高一数学 平面向量

高一数学 平面向量 课 题 平面向量 1、掌握向量的加法和减法的运算法则等( 教学目标 2、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件等( 1、平面向量基本定理的应用 重点、难点 2、平面向量的坐标运算及数量积 考点及考试要求 教学内容 ?知识梳理 1、向量有关概念: (1)向量的概念:既有大小又有方向的量。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线 段，因为向量可以平移。 (2)零向量:长度为0的向量叫零向量，记作:，注意零向量的方向是任意的; 0 AB(3)单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是); AB,||AB(4)相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性; (5)平行向量(也叫共线向量):方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量， ab 记作:?，规定零向量和任何向量平行。 ab 提醒:? 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等; ? 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共 线, 但两条直线平行不包含两条直线重合; ?平行向量无传递性～(因为有); 0 ?三点共线共线; ,ABC、、ABAC、 (6)相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是,。 aa 2、向量的表示方法: (1)几何表示法:用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后; (2)符号表示法:用一个小写的英文字母来表示，如，，等; abc (3)坐标表示法:在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量， 为基yxji 底，则平面内的任一向量axiyjxy,，,,可表示为，称xy,为向量的坐标，,xy,叫aaa，，，，，， 做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 a 3.平面向量的基本定理:如果和是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，eea12 有且只有一对实数、，使a=e，e。 ,,,,121212 13例 若，则______(答:); ab,,(1,1),(1,1),(1,2),,,cc,ab,22 4、实数与向量的积:实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下:,,aa 当>0时，的方向与的方向相同，当<0时，的方 1,2,,aa,,,,,aaa，，，， 向与的方向相反，当,0时，，注意:?0。 ,,a,0,aa 5、平面向量的数量积: (1)两个向量的夹角:对于非零向量，，作， OAaOBb,,,，,AOB,ab 称为向量，的夹角，当,0时，，同向，当,时，，反向， 0,,,,,ab,ab,ab，， ,当,时，，垂直。 ,ab2 (2)平面向量的数量积:如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量 ||||cosab,ab, 叫做与的数量积(或内积或点积)，记作:，即,。 ,,abcos,ababab 规定:零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。 (3)在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。 ||cosb,ba (4)的几何意义:数量积等于的模与在上的投影的积。 ,,||aabababa(5)向量数量积的性质:设两个非零向量，，其夹角为，则: ab, ?; abab,,,,0 222?当，同向时，,，特别地，; ,abaaaaaa,,,,,abab 当与反向时，,,; ,ababab ab,?非零向量，夹角的计算公式:; cos,,ab, ab ?。 ||||||abab,, 6、向量的运算: (1)几何运算: ?向量加法:利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量， 如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”: ?向量的减法:用“三角形法则”:设， ABaACbabABACCA,,,,,,,,那么 由减向量的终点指向被减向量的终点。注意:此处减向量与被减向量的起点相 同。 (2)坐标运算:设，则: axybxy,,(,),(,)1122 ?向量的加减法运算:，。 abxx,,,(yy,)1212 ?实数与向量的积:,,,,axyxy,,,,。 ，，，，1111 ?若，则ABxxyy,,,,，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向AxyBxy(,),(,)，，21211122 线段的终点坐标减去起点坐标。 ?平面向量数量积:。 abxxyy,,，1212 222222?向量的模:||,||axyaaxy,，,,，。 22?两点间的距离:若，则||ABxxyy,,，,。 AxyBxy,,,，，，，，，，，11222121 7、向量的运算律: (1)交换律:，，; abba，,，,,,,aa,abba,,,，，，， (2) 结合律:，; abcabcabcabc，，,，，,,,,，,,,,ababab,,,,,，，，，，，，，，，(3)分配律:，。 ,,,,,,,，,，，,，aaaabab,abcacbc，,,,，,，，，，，，提醒:两向量不能相除(相约);(2)向量的“乘法”不满足结合律，即，因为夹a(b,c),(a,b)c 角不同。 228、向量平行(共线)的充要条件:,0。 ,,xyyx,,,()(||||)abababab//,,,12129、向量垂直的充要条件: . abababab,,,,,，,,0||||,，,xxyy0121210.线段的定比分公式 设，，是线段的分点,是实数，且，则 PPPxy(,)Pxy(,)Pxy(,)PPPP,,,1112221212 xx，,,12x,,,1，, ,yy，,12,y,,1，,, 11.三角形的重心坐标公式 ?ABC三个顶点的坐标分别为、、, A(x,y)B(x,y)C(x,y)112233 xxxyyy，，，，123123则?ABC的重心的坐标是. G(,)33 ?基础过关 1(若向量a=(1,1),b=(1,,1),c=(,1,2)，则c等于 ( ) 13133131 A(ab B(ab C(ab D(a+b ,，,,,222222222(若向量a=(x,2,3)与向量b=(1,y+2)相等，则 ( ) A(x=1,y=3 B(x=3,y=1 C(x=1,y=,5 D(x=5,y=,1 3(已知向量且?，则= ( ) a,(3,4),b,(sin,,cos,),tan,ab 3344 A( B( C( D( ,,44334(已知 ABCD的两条对角线交于点E，设，，用来表示ED的表达式 AB,eAD,ee,e1212 为( ) 11111111 A( B( C(e,e D(e，e ,e，e,e,e1212121222222222 75(.已知两点P(,,，,6)、,(3，,)，点P(,，,)分有向线段所成的比为λ，则λ、PP,,123 ,的值为( ) 1111 A(,，8 B(，,8 C(,，,8 D(4， 4448 6(已知=(2，3)， =(-5，6)，则|+|= ，|-|= ( ababab 7(设=(2，9)， =(λ,6)，=(-1,μ),若+=,则λ= , μ= . abcabc 8(?ABC的顶点A(2，3)，B(,4，,2)和重心G(2，,1)，则C点坐标为 . ?家庭作业 1. 点关于点的对称点是( ) (,3,4)B(,6,5) 19A( B( C( D( (,3,5)(,9,6)(0,)(3,,)22 2. 已知且?，则x等于( ) a,(,1,3),b,(x,,1),ba 11A(3 B( C( D( ,,333 ,3. 若，与的夹角是，则等于( ) m,4,n,6135m,nmn A(12 B( C( D( ,12122,122 4. 有四个式子:(1) ?=;(2) ?=0;(3) -AB=BA; 0a00a0 (4),?,,,,?,,;(5)( ?)?,?(?)其中正确的个数为( ) ababababcc A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 5. 若则与的夹角的余弦值为( ) a,(3,4),b,(5,12),ba 33636333A( B( C( D( ,,65656565 6. 已知点C在线段AB的延长线上，且等于( ) 2BC,AB,BC,,CA,则, 11A(3 B( C( D( ,,333 7. 已知平面内三点，则x的值为( ) A(2,2),B(1,3),C(7,x)满足BA,AC A(3 B(6 C(7 D(9 38. 已知的三个顶点分别是，重心，则的值分别是( ) G(x,,1)A(1，)，B(4，,2)，C(1，y)x、y,ABC2 55x,1,y,,x,2,y,,A(x,2,y,5 B( C(x,1,y,,1 D( 22 9. 已知 A(,3,4)、B(5,,2),则AB, 10. ,a,,4,a与b的夹角为45?，则a在b的投影为 . 11. 已知,a,,4,,b,,8，a与b的夹角为120?，则,4a-2b,, . 12. 平面向量已知?，，求及夹角。 a,(3,,,4),b,(2,x),c,(2,y),a,cb、cb与cba 82m,(cos,,sin,)和n,(2,sin,,cos,),,,(,,2,),且m，n,13. 已知向量， 5 ,,求的值. cos(，)28 参考答案 1、C 2、C 3、C 4、D 5、A 6、D 7、 B 8、 D 9、 10 10、 2 11、 16 32 3348c,(2,y)a,c,y,,,,12、解:? ？x,,， a,(3,,4),b,(2,x),ba2x32 83, ？b,(2,,),c,(2,),b,c,0？,b,c,,9032 ,7cos(,，),13、 425 ,,4？cos(，),, 285