极坐标与参数方程

极坐标系 1．极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示，在平面内取一个定点O，点O叫做极点，自极点O引一条射线Ox，Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标 一般地，没有特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． (3)点与极坐标的关系 一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z) 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示同一个点，特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示． 如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ) 表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的． 2．极坐标与直角坐标的互化 点M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ) 互化公式       极坐标方程化为直角坐标方程的步骤 第一步 判断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合，且极轴与x轴正半轴是否重合，若上述两个都重合，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化 第二步 通过极坐标方程的两边同乘ρ或同时平方构造ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，一定要注意变形过程中方程要保持同解，不要出现增解或漏解 第三步 根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式 及ρ2＝x2＋y2将极坐标方程转化为直角坐标方程     直角坐标方程化为极坐标方程或直角坐标系中的点的坐标化为极坐标 (1)直角坐标方程化为极坐标方程较为简单，只需将直角坐标方程中的x，y分别用ρcos θ，ρsin θ代替即可得到相应极坐标方程． (2)求直角坐标系中的点(x，y)对应的极坐标的一般步骤： 第一步，根据直角坐标系中两点间的距离公式计算该点与坐标原点的距离，即计算ρ； 第二步，根据角θ的正切值tan θ＝ (x≠0)求出角θ(若正切值不存在，则该点在y轴上)，问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 即解． [例1]　在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos  θ＋sin θ和直线l：ρsin ＝ . (1)求圆O和直线l的直角坐标方程； (2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标． [解]　(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0，直线l：ρsin ＝ ，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0. (2)由 得 则直线l与圆O公共点的一个极坐标为 . [例2]　(2017·福州五校联考)已知曲线C的极坐标方程为ρ2－2 ρcos －2＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy. (1)若直线l过原点，且被曲线C截得的弦长最小，求直线l的直角坐标方程； (2)若M是曲线C上的动点，且点M的直角坐标为(x，y)，求x＋y的最大值． [解]　(1)ρ2－2 ρcos －2＝0，即ρ2－2ρcos θ＋2ρsin θ－2＝0， 将 代入得曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝4， 圆心C(1，－1)，若直线l被曲线C截得的弦长最小，则直线l与OC垂直， 即kl·kOC＝－1，kOC＝－1，因而kl＝1，故直线l的直角坐标方程为y＝x. (2)因为M是曲线C上的动点，因而利用圆的参数方程可设 (φ为参数)，则x＋y＝2sin φ＋2cos φ＝2 sin ，当sin ＝1时，x＋y取得最大值2 . [全国卷5年真题集中演练] 1．(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 (t为参数，a＞0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ. (1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程； (2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a. 解：(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2， 则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆． 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0. (2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组 若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1. 当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上． 所以a＝1. 2．(2015·新课标全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C1，C2的极坐标方程； (2)若直线C3的极坐标方程为θ＝ (ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积． 解：(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2， C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝ 代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得 ρ2－3 ρ＋4＝0，解得ρ1＝2 ，ρ2＝ . 故ρ1－ρ2＝ ，即|MN|＝ . 由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为 . 参数方程 1．参数方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数： 并且对于t的每一个允许值，由方程组 所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程 就叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 2．直线、圆、椭圆的参数方程 (1)过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为 (t为参数)． (2)圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为 (θ为参数)． (3)椭圆 ＋ ＝1(a＞b＞0)的参数方程为 (φ为参数)． 例：将下列参数方程化为普通方程 (θ为参数)． 解：∵y＝－1＋cos 2θ＝－1＋1－2sin2θ＝－2sin2θ，sin2θ＝x－2， ∴y＝－2x＋4，∴2x＋y－4＝0. ∵0≤sin2θ≤1， ∴0≤x－2≤1，∴2≤x≤3， ∴所求的普通方程为2x＋y－4＝0(2≤x≤3)． 解决直线与圆锥曲线的参数方程的应用问题，其一般思路如下： 第一步，把直线和圆锥曲线的参数方程都化为普通方程； 第二步，根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题． 2．当直线经过点P(x0，y0)，且直线的倾斜角为α，求直线与圆锥曲线的交点、弦长问题时，可以把直线的参数方程设成 (t为参数)，交点A，B对应的参数分别为t1，t2，计算时把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程，求出t1＋t2，t1·t2，得到|AB|＝|t1－t2|＝ . [例2]　(2017·豫南九校联考)在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l： (t为参数)与曲线C： (θ为参数)相交于不同的两点A，B. (1)若α＝ ，求线段AB的中点M的坐标； (2)若|PA|·|PB|＝|OP|2，其中P(2， )，求直线l的斜率． [解]　(1)将曲线C的参数方程化为普通方程是 ＋y2＝1. 当α＝ 时，设点M对应的参数为t0. 直线l的方程为 (t为参数)， 代入曲线C的普通方程 ＋y2＝1，得13t2＋56t＋48＝0， 设直线l上的点A，B对应参数分别为t1，t2. 则t0＝ ＝－ ，所以点M的坐标为 . (2)将 代入曲线C的普通方程 ＋y2＝1， 得(cos2α＋4sin2α)t2＋(8 sin α＋4cos α)t＋12＝0， 因为|PA|·|PB|＝|t1t2|＝ ，|OP|2＝7， 所以 ＝7，得tan2α＝ . 由于Δ＝32cos α(2 sin α－cos α)>0， 故tan α＝ .所以直线l的斜率为 . 参数方程与极坐标方程的综合问题 例．已知曲线C的参数方程为 (α为参数)，以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹； (2)若直线的极坐标方程为sin θ－cos θ＝ ，求直线被曲线C截得的弦长． 解：(1)∵曲线C的参数方程为 (α为参数)，∴曲线C的普通方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10，① 曲线C表示以(3,1)为圆心， 为半径的圆． 将 代入①并化简，得ρ＝6cos θ＋2sin θ， 即曲线C的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋2sin θ. (2)∵直线的直角坐标方程为y－x＝1， ∴圆心C到直线的距离为d＝ ， ∴弦长为2 ＝ . [全国卷5年真题集中演练] 1．(2016·全国甲卷)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25. (1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程； (2)直线l的参数方程是 (t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝ ，求l的斜率． 解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)． 设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0. 于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB|＝|ρ1－ρ2|＝ ＝ . 由|AB|＝ 得cos2α＝ ，tan α＝± . 所以直线l的斜率为 或－ . 2．(2016·全国丙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 (α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin ＝2 . (1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程； (2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标． 解：(1)C1的普通方程为 ＋y2＝1，C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0. (2)由题意，可设点P的直角坐标为( cos α，sin α)． 因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值， 继续阅读