坐标轴平移参考

坐标轴平移参考 ?2,2 旋转坐标轴 (甲)转轴公式 考虑一个以点F(2,2)为焦点，以直线L:x+y=0为准线的 |x+y|22 y 拋物线,方程式是, :(x,2)+(y,2) = ……..(*)， 2 22(*)式平方后可化成,:x,2xy+y,8x,8y+16=0…(**)， 但是从(**)很难辨识它是一条拋物线， F 是否可以利用适当的坐标变换， O x 来辨识(**)式为一条拋物线。 我们如果将坐标轴看成此拋物线的轴与过顶点 与轴垂直的直线，则此拋物线就成为一条开口 L ////2向上的拋物线，方程式也会化成y=ax的形式， 因此接下来要考虑坐标轴的旋转，以化简,的方程式。 (1)推导转轴公式: ,将直角坐标系 (O,.i ,j)绕原点旋转一个有向角, ，得到一个新坐标系// , (O,e , e)，像这种「坐标原点及长度单位都不变，只改变坐标的方向」12 的坐标变换称为坐标轴的旋转，简称转轴。 基底e=(cos,，sin,)=cos,i+sin,j， 1 ,, e=(cos(,+)，sin(,+))=(,sin,，cos,)=(,sin,)i+cos, j 222 ////// ,,设P点在坐标系 (O,.i ,j)与 (O,e , e)下的坐标为(x,y)、(x,y) 12 OP=xi+yj //// =xe+ye 12 //// y =x( cos,i+sin,j)+y((,sin,)i+cos, j) // y////////// x =(xcos, ,ysin,)i+(xsin, +ycos, )j P R ////,,,,,xxcosysin, , 这个式子称为转轴公式。 ,////S y,xsin,，ycos,,T , x [几何解释]: U O Q ,,,,,////如右图，OQ=OU,QU=OScos, ,PSsin, =xcos, ,ysin, ,,,,,//// PQ=RS+SU=PScos, +OSsin, =xsin, +ycos, //////,,,,,,,,,，xxcosysinxxcosysin透过可解得 ,,//////y,xsin,，ycos,y,,xsin,，ycos,,, //从另一个方向来看，把新坐标系 绕原点O旋转有向角,,就可变成原坐标系 ， ////即(x,y)看成原坐标，(x,y)看成转轴后的新坐标，那么由转轴公式得到 //,,,,,,,,,,，xxcos()ysin()xcosysin ,//y,xsin(,,)，ycos(,,),,xsin,，ycos,, ~2,2,1~ 结论: ////(1)将直角坐标系的x、y轴旋转,角度，得到新的坐标轴x、y轴 //// 点P作这两个坐标下的坐标分别为(x,y)、(x,y)， ////,,,,,xxcosysin//// (x,y)与(x,y)满足下列关系:。 ,////y,xsin，ycos,,, ////xy(新坐標) ,,cossinx,(2)记忆法: ysin,cos, (原坐標) [例題1] 设将原坐标系旋转,，,如下，试分别将原坐标为(x,y)之点的新坐标以x,y表示。 1,1(1), =30: (2), = cos3 31,13122,221////////Ans:(1)x=x+y，y=x+y (2)x=x+y，y=x+y 22223333 ,(練習1) 将坐标轴旋转,=， 6 (1)若点A(2,1)，求点A之新坐标。 (2)若点B之新坐标为(,2,3)，求点B的原坐标。 13333Ans:(1)(3 +，,1+) (2)(,3 ,，,1+) 2222 3,1(練習2) 将坐标轴旋转,=cos ，若P(2，,1)之新坐标(h,k)，而Q(r,s)之新坐标5 2,11为(2，,1)，求(h,k)、(r,s)。 Ans:(h,k)=(，)，(r,s)=(2，1) 55 (練習3) 平面上一点A(2,5)试分别就下列情形求A点的新坐标。 ,(1)先将坐标轴平移至(1,4)，再将新坐标轴以新原点为中心旋转。 4 ,(2)先将坐标轴以原点为中心旋转，再依新坐标轴平移(1,4)。 4 ,(3)于(2)中若先将坐标轴以原点为中心旋转后应平移至何处，则得A4 点所得之新坐标才与(1)相同。 ~2,2,2~ 72325232Ans:(1)(2 ,0) (2)( ,1， ,4) (3)平移至(，) 2222(乙)转轴化简方程式 例子: ,22将坐标轴旋转，求曲线,:x+4xy+y=3在新坐标系中的方程式，并作图。 4 [解法]: 设坐标轴旋转,角度， ////,,,,,xxcosysin根据转轴公式代入 ,////y,xsin,，ycos,,22曲线,的方程式x+4xy+y=3，得 ////2////////////2(xcos,,ysin,)+4(xcos,,ysin,)(xsin,+ycos,)+(xsin,+ycos,)=3 22//222////,(cos,+4cos,sin,+sin,)x+(,2sin,cos,+4cos,,4sin,+2sin, cos,)xy 22//2 +(sin,,4sin, cos,+cos,)y=3……(*) ////若要选取角度,，使得xy项的系数=0 222222,,2sin,cos,+4cos,,4sin,+2sin, cos,=4(cos,,sin,)=0,cos,=sin, //2//2xy,可以取,=，再代入(*)中，可得 , =1 ，故可知,是一个双曲线。 413 (1)化简方程式: 由前面例题，我们发现适当选择旋转的角度,，可以使二次曲线的新方程式中 22消去xy项，但是对于一般的二次曲线,:ax+bxy+cy+dx+ey+f=0 (b,0)……..(A) 如何选择转轴的角度,，才可以使,的新方程式中缺少xy项呢, ////,,,,,xxcosysin将代入二次曲线,的方程式中: ,////y,xsin,，ycos,, ////2////////////2,a(xcos,,ysin,)+b(xcos,,ysin,)(xsin,+ycos,)+c(xsin,+ycos,) //////// +d(xcos,,ysin,)+e(xsin,+ycos,)+f=0 ////2//////////2//////////上面的方程式展开后，整理成ax+bxy+cy+dx+ey+f =0……(B) //22其中a=acos,+b,sin, cos, +csin,， //22 b=,2asin cos, +b(cos, ,sin,)+2csin,cos, =bcos2,,(a,c)sin2, //22 c=asin,,bsin, cos, +ccos, // d=d cos, +e sin, // e=,d sin, +e cos, // f=f //////如果选取转轴的角度,使得bcos2,,(a,c)sin2,=0，则xy项的系数b=0， a,c//////所以当cot2,= (b,0)时，xy项的系数b=0。 b 结论: ~2,2,3~ a,c可以取得锐角,满足cot2,=，选择这样的锐角,作为转轴旋转的角度，变换b////2////2////////////后的二次曲线,:ax+cy+dx+e+y+f=0 (f =f )。 ,22[例題2] 坐标轴旋转,角度(0<,<)，使得曲线,:52x,72xy+73y=100 2 之新方程式中没有xy项。(1)求cot2,、sin, 、cos, 的值。 (2)写出转轴公式。 (3)求,的新方程式。(4)请求出焦点的坐标 7344334////////Ans:(1)、、 (2)x=x,y，y=x+y 24555555 //2//2 y x//y43334333x //(3) + =1(4)(,)、(,,,) y 415555 , x O [例題3] 设Γ为以原点O(0,0)为顶点，F(1,2)为焦点之拋物线，将原坐标系S旋转 1,1//cos得到新坐标系S，则F对S'的坐标为 ，Γ对S'坐标系的新5 方程式为 ，Γ对原坐标系S的方程式为 。 (化为二元二次式) 222Ans:(5，0)，y',4x'，4x,4xy，y,20x,40y,0 5 [解法] 1,1//θ,cos，原坐标S旋转θ得到新坐标系S，根据转轴公式 5 11,,//////x,(x,2y)x,(x,2y),,,,55,, ,,11//////,,y,x,yy,,x,(2)(27),,55,, //由知焦点F对于S的坐标为(5，0) OF,5 //2//? 在S'坐标系中，Γ:y,4x 5 ~2,2,4~ 112(,2x，y),4((x，2y) 5,55 224x,4xy，y,20x，40y ,22? 在S中，Γ:4x,4xy，y,20x,40y,0。 (練習4) 设,为坐标轴旋转的角度，试求下列二次曲线旋转坐标轴后的新方程式。 ,,22(1),=，xy=2 (2),=，5x,6xy+5y=32 44//2//2xy//2//2Ans:(1)x,y=22 (2) + =1 164 ,22(練習5) 将坐标轴旋转,角(0<,<)，使得曲线,:2x,3xy+y=10对新坐标系中2 的方程式消去xy项，请问,=,新的方程式为何, //2//2xy,Ans:， + =1 3204 ,22(練習6) 将坐标轴旋转,角(0<,<)，使得曲线,:2x+4xy+5y=12对新坐标系中2 的方程式消去xy项， (1)请写出转轴公式(2)新的方程式为何, 1,////x,(x,2y)//2//2,xy,5Ans:(1)，(2) + =1 ,2121////,yxy,(2，),5, ,2(練習7) 将坐标轴旋转,角(0<,<)，使得曲线,:3xy+y=12对新坐标系中的方2 程式消去xy项， (1) 请问,=,(2)新的方程式为何, //2//2xy,Ans:(1)，(2) , =1 3824 22(練習8) 曲线:x–2xy+y–4( x + y ) = 0， ,2 45:将坐标轴旋转， (1) 可得新坐标方程式为 。 (2) 其图形为何,答: 。 //2//Ans:(1) (y) = 4 (x);(2) 拋物线 (丙)移轴与转轴化简方程式 ~2,2,5~ 22例子:利用坐标变换，将曲线,:5x,6xy+5y,4x,4y,4=0化成标准式。 22,[先移轴]:因为=b,4ac=(,6),4,5,5<0，由前面的讨论可知，可以选择适当的// y原点O(h,k)来移轴，使得,的新方程式中的两个一次式项消去。 /,x,x，h// y将移轴公式代入,的原方程式， ,/ y//y,y，k x ,/2//////可得,:5x,6xy+5y+dx+ey+f=0 dhk,10,6,4,,,,(1), ,/ehk其中,,6，10,4,,,,(2)， x ,/ O22,fhhkkhk,5,6，5,4,4,4,,,,(3), xO令(1)(2)中d=e=0，可得h=1,k=1 /所以移轴到O(1,1)可得 /2///2新的方程式为5x,6xy+5y=8 ……..(4) a,c,[再转轴]:取一锐角,满足cot2,==0 ,,=，因此可得转轴公式 b4 ,,,2/////////x,xcos,ysin,(x,y),,442 ，代入(4)中， ,,,2/////////,yxyxy,sin，cos,(，),442, 111////2//2//2////25,(x,y),6,(x,y)+5,(x+y)=8， 222//2//2xy/整理可得,:(1,1)。 + =1。所以,是椭圆，对称中心在O41 [讨论]: 这个椭圆的长轴、短轴所在直线方程式(对于原坐标而言)为何,正焦弦长=, [讨论]:如果先移轴，再转轴的话，结果会一样吗, 22例子:利用坐标变换，将曲线,:4x,4xy+y,2x,4y+8=0化成标准式。 ~2,2,6~ 22因为,=b,4ac=(,4),4,4,1=0，因此移轴无法消去两个一次项， 因此先转轴消去xy项，再用配方法化成标准式。 [先转轴]: a,c,3,3,取一个锐角,满足cot2,= =，由此知<2, <,，因此cos2,=。 b425 12,cos,=，sin, =， 55 1,////,,x,xcos,ysin,(x,2y),,5于是可得转轴公式 ,1////,yxyxy,sin,，cos,,(2，),5, /2/代入, 的方程式中，化简可得,:25y,105 x+40=0， 254/2/配方得y= (x,)……….(1)。 55 4/[再移轴]:根据配方的结果，将原点移至O(，0) (对转轴后的新坐标而言)， 5 4,///25x,x，,//2// 并将移轴公式:代入(1)得到,的标准式:y=x，所以,是一,55///,yy,，0, 条拋物线。 [讨论]:这个拋物线的对称轴、准线方程式(对x,y坐标而言)为何,正焦弦长=, 22[例題4] 设,:4x,24xy+11y+40x+30y,145=0 /(1)先移轴至O(h,k)，使得x,y项的系数为0，此时方程式为何, ~2,2,7~ ,/(2)在将坐标轴绕O旋转,角度(0<,<)，使得(1)中的式子没有xy项， 2 此时方程式为何, 22(3)求(x,4)+(y,3)的最小值。 (4)求,的正焦弦长。 //2//2yx/2///2Ans:(1)4x,24xy+11y=20 (2) , =1 (3)1 (4)8 14 22(練習9) 于xy平面上，方程式5x,6xy+5y,4x,4y,4=0， (1)标移轴转轴化简方程式成标准式。 (2)请问中心、长轴顶点、焦点坐标为何, //2//2x6666yAns:(1) + =1(2)中心(1,1)、焦点(+1，+1)、(,+1，,412222+1)、 长轴顶点(2 +1，2 +1)、(,2 +1，,2 +1) 22(練習10) 若p ( x,y )为曲线:3x + 2xy +5y = 12上之动点则 3, (1) p到原点之最大距离为 。(2) p到原点之最小距离为 。 2222(3) x+y的最大值=_______。 (4) x+y的最小值=_______。 Ans:(1) (2) (3)6 (2)2 62 综合练习 ,22(1) 坐标轴旋转,角度(0<,<)，使曲线,:2x+4xy+5y=12的新方程式消去xy项。 2 (a)写出转轴公式。 (b)化简,的方程式，并说明,的形状。 (c)求,的正焦弦长、焦点坐标。 ~2,2,8~ ,22(2) 旋转坐标轴,角( 0 <,<)，可使方程式4x – 12xy + 13y + 2x – 3y + 6 =0不具2 33221xy项，则cos,=(A)(B)(C)(D)(E) 45555 22(3) 在坐标平面上，设曲线Γ的方程式为7x,48xy,7y+25=0，若将原坐标系旋转 3,1cos，则Γ的新方程式为何, 5 (4) 如右图，将坐标轴旋转,角后， (a),=______。 (b)椭圆对新坐标系的方程式为_____________________。 (c)椭圆的原方程式为___________________。 (5) 利用移轴、转轴化简下列曲线的方程式: 22(a)5x+4xy+8y,2x+28y,7=0 22(b)7x,6xy,y,26x+2y+7=0 ,22(6) 将坐标轴旋转,角使得曲线的新方程式(0,,),:52x,72xy，73y,100,2 没有xy项。 cot2,sin,(a) 。(b)= 。(c)转轴公式为________________。 (d)则的新方程式为 ________________。 , (e)Γ之焦点的原坐标___________及对称轴之原方程式___________。 22Γ:2x(7) 设二次曲线+4xy+5y=12， 若将原坐标系旋转一锐角,，使新方程式中没有xy项，则(a)sin,=_____。 Γ的长轴所在的直线方程式为___________。【92建中】 (b)曲线 //////(8) 将坐标轴旋转45:，得新坐标系S?(O;x,y)， 有一曲线Γ:xy=4，试求: //(a)Γ对S的新方程式为________________________。 (b)Γ之贯轴长_____________。(c)Γ之正焦弦长______________。 (d)Γ之焦点的原坐标__________________。 (e)若焦点为F,F，P点在Γ上，则=_______________。 ||PFPF,1212 ///(9) 将坐标轴旋转, (0:<,<90:)，得一新坐标系S?(O;x,y)， 22使曲线Γ:11x,24xy+4y+20=0的新方程式中没有xy项，试求: (a)cot2,=__________。(b)Γ的新方程式=________________________。 (c)Γ之焦点的原坐标为__________________。 (d)Γ之两对称轴之原方程式为_______________________。 2222(e)若x,y 满足11x,24xy+4y+20=0，求x+y的最小值=_____________。 ~2,2,9~ 22(10) 关于二元二次方程式,:x+xy+y=6的叙述下列那一个选项是正确的, (A),的图形是双曲线。(91指定考科模拟试题3) (B)F(0,22)是,的一个焦点。 (C)直线x+y=0是,的一条对称轴。 22(D)若P(a,b)为,上一点，则a,b的最大值为43 。 进阶问题 // ,,(11) 设P、Q在坐标系 (O,i,j)与 (O,e,e)下的坐标为(a,a)、(b,b) 121212 //// 与(a,a)、(b,b)，其中e,e分别是由i,j绕原点O旋转,角度得到的。 121212 请利用转轴公式证明: (a)P、Q两点的距离，在转轴后不变。 (b)OP与OQ的内积，在转轴后不变。 (c),OPQ的面积，在转轴后不变。 这个结果说明，这样的坐标变换，不会使得距离、角度有所变化。 综合练习解答 //2//211xy////////(1) (a)x=(x,2y)，y= (2x+y) (b) + =1 ，椭圆 21255 2 (c)，(,22 ,2 )、(22 ,,2 ) 3 (2) (D) //2//2(3) x,y=1 //2//222(4) (a)30: (b)x+4y=16(c)7x,63xy+13y,64=0 //2//2//2//2xyyy(5) (a) + =1 (b) , =1 4914 43,22x,x',y'7x'y'3,55，,1(6) (a)，(b)，(c)，(d) ,3441245,y,x'，y'55, 4333,,4333F(,)F(,) (e)及; ,，,，,340430xyxy及12,,,,,,,,,,,,5555長軸短軸 2(7) (a) (b)x+2y=0 5//2//2xy(8) (a),=1 (b)42 (c)42 (d)(22,22)及(,22,,22 ) (e)42 88 22//xy3545,,3545,7,,1(,)(,)(9) (a) (b) (c)及 41555524 (d) 3x+4y=0及,4x+3y=0 (e)4 11////////22////(10) (C)(D)[提示:(D)由a=(a,b)，b=(a+b)代入a,b=,2ab 22 ~2,2,10~ //2/2//2//2xyab////又(a,b)在 + =1 上，由平均数不等式+412412 //////2//2b||a()()ab22////,2=,,43,a,b=,2ab,43。] ,434122222////(11) (a)直接用转轴公式去检验(a,a)+(b,b)=(a,a)+(b,b) 11112222//// (b)直接用转轴公式去检验ab+ab= ab+ab。 11221122 (c)利用向量的三角形面积公式，即可得证。 ~2,2,11~