBˊAˊBˊBA 根据等比性质得，两部分面积的比为1:8，故应选B答案。 补例2 正三棱锥底面边长为a，侧棱与底面成45º，求些棱锥的侧面积。 33 师:问题的关键在于求出斜高，所以在图中作出三个Rt?，在Rt?MOA中，OM=a/2•tg30º 小结:大家要善于应用正棱锥的性质2 补例3 底面为矩形有四棱锥P-ABCD，PA?底面，PA=3cm，AB=4cm，BC=3cm，求棱锥P-BCD的侧面积。 师:由于棱锥P-BCD是斜棱锥，我们没有现成公式可用，所以只好分别计算S?PBC，S?PCD及S?PBD，因为PA?底面，且AB?BC。 ? PB?BC，故?PBC是Rt?，同理?PDC也是Rt?，由于PB=5，PD=3?2，? S?PBC=15/2，S?PBC=15/2，S?PDC=6?2 ，为了求S?PBD，须过A作AE?BD于E，并连结PE，则PE?BC(为什么,) 即PE是?PBD的一条高，在Rt?ABD中，AB=4，AD=3，?BD=5，又AB.AD=BD.AE ?AE=AB.AD/BD=12/5.?S=6,故所求侧面积为?PBD 213(1/2)+6?2(cm). 小结:一般棱锥的侧面积采取逐个计算再求总和的方法。 (四)练习 课本P、64练习1、2。 (五)总结 1、正棱锥直观图作法 2、正棱锥的侧面积公式 3、一般棱锥侧面积的计算方法 二、作业 课本P、65中7-10。 34 三、板书设计 ?2.3 棱台 一、素质教育目标 (一)知识教学点 1、棱台的概念和性质。 2、正棱台的概念和性质。 3、正棱台的直观图的画法。 4、正棱台的侧面积。 5、多面体的概念。 (二)能力训练点 1、棱台来源于棱锥，棱台的问题时常要转化为棱锥问题，通过教学要增强学生的化归意识，提高学生分析问题、探究问题的能力。 2、能利用正棱台的概念和性及，正棱台的侧面积计算方法去分析、解决一些具体的问题，不断提高学生综合运用知识的能力。 3、通过正棱台直观图画法的教学，进一步提高学生做图能力、识图能力，使学生的空间想象能力得以进一步提高。 (三)德育渗透点 1、正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式可统一为一个公式，这是因为棱柱、棱锥、棱台虽属不同的多面体，但它们是有联系 35 的。棱柱可以看成是上、下底面全等的棱台;棱锥又可以看作是一底面缩为一点的棱台。教学过程要帮助学生掌握这处联系、变化的思想方法。 2、多面体具有几何图形的美。教学过程要注意选取较美的比例和结构作图，尽可能表现出多面体的庄重、优雅，美观和对称关系，陶冶学生美好的心灵，培养学生高尚的情操。 二、教学重点、难点、疑点及解决办法 1、教学重点:正棱台的概念、性质及侧面积的计算。 2、教学难点:正棱台直观图的画法。 3、教学疑点:一般棱台侧面积的计算，让学生明白，侧面积计算最本质的方法是逐面计算。 三、课时安排 本课题建议安排3课时。 四、教与学过程设计 第一课时 棱台的概念及性质 (一)复习引入 (提出画好图2-18，图2-19的小黑板) 师:如图2-18截面A′B′C′D平行于底面的截面，SO是棱锥的高，与截面的交点是O′，那么截面与底面有什么关系,它们面积之间又有什么关系, 生:截面与底面是相似的多边形，它们的面积比等于SO′比 36 SO的平方。 师:刚才的问题是我们上一节棱锥中的一个重要的定理。图2-19是把图2-18中介在截面与底面之间部分的图形，今天我们专门来研究它。(给出课题:棱台) (二)棱台的概念及性质 师:用一个平行于棱锥底面的平台去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台(如图2-19)。截面和原棱锥的底面叫做棱台的上底面、下底面，其他各面叫做棱台的侧面(都是什么图形,)，相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱(如AA′)，上、下底面之间的距离叫做棱台的高(如OO′)。棱台用表示上、下底面各点的字母来表示，也可用它的对角线端点的字母来表示。图2-19的棱台可表示为:棱台A′B′C′D′E′-ABCDE或棱台A′C。(注意一定要冠以“棱台”。) 问题1。棱台所有侧棱的位置有什么关系,(引导学生比较图2-18，图2-19) 生:棱台所有侧棱的延长线相交于一点，这个点就是截得棱台的棱锥的顶点。 问题2。棱台上、下底面中对应的边之间有什么关系,为什么, 生:因为上、下底面平行且相似，所以对应边都平行且成比例。 师总结:刚才的讨论我们得到棱台有以下三条性质: 1、侧棱延长线相交一点。 2、两底面的对应边平行。 37 3、这些对应边成比例。 (三)正棱台的概念及性质 师:棱台可根据由几棱锥截得而称为几棱台，如图2-18截得的棱台(图2-19)叫做五棱台。图2-20是正四棱锥，由它截得的棱台叫做正四棱台。即正棱锥截得的棱台叫做正棱台。 问题1。就图2-20回答四条铡棱与四个侧面的关系及原因。(引导学生利用定义及棱锥的性质讨论。) 生:因为上、下底面平行，所以它们的对应边平行，又因为棱锥的侧棱长相等，所以棱台的侧棱长都相等，侧面是全等的等腰梯形。 问题2。如果一个平面与正棱台的底面平行，那么它截棱台的截面与正棱台的上、下底面有何关系,(引导学生在正棱锥中看。) 生:因为正棱台的上底面以及平行于底的截面都是正棱锥的平行于底的截面，所以它们都与底面是相似的正多边形。 问题3。在正棱锥的性质2中谈到了两个直角三角形，那么这两个直角三角形在正棱台中对应的图形是什么, 生:两个直角梯形。 师总结:先介绍什么是正棱台的斜高，然后将以上讨论总结为正棱台的三条性质，让学生阅读课本的内容。(强调“还台于锥”的思想。) (四)应用举例 例1 正四棱台AC’的高是17cm，两底面的边长分别是4cm和16cm，求这个棱台的侧棱长和斜高。 分析:结合课本P、67中图2-21，把已知量标注在图中，要 38 求侧棱长在直角梯形OO′BB′中，必须先求O′B′及OB，在Rt?OBE中，OB=?2BE=8?2，同样可求得O′B′=2?2，然后在梯形O′OBB′中，过B′做B′F′?OB于F，在Rt?中即可求得BB′，斜高E′E同样的方法可求得。 (具体解题过程请同学看书) 总结:在正棱台的计算问题中，大家要注意正棱台性质3的应用，解题中往往将梯形转化为直角三角形，同时要注意另外一直角梯形(上、下底对应边长的一半及侧棱，斜高组长)以及两个直角三角形(底面半径，边心距和底面边长的一半组长。) 例2 设棱台的两底面积分别为S、S′，它的中截面面积为S，求证:2?S=?S+?S′。 00 分析:如课本P、68中图2-22，因为截面AB-E是中截面，000所以AB是梯形A′ABB′的中位线，故2AB=AB+A′B′，又上、0000 22下底面及中截面是相似的多边形，所以有S/S=AB/AB，S′000 22/S=A′B′/AB，两边开平方得:?S/?S=A′B/AB，?S+?S′000000/?S=AB+A′B′/AB=2AB/AB=2，所以，2?S=?S+?S′。(具00000000 体证明请学生看书。) 总结:在几何计算中，要善于把面积、角的三角函数等表示为线段的关系。 22例3 正四棱台的两底面面积分为25cm和49cm，侧棱长为3?2cm，求截得这个棱台的原棱锥的高。 分析:(提出问题让学生思考分析) 问题1:从已知条件出发能否求出棱台的高,怎样求, 生:由已知条件可先出上、下底面边长(一个是5，一个是7) 39 然后再求出上、下底面半径，在直角梯形中即可求出高。 问题2:棱锥高与棱台的高以及棱台上下底面面积之间有什么关系, 生:S上:S下等于棱锥的高与棱台的高的差比棱锥的高的平方。 师:请同学们自己完成例题3。 (五)练习 课本P、68中练习1、2。 (六)总结 1、棱台的定义及三条性质。 2、正棱台的定义及三条性质。 3、棱台中截面面积公式。 4、正棱台中除性质3的两个直角梯形外，还有一个直角梯形和两个直角三角形是我们解答计算问题的基础。 五、作业 P、72中习题九1、2、3、4。 六、板书设计 第二课时 正棱台直观图的画法及侧面积 一、教与学过程设计 (一)复习提问 (把抄有问题1、问题2、问题3的小黑板挂出。) 40 问题1。已知正三棱台的下底面面积为16?3cm2，中截面面积为9?3cm2，求上、下底面边长。 22生SO=9?3cm，S=16?3cm，由2?SO=?S+?Sˊ 1 222得:Sˊ=4?3cm;又因为?3/4a=4?3，?3/4b=16?3，所以上下底面边长分别为4和8。 问题2 若问题1中正三棱台的高为2cm，求侧面与底成所成的角。 生 :上、下底面的边心距分别为1?3/cm，4/3?3cm，由于2 2/(4/3)?3-2/3?3=?3，所以侧面与底面所成的角为60? 问题3 若问题1中正三棱台的高为4cm，求侧棱与底面所成的角。 生:上、下底面半径分别为4/3?3cm，8/5?3cm，由于4/3 (8/5?3-4/3?3)=?3，所以侧棱与底面所成角为60? (二)正棱台直观图的画法 师:现在我们画下底面边长为8cm，下底面边长为4cm，高也是4cm的正四棱台，那么先画什么,(生答:下底面)请同学们画边长为8cm的正方形水平放置的直观图(待学生画好后)然后画什么,(生答:高)怎样画,(生答:作OˊZˊ轴使?zˊOˊxˊ=90??zˊOˊyˊ=45?，在Oˊzˊ轴上的OˊO″=4cm)，最后画什么,(生答:画上底面)怎样画,(再画一个坐标系，使O〞x〞?Oˊxˊ，O〞y〞?oˊyˊ，在坐标系x〞o〞y〞中画边长为4cm的正方形的水平放置的直观图) 师:我们请一同学来总结刚才的画法。 生:? 画底面的水平放置的直观图 41 ?画高(过Oˊ是作Oˊzˊ轴，使?zˊoˊxˊ=90??zˊoˊyˊ=45?，并在其上截取OˊO〞等于高) (3)在O〞点再建立坐标系使O〞x〞?Oˊx〞，O〞y〞?Oˊyˊ画上底面水平放置的直观图。 ? 过线上、下底面的对应顶点，去掉辅助线，改庶挡的线段为虚线。 (三)正棱台的侧面积 师:我们将正四棱台的侧面沿其侧棱展成平面时将得到如课本P.69中图2-24的图形，若正四棱台的上底面边长为aˊ，下底面边长为a，斜高为hˊ，则它的面积应为(学生答:4×1/2×(a+aˊ)×hˊ)，我们把这个方式子变形为:1/2×(4a+4aˊ)×hˊ则得正四棱台的侧面积等于上、下底面周长和的一半乘以斜高，大家考虑这个结论可否推广到正n棱台的情形。 生:可以 (教师叙述并板书定理) 师:请同学们阅读课本P.70例3 (教师抄写补充例题) 补充例1 正四棱台的高12cm，两个底面边长的差是10cm，全面积是512cm2，求棱台的侧面积。 师:要求侧面积须要知道斜高hˊ及上、下底边的和(强调不一定都要知道边长)，请同学在刚才所画的正四棱台直观图中分析 22斜高等于什么,(生:hˊ=?h+b-a/2)所以hˊ=13cm，所以现 22在问题关键是a+b，依题意有a+b+2(a+b)×13=512，又a-b=10，联立方程组可求出a、b，所以问题可得到解决。 42 (由学生练习，完成解题过程) 补充例2 正四棱台底面的边长分别为a和b(b1 ?圆柱体积大。 圆柱正方体 圆柱体体积是正方体体积的4/π倍。 (六)总结 这节课我们学习了公理5、6及公理5的两个推论，学习了棱柱、圆柱的体积公式及这些公式的简单的应用。 73 五、作业 P(98中2、3、4、7、8、11 六、板书设计 ?2.3 棱锥、圆锥的体积 一、素质教育目标 (一)知识教学点 1、等底面积等高的两个锥体体积之间的相等关系。 2、棱锥、圆锥的体积公式。 (二)能力训练点 1、理解并掌握等底面积等高的两个锥体的体积相等。 2、理解并掌握棱锥、圆锥的体积公式并会应用它解有关的问题。 (三)德育渗透点 1、使学生认识求锥体体积是人类生产实践的需要，进一步培养学生实践第一的观点。 2、通过等底面积等高的锥与柱的体积关系的实验及证明，向学生提示认识事物先感性认识、后理性认识的规律。 3、通过用割补方法推导锥体体积公式，让学生了解事物间的内在联系、进而提高数形结合的解题意识。 二、教学重点、难点 1、教学重点:锥体体积公式及其应用。 2、教学难点:锥体体积公式的证明。 74 三、课时安排 1课时。 四、教与学过程设计 (一)引入新课 (问题提出)。在仓库一角有谷一堆呈1/4圆锥形(如图2-52)，量得底面弧长为2.8m，母线长为2.2m，这堆谷重约多少(谷的比 3重720kg/m), 师:这问题的关键是求这堆形谷的体积，先来做一个实验，等底面积、等高的圆柱形和锥形容器各一个，把圆锥容器装满细沙倒入圆柱中，连续三次，发现刚好装满圆柱，由这个实验可得出什么结论, 生:V=1/3V 圆锥圆柱 师:若把实验中的圆柱形、圆锥形容器改为三棱柱、三棱锥(条件:底面积相等、高相等不变)可得什么结论, 生:V=1/3V 三棱锥三棱柱 师:我们先研究等底面积、等高的任意两个锥体体积之间的关系。 取任意两个锥体，设它们的底面积都是S、高都是h(图2-53) 图2-53 把这两个锥体放在同一平面α上，这时它们的顶点都在和平面α平等的同一个平面内，用平行于α的任意平面去截它们，截面分别与底面相似。设截面和顶点的距离是h，截面积面积分别是 2222S、S，那么，S/S=h/h,S/S=h/h 121121 75 ? S/S=S/S S=S 1212 根据祖日恒 原理这两个锥体的体积相等。 定期 等底面积等高的两个锥体的体积相等。 现在，我们来证明三棱锥的体积公式。 定理 如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积是 V=1/3Sh. 三棱锥 分析:由实验知 V=1/3V。(三棱柱的底面积为S，高三棱锥三棱柱 为h)，因此我们可考虑把三棱锥1以?ABC为底面、AA′为侧棱补成一个三棱柱，然后再把这个三棱柱分割成三个三棱锥1、2、3(如图2-54)(借助模型)。 三棱锥1、2底?ABA′、?B′A′B面积相等，高也相等(顶点都是C);三棱锥2、3的底?BCB′、?C′B′C的面积相等，高也相等(顶点都是A′)， ?V=V=V=1/3V 123三棱柱 ?V=Sh 三棱柱 ?V=1/3Sh 三棱锥 证明过程的书写见课本。(让学生看书3分钟。) 最后，因为和一个三棱锥等底面积等高的任何锥体都和这个三棱锥的体积相等，所以我们得到下面的定理: 定理 如果一个锥体(棱锥、圆锥)的底面积是S，高是h，那么它的体积是 V=1/3Sh 锥体 推论 如果圆锥的底面半径是r，高是h，那么它的体积是 76 2V=1/3πrh 锥体 接下去我们来计算这堆谷的重量问题。 解:圆锥底面周长=4×2.8=11.2(m) 圆锥底面半径r=11.2/2π?11.2/2×3.14=1.78(m) 22圆锥的高h=?2.2-1.78?1.29(m) 23谷堆的体积=1/4×1/3×3.14×1.78×1.29=1.07(m) 谷的重量=1.07×720?770(kg) 例2 正四面体P—ABC的高为h,M的底面ABC内部的点，M到三个侧面PAB、PBC、PCA的距离分别为h、h、h，求h+h+h123123的值。 分析:先考虑这样一个问题:设等边三角形的高为h，M是边BC上的点，M到边AB、AC的距离分别为h、h，则h、h与h有1212什么关系,为什么, 生:h+h=h 12 证法一:连AM则 S?=S?+S? ABCABMACM =>1/2BC.h=1/2AB.h+1/2AC.h=>h+h=h 1212 证法二:h+h=MbsinB+McsinC=Bcsin60?=h. 12 证法三:作MN?AC交AB于N，作BD?AC于D交MN于G(图2-55)，易知h=DG而?BMN为正三角形，故h=BG，故h+h=BG+GD=h. 2212 从中我们能有什么启发, 仿证法一，解为下: 设正四面体P—ABC的一个面的面积为S、连MP、MA、MB、MC。 则VM-PAB+VM-PBC+VM-PCA=VP-ABC 77 =>1/3Sh+1/3Sh+1/3Sh=1/3Sh 123 =>h+h+h=h. 123 师:若M为正四面体内任一点，它到四个面的距离分别为h、1h、h、h;则h、h、h、h与h有什么关系,为什么,(让学生2341234 课后思考。) 让学生看课本P.102中例1、2。 (练习2动笔证，其余用口答形式。) (三)总结 这节课我们学习了三个定理及一个推论，其中定理V三棱锥=1/3Sh的证明是一个难点。先补后割，割后的三个三棱锥有两两等底等高的关系要分辨清楚。例2是用割补法解题的又一例子。 五、作业 P.103中习题十三3-8 六、板书设计 ?2.10 棱台、圆台的体积 一、素质教育目标 (一)知识教学点 棱台、圆台的体积公式 (二)能力训练点 1、理解并掌握棱台、圆台的体积公式并会应用它解有关的问题。 78 2、了解柱体(棱柱和圆柱)、锥体(棱锥和圆锥)、台体(棱台和圆台)有区别又有联系，可以转化。 德育渗透点 (三)通过柱体、锥体、台体间的区别、联系及转化关系的教学，提高学生从事物间的联系和变化中来认识事物的能力。 四、教学重点、难点 3、教学重点:棱台、圆台的体积公式及其应用。 4、教学难点:用S、S′、h表示截去的锥体的高。 五、课时安排 1课时 四、教学过程的设计 (一)引入新课 师:什么叫做棱台、圆台, 生:用平行于棱锥(圆锥)、底面的平面去截棱锥(圆锥)，底面和截面之间的部分叫做棱台(圆台) 师:此定义可理解为棱台、圆台分别是棱锥、圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的，而锥体的体积我们已经会计算，因此台体的体积可以用两个锥体的体积差来计算。 若已知台体的上、下底面的面积分别是S′、S，高是h，那么这个台体的体积是多少, 设截得台体时去掉的锥体的高是X，去掉的锥体和原来的锥体的体积分别是V′、V(如图2-57)。 这时V′=1/3 S′x V=1/3S(h+x) 79 ?V= V- V′ 台体 =1/3S(h+x)-1/3 Sx =1/3[Sh+(S- S′)x]. 师:表达式还含未知数x，能否进一步用S、S′、h来表示x呢,注意原锥体与去掉的锥体有什么关系, 生:相似关系。 师:相似形有什么性质, 生:对应面积比等于相似比的平方比。 22故S′/S=x/(h+x) ?s/?s=x/h+x x=?s′h/?s-?s′ 1 代入上式，得 V=1/3h[s+(s-s′) ?S′/?s-?s′]=1/3h[s+?ss′+s′] 台体 因此我们得到下面的定理: 定理 如果台体(棱台、圆台)的上、下底面的面积分别是s′、s，高是h，那么它的体积是V=1/3h(s+?ss′+s′) 台体 推论 如果圆台的上下底面半径分别是r′、r，高是h，那 2么它的体积是V=1/3πh(r+?rr′+r′). 圆台 最后，我们注意到，在台体的体积公式中若设S′=S，就得到柱体体积公式V=Sh;若设s′=0，就得到锥体体积公式V=1/3Sh。 柱体锥体 这样，柱体、锥体、台体的体积这间可表示为下图: 例1 有一个正四棱台形油槽，可以装煤油190升，假如它的两底面边长分别等于60cm和40cm，求它的深度。 2解:? 上底面面积S′=40=1600， 80 2下底面面积S=60=3600， 22?SS′=?40×60=2400， ?V=1/3h(3600+2400+1600)=7600/3h 3由已知V=190升=190000cm ?h=3×190000/7600=75(cm) 答:油槽深度是75cm. 例2 表面积为16π的球内切于一圆台，已知此圆台侧面展开图的圆心角为216?，求这个圆台的体积。 解:?球的表面积为16π， ?球的半径R=2。 ?圆台的高h=2R=4 (师:球体积还需求两底半径。) 设圆台上、下底面半径分别为r、r′则其母线L=r+r′。 依题意r-r′/L=216/360=3/5 r-r′/r+r′=3/5 ?4r′„? (师:r、r′两个未知数才得一个方程，还要设一个方程。相比条件怎么用、它有什么性质,) 如图2-58在Rt?AOD中由OE?AD得 2OE=DE.AE rr′=4 ? 解??得r=4, r′=1. 22?V=π/3×4(4+4×1+1)=28π. 圆台 答:此圆台的体积为28π。 (二)练习 R(107中练习。习题十四1、5 (三)总结 81 这节课我们学习了棱台、圆台的体积公式及柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系。 五、作业 P(107中习题十四2、3、4、7、8、9。 复习一下P.79中习题4。 板书设计 ?2.11 球的体积 一、素质教育目标 (一)知识教学点 球的体积公式。 (二)能力训练点 22 1、充分分析平行于半球截面面积表达式S=πR-πL的几何意义、特征，从而找出满足祖日恒原理又可计算体积的几何体，提高学生分析问题、解决问题的能力。 3、掌握球的体积公式，并会应用它解决有关的问题。 (三)德育渗透点 通过先用实验方法进行验证，然后再用证明球的体积的方法，使学生懂得对事物的认识往往是先有感性认识，然后再从理论上去证明，进而把感性认识提高到理性认识，这就是认识事物的规律。 二、教学重点、难点 1、教学重点:球的体积公式及其应用 2、教学难点:球的体积公式的证明,特别是找那个满足祖日恒原理又可计算体积的几何体。 82 三、课时安排 1课时。 四、教与学过程设计 (一)引入新课 师:我们前面学习了公理5及其推论，又学习了祖日恒原理(公理6)，并以这两个公理为基础推出了柱体、锥体的体积，这一节课我们要应用祖日恒原理推出球体的体积公式。 先做这样一个实验:取一个半径为R的半球，再各取一个底面半径与高都是R的圆柱桶和圆锥，先把圆锥放入圆柱桶内，再将半球里面装满细沙，把这些细沙倒入圆柱桶内，这时圆柱桶恰好装满，(见图2-59)，这个实验给我们什么启示, 333V=V-V=πR-1/3πR=2/3πR 半球圆柱圆锥 2故V=2V=4/3πR 球半球 我们回忆一下祖日恒原理(请一位学生叙述原理的内容)，求球的体积关键是的一个满足原理又可计算体积的几何体，这个几何体的形状应是怎样的,先观察与半径为R的半球底面平行，且与 2222底面距离为L的截面面积S=πR-πL，而πR=πL可能作一圆环面积，其中圆环的大圆半径为R对任意截面不变，故底面半径为R的圆柱满足;小圆半径要等于L，轴截面为等腰直角三角形的倒圆锥具有这性质，这就启发我们用祖日恒原理可以这样推导: 取一个底面半径和高都等于R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体和半球放在同一个平面α上(图2-59)，因为圆柱的高等于R，所以这个几何体和半球都夹在两个平行平面之间。 83 用平行于平面α的任意一个平面去截这两个几何体，截面分别是圆面和圆环面，如果截面与平面α的距离为L，那么圆面半径 22r=?R-L，圆环面的大圆半径为R，小圆半径为L(因为?O′OB1是等腰三角形)。因此: 2a2S=πR=π(R-L)， 圆 22a2S=πR-πL=π(R-L) 圆环 ?S=S。 圆圆环 根据祖日恒原理，这两个几何体的体积相等，即:1/2V=π球223 R.R-1/3πR.R=2/3πR 3?V=4/3πR 球 因此，我们得到下面定理: 3 定理 如果球的半径是R，那么它的体积是 V=4/3πR球 3注重:?S=4πR， ?V=1/3 SR，其形式与锥体球表面积球球表面积 的体积公式相似。 例1 有一种空心钢球，重142kg，测得外径等于5.0cm，求它 3的内径(钢的比重是7.9g/cm) 解:设空心钢球的内径为2xcm，那么钢球的重量是7.9[4/3 23π(5/2)-4/3πx]=142. 2X3=(5/2)-142×3/7.9×4π?11.3 ?x?2.24 2x?4.5(cm). 答:空心钢球的内径为4.5厘米。 例2 将半径分别为1cm、2cm、3cm的三个锡球熔成一个大锡球，求这个大锡球的表面积。 解:设大锡球的半径为R，表面积为S。 84 3323则4/3πR=4π×1+4/3π×2+4/3π×3 33得 R=36 R=?36 23232S=4πR=4π(?36)=24?6π(cm). 32答:这个大锡球的表面积是24?6πcm (二)练习 课本P.110中1、2。 (三)总结 这节课我们学习了球的体积公式及公式的应用。 四、作业 课本P.113中习题十五1-6。 五、板书设计 球的体积 3球的体积公式 V=4/3πR) 例1„„ 例2„„ 85 86