IEEE浮点数表示法

IEEE浮点数 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示法 标签: ieee 浮点数 表示 2008-11-13 21:32 作者 Creamdog 最近一段时间看到版上关于C++里浮点变量精度的讨论比较多，那么我就给对这 个问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 有疑惑的人详细的讲解一下intel的处理器上是如何处理浮点数的。为了 能更方便的讲解，我在这里只以float型为例，从存储结构和算法上来讲，double和float是一样的，不一样的地方仅仅是float是32位的，double是64位的，所以double能存储更高的精度。还要说的一点是文章和程序一样，兼容性是有 一定范围的，所以你想要完全读懂本文，你最好对二进制、十进制、十六进制的 转换有比较深入的了解，了解数据在内存中的存储结构，并且会使用VC.net编译简单的控制台程序。OK，下面我们开始。 大家都知道任何数据在内存中都是以二进制（1或着0）顺序存储的，每一个1或着0被称为1位，而在x86CPU上一个字节是8位。比如一个16位（2字节）的short int型变量的值是1156，那么它的二进制表达就是：00000100 10000100。由于Intel CPU的架构是Little Endian（请参数机算机原理相关知识），所以 它是按字节倒序存储的，那么就因该是这样：10000100 00000100，这就是定点数1156在内存中的结构。 那么浮点数是如何存储的呢？目前已知的所有的C/C++编译器都是按照IEEE（国际电子电器工程师协会）制定的IEEE 浮点数表示法来进行运算的。这种结构是 一种科学表示法，用符号（正或负）、指数和尾数来表示，底数被确定为2，也就是说是把一个浮点数表示为尾数乘以2的指数次方再加上符号。下面来看一下 具体的float的规格： float 共计32位，折合4字节 由最高到最低位分别是第31、30、29、„„、0位 31位是符号位，1表示该数为负，0反之。 30-23位，一共8位是指数位。 22-0位，一共23位是尾数位。 每8位分为一组，分成4组，分别是A组、B组、C组、D组。 每一组是一个字节，在内存中逆序存储，即：DCBA 我们先不考虑逆序存储的问题，因为那样会把读者彻底搞晕，所以我先按照顺序 的来讲，最后再把他们翻过来就行了。 现在让我们按照IEEE浮点数表示法，一步步的将float型浮点数123456.0f转换为十六进制代码。在处理这种不带小数的浮点数时，直接将整数部转化为二进 制表示：1 11100010 01000000也可以这样表示：11110001001000000.0然后将小数点向左移，一直移到离最高位只有1位，就是最高位的1：1.11100010010000000一共移动了16位，在布耳运算中小数点每向左移一位就 等于在以2为底的科学计算法表示中指数+1，所以原数就等于这样： 1.11100010010000000 * ( 2 ^ 16 )好了，现在我们要的尾数和指数都出来了。 显而易见，最高位永远是1，因为你不可能把买了16个鸡蛋说成是买了0016个鸡蛋吧？（呵呵，可别拿你买的臭鸡蛋甩我~），所以这个1我们还有必要保留他吗？（众：没有！）好的，我们删掉他。这样尾数的二进制就变成了： 11100010010000000最后在尾数的后面补0，一直到补够23位：11100010010000000000000（MD，这些个0差点没把我数的背过气去~） 再回来看指数，一共8位，可以表示范围是0 - 255的无符号整数，也可以表示 -128 - 127的有符号整数。但因为指数是可以为负的，所以为了统一把十进制 的整数化为二进制时，都先加上127，在这里，我们的16加上127后就变成了143，二进制表示为：10001111 12345.0f这个数是正的，所以符号位是0，那么我们按照前面讲的格式把它拼起 来： 0 10001111 11100010010000000000000 01000111 11110001 00100000 00000000 再转化为16进制为：47 F1 20 00，最后把它翻过来，就成了：00 20 F1 47。 现在你自己把54321.0f转为二进制表示，自己动手练一下！ 有了上面的基础后，下面我再举一个带小数的例子来看一下为什么会出现精度问 题。 按照IEEE浮点数表示法，将float型浮点数123.456f转换为十六进制代码。对于这种带小数的就需要把整数部和小数部分开处理。整数部直接化二进制： 100100011。小数部的处理比较麻烦一些，也不太好讲，可能反着讲效果好一点， 比如有一个十进制纯小数0.57826，那么5是十分位，位阶是1/10；7是百分位，位阶是1/100；8是千分位，位阶是1/1000„„，这些位阶分母的关系是10^1、10^2、10^3„„，现假设每一位的序列是{S1、S2、S3、„„、Sn}，在这里就是5、7、8、2、6，而这个纯小数就可以这样表示：n = S1 * ( 1 / ( 10 ^ 1 ) ) + S2 * ( 1 / ( 10 ^ 2 ) ) + S3 * ( 1 / ( 10 ^ 3 ) ) + „„ + Sn * ( 1 / ( 10 ^ n ) )。把这个公式推广到b进制纯小数中就是这样： n = S1 * ( 1 / ( b ^ 1 ) ) + S2 * ( 1 / ( b ^ 2 ) ) + S3 * ( 1 / ( b ^ 3 ) ) + „„ + Sn * ( 1 / ( b ^ n ) ) 天哪，可恶的数学，我怎么快成了数学老师了！没办法，为了广大编程爱好者的 切身利益，喝口水继续！现在一个二进制纯小数比如0.100101011就应该比较好理解了，这个数的位阶序列就因该是1/(2^1)、1/(2^2)、1/(2^3)、1/(2^4)，即0.5、0.25、0.125、0.0625„„。乘以S序列中的1或着0算出每一项再相加就可以得出原数了。现在你的基础知识因该足够了，再回过头来看0.45这个十进制纯小数，化为该如何表示呢？现在你动手算一下，最好不要先看到 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ， 这样对你理解有好处。 我想你已经迫不及待的想要看答案了，因为你发现这跟本算不出来！来看一下步 骤：1 / 2 ^1位（为了方便，下面仅用2的指数来表示位），0.456小于位阶值0.5故为0；2位，0.456大于位阶值0.25，该位为1，并将0.45减去0.25得 0.206进下一位；3位，0.206大于位阶值0.125，该位为1，并将0.206减去0.125得0.081进下一位；4位，0.081大于0.0625，为1，并将0.081减去0.0625得0.0185进下一位；5位0.0185小于0.03125，为0„„问题出来了，即使超 过尾数的最大长度23位也除不尽！这就是著名的浮点数精度问题了。不过我在 这里不是要给大家讲《数值计算》，用各种方法来提高计算精度，因为那太庞杂 了，恐怕我讲上一年也理不清个头绪啊。我在这里就仅把浮点数表示法讲清楚便 达到目的了。 OK，我们继续。嗯，刚说哪了？哦对对，那个数还没转完呢，反正最后一直求也 求不尽，加上前面的整数部算够24位就行了：1111011.01110100101111001。某BC问：“不是23位吗？”我：“倒，不是说过了要把第一个1去掉吗？当然要加一位喽！”现在开始向左移小数点，大家和我一起移，众：“1、2、3„„”好了，一共移了6位，6加上127得131（怎么跟教 小学 小学生如何制作手抄报课件柳垭小学关于三违自查自纠报告小学英语获奖优质说课课件小学足球课教案全集小学语文新课程标准测试题 生似的？呵呵~），二进制表示为：10000101，符号位为„„再„„不说了，越说越啰嗦，大家自己看吧： 0 10000101 11101101110100101111001 42 F6 E9 79 79 E9 F6 42 下面再来讲如何将纯小数转化为十六进制。对于纯小数，比如0.0456，我们需要把他规格化，变为1.xxxx * （2 ^ n ）的型式，要求得纯小数X对应的n可用下面的公式： n = int( 1 + log (2)X ); 0.0456我们可以表示为1.4592乘以以2为底的-5次方的幂，即1.4592 * ( 2 ^ -5 )。转化为这样形式后，再按照上面第二个例子里的 流程 快递问题件怎么处理流程河南自建厂房流程下载关于规范招聘需求审批流程制作流程表下载邮件下载流程设计 处理： 1. 01110101100011100010001 去掉第一个1 01110101100011100010001 -5 + 127 = 122 0 01111010 01110101100011100010001 最后： 11 C7 3A 3D 另外不得不提到的一点是0.0f对应的十六进制是00 00 00 00，记住就可以了。 最后贴一个可以分析并输出浮点数结构的函数源代码，有兴趣的自己看看吧： // 输入4个字节的浮点数内存数据 void DecodeFloat( BYTE pByte[4] ) { printf( "原始（十进制）：%d %d %d %d\n" , (int)pByte[0], (int)pByte[1], (int)pByte[2], (int)pByte[3] ); printf( "翻转（十进制）：%d %d %d %d\n" , (int)pByte[3], (int)pByte[2], (int)pByte[1], (int)pByte[0] ); bitset<32> bitAll( *(ULONG*)pByte ); string strBinary = bitAll.to_string, allocator >(); strBinary.insert( 9, " " ); strBinary.insert( 1, " " ); cout << "二进制：" << strBinary.c_str() << endl; cout << "符号：" << ( bitAll[31] ? "-" : "+" ) << endl; bitset<32> bitTemp; bitTemp = bitAll; bitTemp <<= 1; LONG ulExponent = 0; for ( int i = 0; i < 8; i++ ) { ulExponent |= ( bitTemp[ 31 - i ] << ( 7 - i ) ); } ulExponent -= 127; cout << "指数（十进制）：" << ulExponent << endl; bitTemp = bitAll; bitTemp <<= 9; float fMantissa = 1.0f; for ( int i = 0; i < 23; i++ ) { bool b = bitTemp[ 31 - i ]; fMantissa += ( (float)bitTemp[ 31 - i ] / (float)( 2 << i ) ); } cout << "尾数（十进制）：" << fMantissa << endl; float fPow; if ( ulExponent >= 0 ) { fPow = (float)( 2 << ( ulExponent - 1 ) ); } else { fPow = 1.0f / (float)( 2 << ( -1 - ulExponent ) ); } cout << "运算结果：" << fMantissa * fPow << endl; } 累死了，我才发现这篇文章虽然短，然而确是最难写的。上帝，我也不是机算机， 然而为什么我满眼都只有1和0？看来我也快成了黑客帝国里的那个看通迅员了„„希望大家能不辜负我的一翻辛苦，帮忙up吧！