人口增长模型的确定

人口增长模型的确定 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 建模论文 第 1 套 论文题目,人口增长模型的确定 组 别, 姓 名, 提交日期, 题目:人口增长模型的确定 摘 要 针对问题一，本文建立了Malthus人口指数增长模型。由于人口数量较少时，人口的增长率可以看成常数，所以在预测人口数量较少时，Malthus人口指数增长模型能够比较准确的预测人口数量。由预测结果可以看出，Malthus模型在人口数量不是很大的1800年到1960年预测与实际相近，但在1960年以后预测结果与实际人口相差很大，这说明Malthus模型并不能准确的预测美国人口，因此在问题二种对该模型进行了改进。 针对问题二，本文建立了logistic人口增长模型。由于受到自然资源和生态环境的限制，人口的增长不能超过环境所能容纳的最大人口数量，所以当人口数量到达环境容纳量时，增长率应为0。从预测结果来看，从1790年到1980年Logistic模型的预测数据和实际数据基本吻合。从1990年的预测结果来看，其与实际结果非常相近，更加趋近于实际数据。在一定程度上，Logistic模型从一定程度上克服了指数增长的不足，更能准确地预测美国人口的增长。但随着时间的推移，Logistic模型的预测结果与实际结果的差距越来越大，因此这种模型也只适用于对最近几个十年的人口进行预测。 针对问题三，本文应用问题一和问题二的模型。用这两种模型 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 中国同时期的人口数量。由预测结果来看，Malthus模型预测1790年到1980年之间的中国人口数量，与实际数据相差甚大，在1840-1940年之间，实际人口增长明显下降，而Logistic模型更加拟合实际人口数量。在2010年，Logistic模型预测的人口数量为16亿，这与实际的人口数量13.4亿相差较大，这种差距是由中国在90年代实行的计划生育政策造成的。 综上所述，Logistic模型能够比较准确的对人口进行预测，但是任何一种模型都有其适用范围，也只能最近几年的人口，如果要预测更远的未来的人口，还需要考虑更多的不确定因素。 关键词:人口增长模型，Malthus模型，logistic模型，人口预测 一、问题重述 1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 所示。 表1 人口记录表 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 年份 613.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 人口(，10) .试 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 年份 用662.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 人口(，10) 以 上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。 2.如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测，并对两次预测结果进行对比分析。 3.查阅资料找出中国人口与表1同时期的人口数量，用以上建立的两个模型进行人口预测与分析。 二、问题分析 针对问题一，题目中已经给出了1790-1980年间美国每隔10年的人口记录，现需建立Malthus人口指数增长模型，拟合实际人口数量。再根据已建立的模型对接下来的每隔十年预测五次人口数量，最后可以查找1990年、2000年和2010年的实际人口与预测的结果进行比较，对模型进行检验。 针对问题二，由于人口的变化受到多方面因素的影响，所以实际人口往往不是以指数形式增长的，而更可能是增长到一定程度后逐渐趋于平稳的，为此我们可以采用Logistic阻滞增长模型对人口进行预测和分析。 针对问题三，可以查阅到与表1同时期的中国人口数据，然后用再用Malthus模型和Logistic模型对中国人口进行预测，并与实际人口数据进行对比，寻找一种更适合中国人口预测的模型。 三、问题假设 1、假设不会发生大的灾难或疾病使人口数量急剧减少; 2、假设政策对生育率不进行干预; 3、假设人口数量的变化是封闭的，即人口数量的增加与减少只取决于人口中个体的生育与死亡，且每个个体具有同样的生育能力与死亡率; 4、假设人口数量仅受自然资源与环境条件所限制。 四、变量说明 x(t) t时刻的人口数量 x 0初始时刻的人口数量 r人口增长率 x m自然资源与环境条件所能容纳的最大人口数量 五、模型建立与求解 5.1 模型一的建立与求解 假设x(t)表示t时刻的人口的人口数，且x(t)连续可微。在Malthus模型中人口的增长率为常数。人口数量的变化是封闭的，即人口的增长与减少只取决于人口中个体的生 tt，,育与死亡，且每个个体具有同样的生育率与死亡率。由假设，由t到时刻的人口增量为: xttxtrxtt()()()，,,,, 于是得 dx,,rx ,dt, ,xx(0),0, 其解为 rtxtxe(), 0 5.2 模型二的建立与求解 由于地球上的资源是有限的，它只能提供一定数量生命生存所需的条件。随着人口的增加，自然资源、环境等条件对人口再增长的限制作用越来越明显。如果在人口较小时，可以把增长率r看成常数，当人口增加到一定数量之后，就应该把r看成随着人口增加而减小的量。即将增长率r表示为人口x(t)的函数r(x)，且r(x)为x的减函数，由此建立logistic模型。 假设r(x)为x的线性函数，即r(x),r,sx。自然资源与环境所能容纳的最大人口数量 x,x为x，即当时，人口的增长率为0。由假设可得 mm xrx,r,()(1) xm 则有， dxx,(1),,rx,dtx,m ,()xtx,00, 式()是一个可分离变量的方程，其解为 xm,x(t) ,,x,r，，t,tm0,,1，,1e,,x0,, 六、结果分析 6.1 问题一 采用Malthus模型对问题一求解，所得预测结果如图1和表2所示: 图1 Malthus模型预测结果 表2 Malthus模型预测结果 1990 2000 2010 2020 2030 年份 6405.53 502.40 622.41 771.08 955.26 Malthus预测人口(10) 6248.71 281.42 308.74 实际人口(10) 由图1可知，在1930年之前，美国的人口可以认为是以指数模型增长的;而在1930年到1940年之间，人口增长缓慢，这可能是第二次世界大战对美国人口产生了影响;1940年之后，人口增长逐渐趋于缓慢，不再以指数模型进行增长，这与美国人口的生活观念和生活方式的转变有一定的关系。由表2可知，Malthus模型的预测结果与实际人口相差很大，这说明Malthus模型并不能用于预测美国人口，因此该模型还需要进一步改进。 6.2 问题二 采用Logistic模型对问题二求解，所得预测结果如图2和表3所示: 图1 Logistic模型预测结果 表3 Logistic模型预测结果 1990 2000 2010 2020 2030 年份 6230.91 242.51 252.01 259.66 265.72 Logistic预测人口(10) 6248.71 281.42 308.74 实际人口(10) 由图2可知，从1790年到1980年Logistic模型的预测数据和实际数据基本吻合。从1990年的预测结果来看，其与实际结果非常相近，只有7.7%的误差。这说明Logistic模型从一定程度上克服了指数增长的不足，更加符合实际人口增长的速度。但随着时间的推移，Logistic模型的预测结果与实际结果的差距越来越大，因此这种模型也只适用于对最近几个十年的人口进行预测，如果用来预测更远的未来的人口，还需要考虑更多的不确定因素。 6.3 问题三 查阅同时期中国人口数量如下表4所示: 表4 中国人口记录表 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 年份 ,6323.45 341.6 360.7 381 409 412 412 377 358 368 ，10人口() 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 年份 ,6380 400 423 472 489 518.77 551.67 662.07 825.4 987.0 ，10人口() 分别用模型一和模型二的求解，所得预测结果如图3和表5所示: 1990 2000 2010 2020 2030 年份 6702.16 732.44 764.20 796.96 831.33 Malthus预测人口(10) 61137.03 1352.09 1606.62 1900.1 2228.6 Logistic预测人口(10) 61135.18 1264.10 1341 实际人口(10) 由图3发现，由Malthus模型预测1790年-1980年之间的中国人口数量，与实际数据相差很大，在1840-1940年之间，人口增长明显下降，而Logistic模型更加拟合实际人口数量。在2010年，Logistic模型预测的人口数量为16亿，这与实际的人口数量13.4亿相差较大，这种差距是由中国在90年代实行的计划生育政策造成的。 八、参考文献 [1] 张志涌，杨祖樱. MATLAB 教程 人力资源管理pdf成真迷上我教程下载西门子数控教程protel99se入门教程fi6130z安装使用教程 [M]. 北京:北京航空航天大学出版社, 2011. [2] 姜启源，谢金星，叶俊.数学建模(第三版)习题参考解答[M],北京，高等教育出版社，2002. [3] 齐欢.数学模型 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 [M].武汉:华中理工大学出版社，2005. [4] 谢金星，薛毅.优化建模与LINDO/LINGO软件[M].北京，清华大学出版社，2005 [5] 李工农，阮晓，青徐晨.经济预测与决策及其MATLAB实现[M].北京:清华大学出版社，2007. 九、附录 程序1 clear clc t=1790:10:1980; x(t)=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 ]; y=log(x(t)); a=polyfit(t,y,1) r=a(1),x0=exp(a(2)) t1=1790:10:2030; x1=x0.*exp(r.*t1); plot(t,x(t),'r',t1,x1,'b'); axis([1790 2010 0 700]); 程序2 clear clc % 定义向量(数组) x=1790:10:1980; y=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 ... 92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5]; plot(x,y,'*',x,y); % 画点，并且画一直线把各点连起来 hold on; a0=[0.001,1]; % 初值 % 最重要的函数，第1个参数是函数名(一个同名的m文件定义)，第2个参数是初值，第3、4个参数是已知数据点 a=lsqcurvefit('curvefit_fun2',a0,x,y); disp(['a=' num2str(a)]); % 显示结果 % 画图检验结果 xi=1790:10:2010; yi=curvefit_fun2(a,xi); plot(xi,yi,'r'); % 预测1990年的数据 x1=1990; y1=curvefit_fun2(a,x1) % 预测2000年的数据 x2=2000; y2=curvefit_fun2(a,x2) % 预测2010年的数据 x3=2010; y3=curvefit_fun2(a,x3) % 预测2020年的数据 x4=2020; y4=curvefit_fun2(a,x4) % 预测2030年的数据 x5=2030; y5=curvefit_fun2(a,x5) hold off 美国人口预测 年份 实际 Logistic Malthus 相对误差(Malthus) 相对误差(Logistic) 1790 3.9 3.9 5.59167 -43.37615385 0 1800 5.3 5.16691 6.92733 -30.70433962 2.511132075 1810 7.2 6.8354 8.58203 -19.19486111 5.063888889 1820 9.6 9.02534 10.63198 -10.74979167 5.986041667 1830 12.9 11.88703 13.17159 -2.105348837 7.85248062 1840 17.1 15.60494 16.31783 4.574093567 8.743040936 1850 23.2 20.39912 20.2156 12.8637931 12.07275862 1860 31.4 26.52166 25.04442 20.24070064 15.53611465 1870 38.6 34.24477 31.02667 19.62002591 11.28297927 1880 50.2 43.83676 38.43787 23.43053785 12.67577689 1890 62.9 55.52269 47.61936 24.29354531 11.72863275 1900 76 69.43027 58.99399 22.37632895 8.644381579 1910 92 85.52814 73.08562 20.5591087 7.034630435 1920 106.5 103.57255 90.54326 14.98285446 2.748779343 1930 123.2 123.08527 112.17094 8.952159091 0.093125 1940 131.7 143.38309 138.96472 -5.516112377 -8.870987092 1950 150.7 163.66332 172.15862 -14.23929662 -8.602070338 1960 179.3 183.12602 213.28139 -18.95225321 -2.133865031 1970 204 201.09536 264.22698 -29.52302941 1.423843137 1980 226.5 217.10295 327.34173 -44.5217351 4.148807947 1990 -- 230.91488 405.53242 2000 -- 242.50778 502.40017 2010 -- 252.01481 622.4063 2020 259.6639 771.07778 2030 265.7242 955.26175 中国人口预测 相对误差相对误差年份 中国 Malthus Logistic (Malthus) (Logistic) 1790 323.45 301.81471 303.9 6.688913279 6.044210852 1800 341.6 314.8293 305.14258 7.836855972 10.67254684 1810 360.75 328.40509 306.78056 8.966018018 14.96034373 1820 381 342.56629 308.9394 10.08758793 18.91354331 1830 409 357.33813 311.78408 12.63126406 23.76917359 1840 412 372.74695 315.5314 9.52743932 23.41470874 1850 412 388.82021 320.46584 5.626162621 22.21702913 1860 377 405.58657 326.96015 -7.582644562 13.27316976 1870 358 423.07592 335.50171 -18.17763128 6.284438547 1880 368 441.31943 346.72593 -19.92375815 5.780997283 1890 380 460.34961 361.45825 -21.14463421 4.879407895 1900 400 480.2004 380.76564 -20.0501 4.80859 1910 423 500.90718 406.01837 -18.41777305 4.01456974 1920 472 522.50686 438.96102 -10.70060593 6.999783898 1930 489 545.03794 481.78915 -11.45970143 1.474611452 1940 518 568.54058 537.22329 -9.756868726 -3.711059846 1950 551.67 593.05669 608.56421 -7.502073703 -10.31308753 1960 662.07 618.62995 699.70282 6.5612473 -5.684114973 1970 825.42 645.30597 815.04422 21.82089482 1.25703036 1980 987.05 673.13228 959.2922 31.803629 2.812197964 1990 702.1585 1137.03535 2000 732.43636 1352.09174 2010 764.01983 1606.62412 2020 796.96522 1900.1 2030 831.33125 2228.6