面积计算法绘制梁的 弯矩 图

面积计算法绘制梁的 弯矩 图 面积计算法绘制梁的弯矩图2010-04-2118:35摘要:梁的内力作为梁的设计和检验的基本数据，在工程实际中具有非常重要的地位。教学中梁的内力图绘制，尤其是梁弯矩图的绘制是力学课程的重点。本文依照荷载与内力的微分关系原理，采用面积计算法来计算梁控制面上的弯矩，是一种新的快速绘制梁弯矩图的简便方法。?关键词:剪力图;弯矩图;面积计算法?中图分类号:TU223文献标识码:ADrawingaRoofBeam'sBendingMomentDiagram?ByUsingAreaCalculatingMethodYangRonggenCaiPeiyuanChenYongtaoLiZhiqiang (HenanArchitecturalEngineeringSchool,Zhengzhou450007,China) Abstract:Thebasicdataoftheinternalforceinthedesignandtestofaroofbeamhasaveryimportantstandinginpracticalengineeringconstruction,sodu-ringtheteachingprocess,thedrawingofaroofbeam'sinternalforce,especiallythedrawingofitsbendingmomentdiagramisthefocalpointinmechaniclectures.Accordingtothedifferencialrelationprincipleofloadandinternalforce,tocalculatethebendingmomentofaroofbeam'scontrollingsurfacebyusingtheareacalculatingmethodisanewlysimpleandfastmethodtodrawadiagramofthebendingmomentofaroofbeam.?Keywords:shearingforcediagram;bendingmomentdiagram;areacalculatingMethod 一、引论?为了计算梁的强度和刚度，不仅要计算梁任意横截面上的剪力和 弯矩，还必须知道剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律。在一般情况下，梁截面位 置不同，则剪力和弯矩也不同。若横截面的位置用沿梁轴线的坐标X来表示。 则各横截面上的剪力和弯矩都可以表示为位置坐标X的函数， 即?Q=Q(x)?M=M(x)?剪力方程和弯矩方程可以表明梁上剪力和弯矩沿梁轴线的变 化规律。?为了一目了然地表明剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，找到梁内剪力 和弯矩的最大值以及它们所在的截面位置，可以根据剪力方程和弯矩方程绘制 梁的剪力图和弯矩图。按选定的比例，用与梁轴线平行的坐标X表示梁沿轴线 的截面位置，用与X轴正交的Q(或M)坐标轴表示相应截面的剪力(或弯矩)，描 点画出Q(X)M(X)所表示的函数图像，分别称为剪力图，弯矩图。在土建工程中， 习惯把正剪力画在Q轴的正向，负剪力画在Q轴的负向，并注明(+)(-)号;弯矩 图总是画在梁受拉的一侧，并注明(+)(-)号。 二、剪力、弯矩与荷载之间的微分关系?由力学分析可得剪力、弯矩与荷载 之间存在有以下微分关系:?dQ(x)/dx=q(x)?dM(x)/dx=Q(x)?由数学知识可知， 上两式的几何意义是:剪力图上任一点的切线的斜率等于梁上对应点处的荷载集 度;弯矩图上任一点的切线的斜率等于梁在对应截面上剪力。?利用M(x)、Q(x)、 q(x)之间的关系及其几何意义，可以分析画Q图和M图的一些规律，下面分析集中情况:?1.在无分布荷载作用的梁段，由于Q(x)为常数，M(x)为一次函数，因此剪力图为一条平行于X轴的直线，弯矩图为一条斜直线。?2.在有均布荷载作用的梁段，由于Q(x)为一次函数，M(x)为二次函数，因此剪力图为一条斜直线，当q(x)0时，Q图为右下斜直线，或当q(x)0时，Q图为右上斜直线，弯矩图为一条下凸或上凸的二次曲线。?注意:根据M图的坐标规则，当q(x)向下时，对应梁段M图为下凸曲线;当q(x)向上时，对应梁的M图为上凸曲线。?3.由dM(x)/d(x)=Q(x)可知，在Q(x)=0处，M(x)有极值。即剪力等于零的截面上弯矩具有极值(极大值或极小值)。?4.在集中力作用的截面上，由于此处Q(x)函数不连续，截面左右两侧剪力值不相等，因此剪力图发生突变，且突变值等于该集中力的大小,其突变方向与集中力方向一致。?5.在集中力偶作用的截面上, 截面左右两侧弯矩值不相等,因此弯矩图有突变,且由于此处M(x)函数不连续, 突变值等于该集中力偶矩。?根据梁段落上的外力情况，利用以上各项规律就可判断出该梁剪力图和弯矩图的形状，只要确定梁的控制截面并求出控制截面的剪力值和弯矩值，就可画出剪力图和弯矩图，而不需要列剪力方程和弯矩方程，因而非常简便。 三、面积计算法?由与微分关系相对应的积分关系还可得:若梁上无外力偶作用，则指定截面上的弯矩等于该截面左侧(右侧)部分上剪力图的面积代数和:?M=?QiLi?这里:?(1)若取截面左侧部分为研究对象，则正的剪力对应于正的面积，负的剪力对应于负的面积;若取右侧部分为研究对象，则正好与之相反。?(2)剪力图长的因次为[长度]，其高度的因次为[力]，故剪力图面积的因次为[力]×[长度]为弯矩的因次相同。?(3)两截面之间若有集中力作用。此方法仍然适用。 四、面积计算法应用说明?(一)单个集中力作用下的弯矩图?例1如图一所示: 图一 剪力图为一条平行于X轴的直线位于Q轴的负向。可知弯矩图为一条斜直线，由面积法绘制弯矩图的结论可知?MB=-F×L=-FL?则可直接绘制弯矩图如图1所示。?例2如图二所示 图二 由剪力图可知弯矩图为一斜直线。由先按弯矩图在所取截面左侧。左侧有正剪力对应正面积，负剪力对应的面积则:?MC左=Pb×a/L=pab/L??弯矩从A点弯矩为零开始到B点弯矩为pab/L的斜直线。?MB左=pab/L-pab/L=0?所以弯矩图由P点开始向B点弯矩为零过渡由上可得由上可得该简支梁弯矩。如图2所示。?同样取右侧也是一样的:?MC右=Pab/L?MA右=pab/L-pab/L=0?注:右侧正剪力对应负的面积，负剪力对应正的面积。以后的几种情况都是用该方法确定面积值的正负。?以上两例为一个集中力作用下的悬臂梁和简支梁的弯矩图的绘制。下面为大家介绍几种常见情况。?(二)多种力作用下的弯矩图绘制。?例3如图三所示: 图三 对于AB段:?先按截面左侧计算因为剪力图为斜直线。?所以对应的弯矩应 ?对应的剪力图面积为:?-8×2×1/2=-8?MB左=-8?对于BC段，为下凸直线。AB段 CD段?因为剪力图为平行于X轴的直线所以对应的弯矩图为斜直线?MC左=-8+12×2=16?MD左=16-8×2=0?描点连接AB段BC段CD段全梁M图，如图3所示。?(三)有集中力偶作用下的弯矩图?例4如图四所示 图四 对于AB段:因为剪力图为平行X轴的直线，所以对应的弯矩图应为斜直线?MA=0?MA左=6×2=12?对于BC段:?剪力图为斜直线则弯矩图为下凸，二次抛物线又因为D点剪力为零，所以抛物线极值在该处。由三角形相似可得:?BD/DC=6/8?BD+DC=4?得BD=1DC=3?MD右=18×3×1/2=27?所以D点对应的极值为27KNM?因为在B点处有集中力偶作用，所以B点处的M应有突变其值等于力偶值该力偶为顺时针，所以B点处的M值由原来12KNM突变为24KNM描点连接AB段BC段即为该梁弯矩图如图4所示。?四)特殊形式?例5，如图为斜直线?AC段:?剪力为平行于X轴的直线，所以弯矩图为斜直线。?MC左=F×A=FA?CB段: 图五 剪力为零，但由于梁段受集中力偶作用，整段的弯矩值等于力偶值，所以为平行于X轴的直线。?对于这种剪力为零的梁段的特殊形式，若是没有集中力作用，面积法同样适用。若是有集中力偶作用。则弯矩为一条平行X轴，直线 距离X轴的为弯矩值，正负由力偶的正负来确定。? 五、结语?通过理论分析和实例验证，面积计算法绘制弯矩图不失为一种简便的有效绘制弯矩图的方法,而且此方法比起截面法和简易法绘制弯矩图来说，有许多无法替代的优点,固而此方法可以推荐使用。?参考文献:?[1]李龙堂《材料力学》，辽源煤炭工业学校1985年9月第一版.?[2]李芝祥《应用建筑力学》，云南大学出版社2003年6月第一版.