可测函数的几个等价定义解析

可测函数的几个等价定义解析 本科生毕业 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 ,论文, 论 文 题 目: 可测函数的几个等价定义 姓 名: 李俊 学 院: 数学与统计学院 专 业: 数学与应用数学 年 级 、 学 号: 09034028 指 导 教 师: 王天军 2015届本科毕业论文(设计) 可测函数的几个等价定义 摘要 我们从 小学 小学生如何制作手抄报课件柳垭小学关于三违自查自纠报告小学英语获奖优质说课课件小学足球课教案全集小学语文新课程标准测试题 到大学基本上所学的函数基本都属于连续函数，我们所学习的连续函数虽然简单但不能完全表达在实变函数中所需要的实质性意义。在实变函数中所学习的函数不同于简单连续函数，它要比连续函数要广泛的多，它就是建立在可测集上可测函数。可测函数实际上包括了很多不连续的函数，例如我们学习的狄利克雷函数等。本文将介绍可测函数的几个常见的定义，并通过这几个定义探讨可测函数与简单函数之间的联系，从而寻找可测函数几个定义之间的等价性，来发现可测函数定义更加深刻的内涵。 关键词:可测函数;连续函数;等价定义 I 可测函数的几个等价定义 Some equivalent definitions of measurable function Abstract We from primary school to university basically the basic functions are continuous functions. Our study of continuous function although simple but not fully expressed in real variable function of substantive significance. In real variable function, the function of the function is different from the simple continuous function. It is much more extensive than the continuous function. It is set up measurable function on measurable set.. Measurable functions actually include many discontinuous functions, such as the de Lickley function of our study.. Will be introduced in this paper can be measured as a function of several common definitions of, and through these definitions probes can test the link between function and a simple function, in order to find measurable equivalence between the function definitions, to find measurable function defined on a more profound connotation. Key words: Measurable function; continuous function; Equivalence definition II 2015届本科毕业论文(设计) 目 录 中文摘要............................................................ I 英文摘要........................................................... II 引言.............................................................. III 1. 测度论........................................................... 2 1.1外侧度的定义................................................. 2 1.2可测集....................................................... 2 2.可测函数.......................................................... 4 2.1可测函数的几种常见定义....................................... 4 3(可测函数的性质................................................... 6 4可测函数与简单函数的关系 .......................................... 8 [7]4.1可测函数与简单函数的收敛关系 ............................... 9 5可测函数的构造 ................................................... 11 [8]5.1鲁津定理 .................................................. 11 5.2鲁津定理的证明.............................................. 11 6.可测函数定义之间的等价性......................................... 12 6.1可测函数定义的应用.......................................... 14 6.2可测函数定义之间的关系...................................... 16 结束语............................................................. 17 参考文献........................................................... 17 2015届本科毕业论文(设计) 引言 实变函数的创立是在数学发展史上是一个伟大的奇迹。它是普通微积分血的延续，实变函数的建立克服了微积分学存在的缺点，使得数学的发展得到了极大地进步。在实变函数学习的过程中，可测函数是学习并且学好实变函数的理论基础。而可测函数相对于简单函数是建立在一个新的理论之上，我们称之为测度论，要了解实变函数中的可测函数必须先了解什么是可测集。所以本文将从测度论开始探讨可测函数的几种常见定义。 可测函数最重要的就是它的定义，所以本文主要讨论可测函数的几种常见定义，并且通过定义之间的等价性来讨论可测函数和简单函数，可测函数和连续函数的联系，对可测函数的等价定义进行探究。 实变函数中最为重要的概念就是可测函数，而可测函数就如同简单连续函数一样，它是是数学分析中的基础，在数学分析中简单连续函数非常重要。那么可测函数这一概念就是实变函数论中的基础，是实变函数论中的根本。了解可测函数必须从可测函数的基本定义出发，本文在介绍可测函数的定义时，会首先介绍在实变函数中的测度理论，通过对测度论的理解，从而得到定义在可测集上的可测函数的基本定义。通过可测函数的几个特殊性质从而得到可测函数的几个等价定义。了解可测函数的定义之后，我们可以通过可测函数的等级定义来证明我们所研究的函数是否为可测函数。探究可测函数的定义对我们学习实变函数中的知识有非常大的帮助。通过对可测函数定义的研究使我们对数学的学习加深了浓厚的兴趣，对可测函数定义等价性的研究可以培养我们的创新思维，开阔我们对实变函数的理解。 利用我们熟悉的知识来逼近我们不熟悉的知识，这是处理一些数学问题的基本思想。这个思想我们也可以用在实变函数的研究上。我们可以通过利用简单函数来逼近可测函数就如同用多项式来逼近连续函数或用幕级数来表示解析函数的方法一样。要想利用简单函数来逼近可测函数我们必须了解鲁津定理，本文将详细介绍鲁津定理并通过对鲁津定理的证明加深鲁津定理的理解。这样就能更好地帮助我们得到可测函数的等价定义。 1 可测函数的几个等价定义 1.测度论 在介绍测度论之前，我们可以通过已经学习的概念来类比一下，找出测度论的概念，事实上，在我们的现实生活中，我们所学习的长度、面积、体积这些概念.它们都具有自己独特的意义，长度表示为一个线段的长，面积表示图形的大小，体积表示了是物体的空间占有量，所以对于区间，我们可以给这个几a,b,, 何定义一个新意义的长度，我们称之为“测度”. [1]1.1外侧度的定义 *n现在，我们就从中集合的外侧度的定义开始我们“可列可加测RmE()E 度”理论建设.就可以给出外侧度的定义. n为R中的任一点集，对于每一列覆盖得开区间定义1 设EE ,,IE,，作出它的体积总和(可以等于，不同的区间列一边,,I，,,:i,i,i1i1, 又不同的)，所有这一切的组成一个下方有界的数集，它的下确界(完全由,, *mE确定)称为的勒贝格外侧度，简称外侧度或外测度，记为，即 EEL ,*mEI,inf,i , i:iEI11,i,, 注意这里不能像数学分析那样用覆盖的有限个区间体积和的下确界定义E 的测度. E 1.2可测集 我们已经了解了外侧度的定义，所以下面我们将介绍一个比外侧度更加良好 2 2015届本科毕业论文(设计) 的概念可测集,因为相对于外侧度不久又可加性，所以我们给出了可测集的 n概念,事实上在中确实有互不相交的集合使得 ER,,i ,,**mEmE(), :,ii ii11,, *那必须对外侧度的定义域加以限制，由此得出 m nn***c引理 设，则对中任何开区间都成立RER,mImIEmIE,，()():: n的充要条件是对中的任何点集都有 R ***cmTmTEmTE,，()():: n为R中任意集合，则由外侧度定证明 充分性显然成立.下证必要性.设T ,,0I义，对于任何，有一列开区间，使得 ,,i ,,* ，且 ImT,，,TI,i,:ii1,i1 但由于 ,,ccTEIE::,TEIE::,，， ， ，，:i:ii1i1,, ,**mTEmIE()::,故 ， ，，,i i1, ,**ccmTEmIE()::, . ，，,i i1, 从而 **cmTEmTE()()::， ,,**c,，mIEmIE:: ，，，，,,ii ii11,, 3 可测函数的几个等价定义 ,**c，，mIEmIE::,， ，，，，,ii，，i1, ,*,,，ImT, . ,i i1, 由于的任意性，即得 , ***cmTEmTEmT()()::，,. 另一方面，显然有 ***cmTEmTEmT()()::，,， 故 ***cmTEmTEmT()()::，,. 由此引理得证. nR定义2 设为中的点集，如果对任一点集都有TT ***cmTEmTEmT()()::，,， *mEmE则称是可测的.这是的外侧度即称为的测度，记为. ETETEL 可测集全体记为. , 2.可测函数 我们已经了解了外侧度和可测集的定义，由此就可以研究可测函数的定义及其性质.外侧度和可测集的定义为我们了解可测函数打下了基础.可测函数的定义源于我们对测度知识的掌握，通过对可测集的了解，我们必然知道在可测集上定义的函数一定可测，由此可以得出可测函数的基本定义. [2]2.1可测函数的几种常见定义 nER,afx()定义3 设是定义在可测集的实函数.若关于任何有限实数，Efa,fx()都是可测集，则称是定义在上的可测函数. E,, 4 2015届本科毕业论文(设计) [3]定理1 设是定义在可测集上的实函数，下列任一条件都是fx()fx()E 在上的可测的充要的条件: E (1) 对任何有限实数，都可测; Efa,a,, (2) 对任何有限实数，都可测; Efa,a,, (3) 对任何有限实数，都可测; Efa,a,, b(4) 对任何有限实数， , 都可测(但充分性要假定Eafb,,a()ab,,, 是有限函数) fx() 证明 与对于是互余的，同样与也Efa,Efa,Efa,Efa,E,,,,,,,, ()1是互余的，故在前三个条件中，只需证明的充要性. 事实上，易知 ,1，， EfaEfa,,:,,,,,,i1n，，, ,1，， EfaEfa,,:,,,，,,i1n，，, 由第一式便知可测函数条件(1)成立(一列可测集的交任为可测集).fx() 由第二式便知条件(1)成立时可测(一列可测集之并任为可测集). fx() 由此证明出第(4)条. nER,定理2 可测集上的连续函数是可测函数. xEfa,,Ux证明 设，则由连续假设，存在x的某领域，使 ，，,, UxEEfa:,,，，,, GUx,()因此，令，则 :xEfa,,,, ，， GEUxE()::,,,:xEfa,,,,,,，， UxEEfa():,,= ,,:xEfa,,,, 5 可测函数的几个等价定义 反之，显然有，因此 GEfa,,,, EfaGEfaGE,,,,:: ,,,, G从而.但是开集(由于它是一族开集之并)，而为可测集，EfaGE,,:E,, GE:故其交任为可测集. [4]n定义4 设为 可测集上定义的实函数.若存在上的简单ER,fx()LE lim,xfxxE,,函数列,x，使得，则称为上的可测函数. fx()，，，，，，E，，,,nn,,n n定义5 设为可测集上的几乎处处有限的实函数.若ER,fx()L ,,,0FE,mEF,,,，存在闭集，使得，在上连续，则称为fx()fx()FE，， 上的可测函数. 3(可测函数的性质 [5]定理3 (1)设是可测函数上的可测函数，而EE,为的可测子fx()EE1 EE集，则看作定义在上的函数时，它是上的可测函数; fx()11 s EE,fx(2)设Eis(1,2,),？定义在有限个可测集的并集上，且fx()，，:iii,1 fxE在每个上都可测，则在上也可测. E，，i EfaEEfa,,,:a证明 (1)对于任何有限数，.由假设等式右边,,,,11 是可测集. a(2) 是可测集而且对于任何有限数，有 E s Efafa,,,,,,,: i,1 6 2015届本科毕业论文(设计) 由假设等式右边也是可测集. 定理4 设在上可测，则以下函数(假设它们在上有意义)皆fxgx(),EE，， 在上可测: E (1) ; (2) ;(3);(4). fxgx()，fx()1/fxfxgx ，，，，，，，， 证明 我们先对(1)和(4)中当(有限常数)时的特别情形进gxc,，，行证明. 关于只需注意. EfcaEfac，,,,,fxc()，,,,, c,0c,0关于cfx，则当时，显然是可测的;当时只需注意 ，， ,a，，Efc,,,0当,,,c,，，Ecfa,,,,, a，，,Efc,,,0当,,,c，，, 现在分别对一般情形进行证明. ,，gaEfgaEfga，,,,,，(1) ,右边括弧中的是可测函数(它是上,,,, 述(1)，(4)特殊情形的结合)，故引理知右边是可测集. ,1，，EfaEfa,,,:, 0,当,,,,,Efa，,，,a，，,(2) ，， ,Ea, 0.当,, ,1，，EfEfa,,,0, 0,:当,,,,,a，，,，，1,(3)00\, 0,EEfEfa,,,,，,,当,,,,,,,f ，，,1，，,EfEfa,,,0, 0.:当,,,,,a，，, 7 可测函数的几个等价定义 ,，，a,EfEgEfEgEfa,,,,,,0000, 0::::当,,,,,,,,，，，，,,,,g,，，,(4)\EfgaEEfga ,,,,,,,,, ,,,，，,a,,,EEfEgEfEgEfa\0000,0,,,,,,::::当,,,,,,,,，，，，,,,,,g,,，，,,, ,xfx,inf定理5 设fx是上一列(或有限个)可测函数，则与，，，，E，，,,nnn 都在上可测. ,xfx,supE，，，，nn 证明 由于 ， EaEfa,,,,,,,,:nn 而得证. EaEfa,,,,,,,,:nn fx定理6 设是上一列可测函数，则，Fxfx,limE，，，，，，,,nnn Fxfx,limGxfx,lim也在上可测，特别当存在时，它也在上可，，，，，，，，EEnnnn 测. limsupinffxfx,，，，，证明 由于 ， ，，nm,mnnn ,,liminfsupfxfx,，，，，,, ， nmnn,mn,, 应用定理5即得证. [6]4可测函数与简单函数的关系 fx例1 设是定义在上的实函数.令 E，， fxfx, 0,当,,，，，，,，fxfx,,max,0，，，，,,, 0, 0.当fx,，，,, 8 2015届本科毕业论文(设计) ,,fxfx, 0,当,，，，，,,fxfx,,,min,0，，，，,,, 0, 0.当fx,，，,, ，,则和都是上非负函数，分别称为的正部和负部.由定义，我fxfxfxE，，，，，，们有 ，,，,fxfxfx,，fxfxfx,,， ，，，，，，，，，，，， ，,，，，，显然，.反之，如果gxhx,是上两个非负实函EfEf,,,,00:，，，，，，，， 数，易知它们分别是某个实函数的正部及负部的充要条件是EgEh,,,,00:. ,,,, ，,fxfxfx,由定理5，若是上的可测函数，则也是上的可测函数. EE，，，，，， 上面例题我们可以看出简单函数都是可测函数，因此由定理6可知一列简单 fxx,lim,,x函数的极限函数也是上的可测函数. ，，，，E，，nnn [7]4.1可测函数与简单函数的收敛关系 fx,x定理7 (1)如果在上非负可测，则存在可测简单函数列，使E，，，，,,k lim,xfx,xE,,,xxk,,,1,2,,？得对任意，且; ，，，，，，，，kkk，1,,k fx,x (2)如果在上可测，则存在可测简单函数列，使得对任意E，，，，,,kxE,lim,xfx,，，，，fx，.如果还在上有界，则上述收敛可以是一致的. E，，kk,, kkfx0,kk2证明 (1)若在上非负可测，对任意自然数，将划分为E，，,,等份，令 jj,1，，kEEfxjk,,,,, 1,2,,2;？，， ,kjkk,,22，， EEfxkk,,,,1,2,？，，，， k，， 作函数列 9 可测函数的几个等价定义 j,1,,,xE,,kj,k,kx,，，2,kjkk,,1,2,,2;1,2.？？ ,kxE,,,k, 则是简单函数，且 ,x，，k ,,xxfxk,,,,1,2,.？，，，，，， kk，1 ,kxE,设，若，则当时，;若，fx,，,kfx,02,,,fxx,fx,，,，，，，，，，，，，k xExfx,,,lim,,,,kk,1,2,？，，，，则，于是对于任意. kk,,k ，，,(2)若fx是一般可测函数，则fxfxfx,,，其中fx和，，，，，，，，，，,，fxfx分别是的正部和负部.由(1)，存在可测简单函数列和,x，，，，，，,,k,xE,，使得对任意， ,x，，,,k ，，,,lim,lim,,xfxxfx,,，，，，，，，，. kkkk,,,, ，,xE,,,,xxx,,,x令，则是可测简单函数列，且对任意，，，，，，，，，,,kkkk lim,xfx,，，，，. kk,, fxsup:fxxEM,,若在有界，设，则由(1)的证明可知，任意E，，，，,, kM,对， 1，，fxxE,,,,sup:，，， ,,kk2 1,,fxx,,,sup，，，，,,， kk2 1fxxxEk,,,,,,,xsup:00因此，，从而在上一致收敛，，，，，，E，，,,,,kk2 fx于. ，， 我们了解了可测函数和简单函数之间的联系，那么就可以通过简单的连续函数来逼近可测函数.通过简单连续函数可以定义可测函数.我们已经了解了可测函数与简单函数的关系，我们将介绍鲁津定理来加深对可测函数与简单函数的关系的理解. 10 2015届本科毕业论文(设计) 5可测函数的构造 通过上面的介绍我们已经了解到了可测函数的几个定义以及可测函数与简单函数之间有着紧密的关系，我们可以看出连续函数在某种程度上可以逼近为可测函数.为了使连续函数与可测函数之间的关系更加具有合理性，我们将在下面介绍可测函数中的一个重要定理，即鲁津定理.通过鲁津定理可以轻松得到可测函数与连续函数的密切关系.由此可见鲁津定理的意义对探讨可测函数多么的重要. [8]5.1鲁津定理 ,,0fx鲁津定理 设是上有限的可测函数，则对任意，存在闭区ae..E，， fxmEF\,,间，使得在上式连续函数，且. FFE,，，，，,,, 在上有限得可测函数是“基本上连续”函数. 简言之，ae..E 5.2鲁津定理的证明 证明 我们从特殊到一般分三种情形来讨论. (1)简单函数情形 n EE,fxc,E设，各可测互不相交，且当xE,，对于in,1,2,,？:，，iiiii,1 ,,,0mEF\,EFE,，由于是可测集，从而可知存在闭子集，且.令，，iii,n n FF,mEF\,,fxFF，则为闭集且.易证限制在上是连续函数. ，，，，:,i,,,i,1 (2)有界可测情形 fx,x,x若有界，则由定理7，存在可测简单函数列，使得在E，，，，，，,,,,kk ,,,0mEF\,fxFE,上一致收敛于.对任意，由(1)，存在闭集，，，，，，kkk2 , FF,,xF使得在上连续令，则F为闭集且 ，，:k,kk,k1, 11 可测函数的几个等价定义 ,,,,,,mEFmEFmEF\\\,,，，，， ::,kk,,,,11kk,,,,,, , ,,mEF\,，，. ,k 1k, 由于在上连续，且一致收敛于，因此在上连续. ,xfxfxFF，，，，，，k,, (3)一般情形的可测函数 mxfx:0,，,,由于，不妨设是上有界函数.设fx，，E，，,,，， fx，，，则gx在上有界可测.由(2)，存在闭集，FE,gxxE,,,，，，，,1，fx，， mEF\,,，使得gx在上连续. F，，，，,, gx，，因为fx，，所为在上连续. gx,1Ffx,，，，，，，,1,gx，， 鲁津定理在应用上通过它常常可以把有关的可测函数问题归结为连续函数 的问题，从而得以简化. 6.可测函数定义之间的等价性 按下列顺序证明:定义3定义4定义5定义3. ,,, 证明 定义3定义4.先构造简单函数列:对任给自然数，令n, BEfn,,BEfn,,,;;，，，，n,n 222EEknfknknnn,,,，,,,，,/1/,1,,0,1,1？？， ，，，，，，nk, 作函数 ， ,,,xknExnBxnBx,，,/，，，，，，，，，，,nnknn,,k 其中 ,,,ExBxBx、、为相应集的特征函数， ，，，，，，nknn,, ,x则为上的简单函数列. E，，,,n ,,,xExfx,lim,,,xE下证 . ，，，，n0,,n 12 2015届本科毕业论文(设计) N若 则存在使得. fx,，,fxE,，，，，00,nk 22knN,当时，总有满足的，使得， ,,,,nkn1knfxkn/1/,,，，，，，0 nE,即. 因此当时，， ,xfxn,,1/xkn,/，，，，0000 故有 lim,xfx,. ，，，，n00,,n 若 ， fx,，,，，0 不妨设 fx,，,，则任给自然数，从而,xn,， nxB,,，，，，0n00n故 lim,xfx,，，，，. n00,,n 定义4定义5，将由鲁津定理证明. , mEFn,,1/定义5定义3，由假设，对任给自然数，有闭集，使，FE,n,，，nn ,fx在F上连续，从而在F上可测.令， FF,，，:nnnn1,则 ,,,,,nmEFmEFn,1/， ，，，，n所以 NEF,,mEF,,0.设， ，， 则 n,,,aRNfa,为零测度集， ，， xFfa,,fxUxx设，则由在可测集上连续，于是存在的某邻域，LF，，，，，， 使 UxFFfa:,,. ，，，，记 GUx,， ，，:xFfa,,，， 则 13 可测函数的几个等价定义 FfaGF,,:，， 从而 ， FfaGF,,:，， nGF:G而为开集，为可测集，故为可测集，因此有,,aRFLL 为 可测集，即是上的可测函数. fxEfaNfaFfa,,,,:LE，，，，，，，， [9]6.1可测函数定义的应用 n例2 设fx在上连续，gx在可测集上处处有限且可测，试证RE，，，， 是上的可测函数. fgx，，E，，，， 证法1 由定义3得 nnnnfxGRfa,,R,,aRR由于在上连续，故，有是 中开集，由开 ，，，， G集的构造定理知其中为开集的构成区间. Gi,,,,,1,2,？，，，，:iii 由于 EfgaxEfyaygx ,,,,,;,，，，，，，， ,, xEgxG,,;，，,,=， xEgx,,,;,,，，,,=， :ii i ,igxxEgx,,,;,,Efga ,而在上可测，故有可测，从而可测，E，，，，，，,,iifgx，，即在上可测. E，，，， 证法2 由定义4得 14 2015届本科毕业论文(设计) 因为在上可测有上的简单函数列使gxgxEE，，，，,,n nlimgxgxxE,,,而是上连续函数， fxR，，，，，，，，nn,, 从而 ，，fgxfgxfgxlimlim，，，，,,，，，，，，， ,,nn，，，，,,,,nn，， 令则是上的简单函数列. ,x,xfgx,，，E，，，，，，,,nnn，， 事实上，设简单函数 mnn，，，，gxcx,, ，，，，,nieii 其中 mn，，Ee,:i， i,1 nnnn，，，，，，，，,xfgxfcb,,,，，且当时，=常数.= 常数，gxc,xe,，，，，，，，，nniiini，， ,xfgx，，fgx，，既然是简单函数列的极限函数，故是上的可测函E，，，，，，,,n，，，，数. 证法3 由定义5得 mEF,,,,,,0gxFE,因为在上可测，由鲁津定理，闭集使得，，，E，，,, nngFR,gxfxRF在上连续，又在上连续，从而在上连续，于是，，，，，，,, Ffgx，，fgx，，在上连续，这样，由定义4可知在上可测. E，，，，,，，，， 通过对可测函数的几个定义理解我们可以利用可测函数的定义来证明哪些 函数是可测函数，哪些函数不是可测函数.由鲁津定理我们已经得出可测函数是 [10]基本连续函数.可测函数定义之间的等价性告诉我们可测函数的定义域其他 15 可测函数的几个等价定义 函数定义不同，其他简单函数的定义不像可测函数那样具有等价性，简单函数相对于可测函数来说只是可测函数的一部分，可测函数可以理解为更为广泛的函数.通过可测函数的等价等义可以解决很多函数实际的问题，合理应用可测函数的定义具有很大的帮组. 6.2可测函数定义之间的关系 以上所列举的可测函数的三种常见定义都是相互等价的.但这些定义都有着优点和不足.定义3从函数fx的水平集Ef,0的可测性角度来描述这个函数，，，， 是否为可测函数.该定义是在建立在可测集上简单定义，是可测函数定义的基础，简单明了，容易使人接受.定义3是应用测度论的知识来定义可测函数.基本上是所有书本中最常用也是最简单的定义.有了这个常用定义才能通过可测函数的等价性找出其他可测函数的等价定义.这个定义也有不足，容易使大家不理解可测 函数的基本结构. 定义4和定义5相对于定义3来说有着很大的不同，定义2是在是通过在可测集上定义了可测函数，定义4和定义5是通过定义在可测集上的连续函数来定义可测函数.定义3表明了可测函数的基础理论知识;定义5在一个小的闭区间内将Ffx “改造”成为连续函数.那么这个连续函数在这个闭区间内是可测函数.F，， 定义5是利用了大家所熟悉的鲁津定理的逆命题来给出了可测函数的一个等价定义.这个定义是在连续函数的基础上推出了可测函数的一个定义，对于证明函数是否为可测函数具有很大的应用价值.但这两个定义只是简单的通过可测函数的性质来得到可测函数的定义，定义4是通过了简单函数的收敛得到了可测函数的定义，定义5是通过实函数在区间的连续从而得到了可测函数的定义.对于证明函数是否为可测函数的应用没有定义3简单明了.综上所得可测函数的几个定义之间具有等价性，可测函数的定义都可以通过它的其他定义来进行等价证明.这就是可测函数等价定义之间的联系. 16 2015届本科毕业论文(设计) 结束语 本论文开始介绍了测度论，重点介绍了外侧度和测度集是为了揭示可测函数的定义.介绍了测度论和可测集的概念是为了得到可测函数最简单明了的一个定义，从这个最基本的定义出发得出可测函数的各种性质，在通过可测函数的性质找到可测函数与简单函数，可测函数与连续函数的关系.最后通过对鲁津定理的研究，我们能够更加简单明了的得出可测函数与连续函数之间的联系.通过这些知识我们可义得出可测函数上述的三个定义之间是等价的，这三个等价定义对于可测函数的学习与应用具有非常大的意义. 参考文献 [1]程其襄等.实变函数与泛函分析基础[M].北京:高等教育出版社，2010:56-88. [2]吴振之.可测函数的几个等价定义.武汉食品工业学院报 [J].1995,(4):68-72. [3]陈泽凡.可测函数的几个等价性定义及若干附注.益阳师专学报[J].1987(2)36-40. [4]倪仁兴.关于五种常见的可测函数定义.甘肃教育学院学报[J].2001:53-55. [5]邹豪思.可测函数的另一定义.内蒙古师范大学学报 [J].2003,32(4):328-331. [6]彭奇林.对可测函数定义的若干探讨. 甘肃教育学院学报[J].1998,12:1-4. [7]张喜堂.实变函数论的典型问题与方法[M].武汉:华中师范大学出版社,2000. [8]侯友良.实变函数基础[M].武汉:武汉大学出版社，2002:76-81. [9]俞凡.可测函数的充要条件. 辽宁师范大学学报[J].1989,(2):72-75. [10]古定桂.可侧函数的等价条件.嘉应大学学报[J].1898,(6):1-7. 古今名言 敏而好学，不耻下问——孔子 业精于勤，荒于嬉;行成于思，毁于随——韩愈 17 可测函数的几个等价定义 兴于《诗》，立于礼，成于乐——孔子 己所不欲，勿施于人——孔子 读书破万卷，下笔如有神——杜甫 读书有三到，谓心到，眼到，口到——朱熹 立身以立学为先，立学以读书为本——欧阳修 读万卷书，行万里路——刘彝 黑发不知勤学早，白首方悔读书迟——颜真卿 书卷多情似故人，晨昏忧乐每相亲——于谦 书犹药也，善读之可以医愚——刘向 莫等闲，白了少年头，空悲切——岳飞 发奋识遍天下字，立志读尽人间书——苏轼 鸟欲高飞先振翅，人求上进先读书——李苦禅 立志宜思真品格，读书须尽苦功夫——阮元 非淡泊无以明志，非宁静无以致远——诸葛亮 熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟——孙洙《唐诗三百首序》 书到用时方恨少，事非经过不知难——陆游 问渠那得清如许，为有源头活水来——朱熹 旧书不厌百回读，熟读精思子自知——苏轼 书痴者文必工，艺痴者技必良——蒲松龄 声明 访问者可将本资料提供的内容用于个人学习、研究或欣赏， 以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法 18 2015届本科毕业论文(设计) 及其他相关法律的规定，不得侵犯本文档及相关权利人的合法权利。谢谢合作～ 19