mKdV方程的辛算子序列的计算机符号运算

mKdV方程的辛算子序列的计算机符号运算 1999 年 3 月 1999 JOU RN A L O F H YD ROD YN AM IC S M a r. , 方程的辛算子序列的 m K dV 计算机符号运算 α 张宝善 ()上海大学, 上海市应用数学和力学研究所, 上海 200072 摘 要 本文首先给出 m KdV 方程的 H am ilto n 辛算子序列的构造及其检验, 推得 H am ilto n 辛算子序列的显式表示式, 并用计算机符号运算求解 辛算子序列, 最后以一个例子说明H am ilto n 辛算子序列的显式表示的必要性和优越性。H am ilto n 方程, 方程, 辛算子序列, 显式表示式, 符号运算 关键词 m KdV H a r ry D ym H am ilto n 分类号 0353. 2 1 方程的 辛算子序列的构造 m K dV H am ilto n 1, 2, 3考虑如下形式的 方程m K dV 2 ()u + Αu u + u = 01. 1 t x x x x 4, 5, 66 () 象 方程的分解一样,给出 方程 1. 1的两种 形式。这m K dV M ag r i m K dV H am ilto n 两种分解是 Α3 ) ( ) ( u +u =0 1. 2 u t + 5x x x 3 x x Α Α 22Α Α 2 ) vv(()v I d Ν- vv I d Ν= 0 u + 5+ v5+1. 3 v I -xΝx Νv t x x x x x b? 3 3 ?Α 3 3 ( ) ( ) 前 者比较简单而后者较繁且表述不清。 现在, 我们给出 方程 1. 1的较 1. 3简单的 m K dV 分解。 这种分解是H am ilto n 2Α Α 22 ()5+) (1. 4 u + 5+ ux u xu 5d x u = 0t x x x x ()?x 3 3 ( )u 5d x u 表示u 5u d x , 且„ x x () () x ?x ?x ) ( 的分解 1 “”表示关于 x 的不定积分中的某个原函数, 我们的目标是利用 方程 1.m K dV () ?x ()() () () 1. 2、1. 4构造 辛算子序列 {Q j u } 和 {S j u } 。 H am ilto n α本文于 1997 年 7 月 1 日收到。 本项目为国家自然科学基金资助课题。 () () () 事实上, 利用 方程 1. 1的分解 1. 2, 1. 4, 我们给出下述定义: m K dV () 定义 1. 1 方程 1. 1的度量算子 m K dV Α Α222 () u 1. 5 L ? 5, N ? 5+u5+x u 5x d xu x u x x x x (?x ) 3 3 () 对任意可微二元函数 Υ= Υx , t的作用分别是 Α Α 222 ()u 1. 6 u u 5Υd xL u Υ? 5x Υ , N u Υ ? 5x x x Υ + 5x Υ +xx () x 3 ?3 (其中, 偏微分算子 L u 是 辛算子, 算子N u 是否为 辛算子有待验证。借助 1. H am ilto n H am ilto n )() () () 5、1. 6确定的度量算子, 我们来构造序列 {Q u } 和 {S u } 。j j () () () 定义 1. 2 序列 {Q j u } 由 L uQ j + 1 u ? N uQ j u 确定, 即 Α 22Α 2 () () ( ) ( ) ( ) u + u u 5Q u5x Q j + 1 u = 5x x xQ j u + 5xQ j1. 7 u xx j d x ( ) 3 3 ?x () () () () 序列 {S u } 由 S u = L Q u = 5Q u 确定, 其中 j j uj xj Α 3 () () ( ) Q u = u , Q u = u +u 1. 8 1 2 x x 3 另外, 我们指出: 与度量算子对应的内积空间仍是由双线性积分形式 ()< u , v > = u v d x „ 1. 9 ?8 () 所定义。 在以下讨论中, 我们将假定 1. 9所定义的内积空间中的 u , v 以及各阶偏导数关于 x 在边界 8 上的值为零或无穷小量, 也就是说, 内积〈?, ?〉具有如下性质: < u , v > = - < u , v > , Π u , v 定理 1. 3 x x 2 方程的 辛算子序列的检验 m K dV H am ilto n ( )( ) () () 为了检验由定义 1. 2 中 1. 7、1. 8两式所确定的序列 {Q j u } 和 {S j u } 是 方 m K dV 程的 H am ilto n 辛算子序列, 需要证明定义 1. 1 中算子 N u 一定是 H am ilto n 辛算子就可以了。 即要证明 定理 2. 1 对任意 d v , ?v , ?v , 算子 N 满足u ()2. 1 < d v , N ?v > = - < ?v , N d v > u u () () () < d v , N ′v , N ?v v , N ′, N d v , N ′v , N ?v 0 u ?u > + < ?u ?v u > + < ?v u d u > = ()2. 2 其中 N u ′ 表示 N u 的 Ga teau x 导数。 证明 < d v , N ?v > = d vN ?v d xu u 8? 2Α 2Α 2() = d v 5?v + u 5?v + uu 5?v d x d xx x x x x x () 8? ?x 3 3 2Α 2Α 2 ()(2. 3 = d v 5?v d x + d v u 5?v d x + d v uu 5?v d xx x x x x x d x () 8? 8? 8? ?x 33 在上式中, 对第一项连续用定理 1. 3 得到 d v 5?v d x = - ?v 5d v d x()x x x x x x 2. 4 ??8 8 对第三项同样得到 2Α 2Α ( ) d x = d v uu 5?v d xu 5x ?v d xd u d v - u 5d v d xx x x ()8? ?(x ) 8?? x (?x ) 33 2Α () = - u d v - u 5d v d x u 5?v d xx x 8? ( ? ) x 3 2Α 2Α 2 ( ) 2. 5 = - d v u 5?v d x + u 5?vu 5d v d x d xx x x 8? 8? (?x ) 33 () () () 将 2. 4, 2. 5代入 2. 3后得到 2Α < d v , N ?v > = - ?v 5d v d x + u 5?vu 5d v d x d xu x x x x x 8 ?8? (?x ) 3 2Α () = - ?v 5d v d x - ?v 5uu 5d v d x d xx x x x x 8 ? 8 ? ( ? ) x 3 2Α 2Α 2() = - ?v 5d v + u 5d v + uu 5d v d x d xx x x x x x () 8 ? ?x 3 3 ()= - < ?v , N d v > 2. 6 u () ()这就证明了 2. 1, 即算子 N u 是反对称算子。下面再证明算子 N u 满足 2. 2。根据 导 Ga teau x 数定义, 我们有 Α2d d 2 () (() ′?v , N ?v = N N ?v ?v 1 Ε= 0 = 5x x x ?v + u + ΕN u ?v „ 5x ?vu u u + ΕN u 3 d Ε d Ε 2Α () () ) + u + ΕN u ?v x u + ΕN u ?v 5x ?v d x 1 Ε= 0()3 ?x 4Α 2Α 2Α ( ) = uN ?v 5?v + 5N ?v u 5?v d x + u N ?v 5?v d x„„„ u x xu x x u x 2. 7 (?x ) (?x ) 3 3 3 于是, () () < d v , N ′?v , N ?v > = d vN ′?v , N ?v d xu u u u ?8 4Α 2Α = u d vN ?v 5?v d x + d v 5N ?vu 5?v d x d xu x xu x 8? 8 ? (?x ) 33 2Α + u d v „N ?v „ 5?v d x d xx u x 8? (?x ) 3 4Α 2Α = u d vN ?v 5?v d x - u d v N ?v 5?v d xu x u x 8? 8 ? 33 2Α 2Α N ?v 5d v u 5?v d x d x - - u 5d v „ N ?v „ 5?v d x d x u x x x u x ()()8? 8? ?x ?x 33 2Α - u d vN ?v 5?v d xu x 8? 3 2Α 2Α = - N u ?v 5x d v u 5x ?v d x d x -u 5x d v N u ?v 5x ?v d x d x„„ ()()8? 8? ?x ?x 33 2Α 2Α N ?v 5d v u 5?v d x d x + = - N ?v 5?v „ u 5d v d x d x u x x u x x ()()8? 8? ?x ?x 33 2Α ()() 2. 8 = N ?v ?v u 5d v d x - 5d v u 5?v d x x „u 5x x x x d ()()8? ?x ?x 3 注意到 Α Α 222 u u 5?v d xN u ?v = 5x x x ?v + u 5x ?v +xx () x 3 ?3 2Α ()= 5?v + u 5?v d x ()ux 5x x x 2. 9 (?x ) 3 () 2. 8式可以进一步简化为 2Α 2Α () ()() d v , N ′v , N ?v 2. 10 < ?v + uu 5?v d x f d x u ?u > = -5x x x 5x ()8? ?x 33 ( ) 2. 11 f = 5?vu 5d v d x - 5d vu 5?v d xx x x x (?x ) (?x ) ()() 最后利用 2. 10、2. 11进行计算整理得到 2Α () [ 5?v 5?v u 5d v d x d v , N ′v , N ?v x x x x x < u ?u > = -()?8 ?x 3 2Α - 5?v 5d vu 5?v d x + u 5?vu 5?v d x u 5d v d xx x x x x x x x x () () () ?x ?x ?x 3 2Α ()2. 12 - u 5d vu 5?v d xu 5?v d x ]d xx x x x () () ?x ?x 3 对上式的 d v , ?v , ?v 施行两次轮换分别得到 2Α () < ?v , N u′ ?v , N u d v > = -[ 5x x d v 5x x ?v u 5x ?v d x()8? x ?3 2Α - 5d v 5?vu 5?v d x + u 5?vu 5d v d xu 5?v d xx x x x x x x x x (?x ) (?x ) (?x ) 3 2Α ( ) u 5?vu 5?v d xu 5d v d x ]d x2. 13 - x x x x (?x ) (?x ) 3 2Α () < ?v , N u′ d v , N u ?v > = -[ 5x x ?v 5x x d v u 5x ?v d x()8? ?x 3 2Α - 5?v 5?vu 5d v d x + u 5d vu 5?v d xu 5?v d xx x x x x x x x x (?x ) (?x ) (?x ) 3 2Α ( ) - u 5?vu 5d v d xu 5?v d x ]d x2. 14 x x x x (?x ) (?x ) 3 ()() () 这样, 由 2. 12, 2. 14立刻可以得到 2. 2式。 定理 2. 1 得证。 () () 定理 2. 1 保证了算子 N 为 辛算子的正确性。 从而序列 {Q u } 和 {S u } 是u H am ilto n j j 方程的 辛算子序列。m K dV H am ilto n () 3 势算子序列 {Q u } 的显式表示与符号运算 j () 我们叙述算子序列 {Q u } 的显式表示与计算机符号运算, 再来叙述 辛算子序 j H am ilto n () ( )( ) 列 } 1. 71. 8{S u 的计算机符号运算。 在此基础上, 我们可以验证定理 1. 3 之下由 、定义 j () 的算子序列 {Q u } 具有如下定理所表述的守恒性质。j () 定理 3. 1 对任意 d u、?u , 算子序列 {Q u } 是势算子序列。 即j ()() () )( 3. 1 < Q d u , ?u > = < Q ?u , d u > j = 1, 2, ?? j u ′u j u u′ () 关于算子序列 {Q u } 的显式表示, 我们得到如下结果:j () () () 定理 3. 2 1. 7, 1. 8给出的算子序列 {Q u } 可以由下列之一: j 2Α () () () () uQ j + 1 u = 5x xQ j u +u 5xQ j u d x3. 2 (?x ) 3 2Α 2Α 2 () () ( ) ()Q u = 5Q u + u u- u() Q j3. 3 j + 1 x xj u Q u d xxj (?x ) 3 3 () 显式表示出来, 并且 Q 1 u = u 。 () () () 证明 直接对 3. 2式两端关于 x 求偏导可以得到 1. 7式, 并且当 Q 时, 1 u = u 2Α Α 3 () ()u 3. 4 uQ 2 u = 5x x u +u 5x u d x = u x x +(?x ) 3 3 () () () ()() ()对 3. 2式右端第二项分部积分可以得到 3. 3式。因此, 3. 2、3. 3分别给出 1. 7、1. 8的 显式表示。 ()() 这样, 我们可以利用 3. 2、3. 3中的任意一个表达式通过计算机符号运算得到的算子序 () () 列 {Q u } 的若干项具体表示式。 下面是由 3. 2进行计算机符号运算的简单程序。j q 1 = u [ x , t ; k = ;- - 3 3 3q [ j D [ q [ j - 1 , { x , 2} + 2 a u [ x , t ] : = q [ j = -()3. 5 3 I n teg ra te [ u [ x , t ]D [ q [ j - 1 , x , x ]3; / () D o [ P r in t [“Q ,” j , ”u = ,” S im p lify [ q [ j , { j , 1, k , 1} ] 对 k = 5 情形, 在M A T H EM A T ICA 下的运行结果是 () Q u = u ,1 Α 3 () Q u = u +u ,2 x x 3 2 Α Α Α 5 5()4 5 2 2 () Q u = u + u u + u u + u ,3 x x x x 6 3 3 3 2 2 Α 35 Α 355Α Α 3524 7 3 2 () u u + u + u u x x x Q 4 u =+ u u +x x x 54 9 18 3 Α Α 287()()4 6 2 2 , u +u 7a u u + u u u +u xx x x x x x x 3 3 4 3 2 3 35Α Α Α 35133Α 359 5 2 4 6 () u +u u +u u +u u Q 5 u =x x x x648 6 6 18 2 259Α 91Α 2 3 2 2 3 2 23 u + + 21Αu u + u + 28Αu u u x x x u u x x x x x x x x3 3 2 7Α 2 ()()4 2 4 4 + 126Αu u u + 23Αu u ++ 35Αu u x x x x x x x x x u u xx x2 ()()()()4 5 2 6 8 ()u . 3. 6 + 38Αu u u + 18Αu u u + 3Αu u + x x x x x x x () 相应地, 辛算子序列 {S u } 的前五项可以通过H am ilto n j q 1 = u [ x , t ; k = 5; 3 3 3q [ j : = q [ j = S im p lify [D [ q [ j - 1 , { x , 2} + 2 a u [ x , t ]- ()3. 7 3 In teg ra te [ u [ x , t ]D [ q [ j - 1 , x , x ]3 ; / () D o [ P r in t [“S ,” j , ”u = ,” S im p lify [D [ q [ j , x , { j , 2, k , 1} 进行计算机符号运算, 得到下列结果: 2 () S u = Αu u + u ,2 x x x x 2 5Α Α 20Α Α ( ) 554 253 () S u = u u + u +u u u + u u + u ,3 x xx x x x x x x 6 3 3 3 3 2 2 Α 35Α ΑΑ35140916 3 2 2 3 () u u u +u u +S u = u u +x x x x x u x 4 x x u 54 3 9 3 2 Α Α 3570()4 2 4 a u u +14a u u u 21 + u u +x x x x u u +x xu x x x x x x x x 18 3 7Α ()()7 2 5+ + u u u xx 3 4 3 2 3 Α 35Α Α 175133Α 708 4 3 5 5 () u u +u +S u = u u +u u u x x 5 x x x x72 6 6 3 2 2 3 2 784Α 707Α Α 511Α 3532 2 6 2 2 u + u u u + u + u u u + u u ux x x x x x x x x x x x x 3 3 18 3 ()4 2 3 2 2 2 3 + x x 70Αu u u +217Αu u + 149Αu u +42Αu u u x x x x x x x x x x x x x x 2 ()()7Α ()()4 4 4 5 2 5 + 234Αu u u + 84Αu u u + u u +53Αu u x x x x x x x x x x x 2 ()()()()5 6 2 7 9 () 3. 8 + 56Αu u u + 24Αu u u + 3Αu u + u xx x xx xx4 结论与注记 () 对于 方程, 我们建立了 辛算子序列 {Q u } 的显式表示以及运用计算 m K dV H am ilto n j () () 机代数工具对 {Q u } 和 {S u } 的计算机符号运算。通过实际运算, 我们可以充分看到这种 j j 显式表示的优越性。它具体体现在可以将序列表示为叠代序列, 从而可以利用计算机代数进行 快速计算机符号运算求出任意需要的项。 由此看来, 显式表示具有很大的理论价值和实用意 6, 7义。 例如, 对于 方程 H a r ry D ym 1 -2 ()() 4. 1 u = 5u t x x x 6 () 得到了如下 辛算子序列 {Q u } :M ag t iH am ilto n j 1 - 2 ()4. 2 u () () () () 2u 5Q u + u Q u = 5Q u , Q u =xj + 1 xj + 1 x x xj 1 这个序列可以化为 1 - 2 ()() () () () 4. 3 2uQ u - u Q u d x = 5Q u , Q u = uj + 1 xj + 1 x xj 1 () ?x () 从 4. 3是难以求得其显式表示式的。 () () 我们来研究决定 辛算子序列 {Q u } 的 4. 2在不求得其显式表示式情况下的 H am ilto n j () () 计算问题。 首先考虑 Q u 的确定, 此时 4. 2变为2 7 5 3 159 1 3 ---2 2 2 ( ) () () u + u u - 2u 5Q Q u u u 4. 4 x x x u x2 u + u x2 u = -x x x x8 4 2 () 上式左端为两项和, 形式上可以称第一项为 u 的部分,“系数”为 25Q u ; 第二项为 u 的部 x2 x () 分,“系数为” Q u 。基于左端的特性, 我们应把右端划分为两项和, 其中一项为 u 的部分。另 一2 () 项为 u 的部分。然后通过令等式两端 u , u 的“系数相等来确定” Q u 。为实现上述设想下 的右x x 2 端划分, 只需将右端的每一项按如下原则划分: 含有“ u u 因子的部分划分两项”和, 仅含 有“u ”或x () “u ”因子的部分划分单项。 对 4. 4右端具体划分为x 753159 1 ---3 2 2 2 u - - u u u x x x u x + x x x u u 8 4 2 3 7 51 - 3 --2 2 2 ) (() = a + bu u + c + d u u u x u x u x x - x x x 2 9 7 5 7 5 1 - -2 -- 3 -2 2 2 2 2 (( ) cu u u -u + u ( bu u + d u ) = u a u u + u x x x x x x x x u 4. 5 x x x 2 其中 a , b, c, d 为待定常数且满足 9 15 ()a + b = - ,c + d = 4. 6 8 4 ()() 由 4. 4、4. 5得到 7 5 - 2 -2 2 () () bu u + d u u 4. 7 Q 2 u =x x x 9 7 5 1 a c - 3 - - 2 2 2 ()() 4. 8 5Q u = u u + u u u -u u x x xx2 x x x x 4 2 2 () 于是, 对 4. 7关于 x 求导得到 9 7 5 7b5d -3 --2 2 2 () ) 5Q u = -u u ( ) (x2 u x + 2b - u u + d u u 4. 9 xx x x x x2 2 () () 比较 4. 8, 4. 9两式得到 a 7b c 5d 1 ()d = - 4. 10 = - ,= 2b - , 2 2 2 2 4 () () 求解 4. 6, 4. 10的代数方程组得到 1 355 5 ()4. 11 a = - ,b = ,c = ,d = - 16 16 2 4 () 这样, Q 2 u 被确定为 7 5 5 1 2 --2 2 () ( ) u - u 4. 12 Q 2 u =u u x x x 16 4 () 上述 Q 2 u 的确定过程是可以通过计算机符号运算分步实现的。 如果这种方法可以适用 于一般情形, 并且每次都可以通过计算机符号运算计算, 问题已经解决。 遗憾的是, 在仿照 () () () Q u 的确定过程由 Q u 确定 Q u 的过程中将会出现一个不适定的代数方程组, 因而 2 2 3 () () () Q u 无法确定。当然, 4. 2是一个关于 Q u 的一阶微分方程, 我们可以逐次求解这个微 3 j + 1 () () () () 分方程来得到 Q u , Q u , Q u , ?, Q u 。这个逐次求解过程可以通过计算机符号运2 3 4 m 算计算, 即用 3 3 3 () D So lve 2 u [ x , t ]y [′ x + 5Q x ] 0, y [ x , D [ u [ x , t , x ]y [ x - x x x1 u = = () 求得 Q u ; 用2 3 3 3 () D [ u [ x , t , x ]y [ x - 5Q x ] 0, y [ x , x x x2 u = =D So lve 2 u [ x , t ]y [′ x + () 求得 Q u ; 再用3 3 3 3 () D [ u [ x , t , x ]y [ x - 0, y [ x , x ] 5x x xQ 3 u = =D So lve 2 u [ x , t ]y [′ x + () () 求得 Q u ; 如此下去。 但上述计算过程在实际运用时是复杂的。 由此可以看来寻求 4. 2显 4 式表示式是必要的。 () () 我们已经注意到, 4. 2是一个关于 Q u 的一阶线性微分方程, 因而可以形式地求解 j + 1 这个方程得 1 1 1 - -2 2 () ( ) ( ) 5 u u 4. 13 Q j + 1 u =x x xQ j u d x( ) ? x 2 () 这就是 4. 2的显式表示式。 于是, 可以利用这个表达式按照 ^ () u [ x , t ]- 12; /q 1 = 3 3 q [ j : = q [ j = q 1 I n teg ra te [ q 1 D [ q [ j - 1 , { x , 3} , x ]2;/- () ()P r in t [“Q ,” j , ”u = , ”q [ j , { j , 2, m , 1} 4. 14 D o [ () () () ()通 过计算机符号运算求 得 Q u , Q u , Q u , Q u 。取 m = 2 3 4 , m () ?4, 可 以 求 得 Q u ,2 () () Q u , Q u 的表达式分别为3 4 7 5 5 1 2 --2 2 () ( ) u - u u u 4. 12 Q 2 u =x x x16 4 13 1 2 2 2- 4 2 () (u u u 336u u 1848+ Q 3 u =u 1155u x - x x x x x 512 ()4 2 3 ) ()448u u u - 64u u 4. 15 + x x x x x 19 1 6 4 2 2 2- 2 () ( 425425u - 1021020u u u 569712u u u x x x x x x x + Q 4 u =u 8192 3 3 2 3 3 42944u u +274560u u u -181632u u u u x x x x x x x x x x x x x - ()()4 4 4 4 2 3 2 8832u u -52800u u u 14592u u u + + x x x x x x xx ()()4 5 5 6 + 6192u u u - 512u u ) ()x x x 4. 16 () 作为本文的结束, 我们指出寻求 算子序列 {Q u } 显式表示式不仅使得确定 H am ilto n j () () () () () Q u 过程通过计算机符号运算迅速求得所需的项 Q u , Q u , Q u , ?, Q u , 而且 j 2 3 4 m 可以从它的显式表示式知道相应守恒序列是否具有无穷多彼此独立的守恒律。 致谢: 本文完成过程中, 得到导师戴世强教授的热情指导及万德成副教授的关心, 作者表 示深深谢意。 参 考 文 献 1 B en jam in T B , Bo na J L & M aho ny J J. 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