动态几何问题思考策略与解题方法以运动的观点探究几何图形部分规律的问题，称之为动态几何问题.动态几何问题充分体现了数学中的“变”与“不变”的和谐统一，其特点是图形中的某些元素（点、线段、角等）或某部分几何图形按一定的规律运动变化，从而又引起了其它一些元素的数量、位置关系、图形重叠部分的面积或某部分图形等发生变化，但是图形的一些元素数量和关系在运动变化的过程中却互相依存，具有一定的规律可寻.一、动态几何问题涉及的几种情况动态几何问题就其运动对象而言，有：1、点动（有单动点型、多动点型）.2、线动（主要有线平移型、旋转型）。线动实质就是点动，即点动带动线动，进而还会产生形动，因而线动型几何问题可以通过转化成点动型问题来求解.3、形动（就其运动形式而言，有平移、旋转、翻折、滚动）二、解决动态几何问题的基本思考策略与
分析
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方法：动态型问题综合了代数、几何中较多的知识点,解答时要特别注意以下七点:1、把握运动变化的形式及过程；2、思考运动初始状态时几何元素的关系，以及可求出的几何量；3、动中取静：（最重要的一点）要善于在“动”中取“静”（让图形和各个几何量都“静”下来），抓住变化中的“不变量”和不变关系为“向导”，求出相关的常量或者以含有变量的代数式表示相关的几何量;4、找等量关系：利用面积关系、相似三角形的性质、勾股定理、特殊图形等的几何性质及相互关系，找出基本的等量关系式;5、列方程：将相关的常量和含有变量的代数式代入等量关系建立方程或函数模型；（某些几何元素的变化会带来其它几何量的变化，所以在求变量之间的关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解。在解决有关特殊点、特殊值、特殊位置关系问题时常结合图形建立方程模型求解）6、是否分类讨论：将变化的几何元素按题目指定的运动路径运动一遍，从动态的角度去分析观察可能出现的情况，看图形的形状是否改变，或图形的有关几何量的计算方法是否改变，以明确是否需要根据运动过程中的特殊位置分类讨论解决，7、确定变化分界点：若需分类讨论，要以运动到达的特殊点为分界点，画出与之对应情况相吻合的图形，找到情况发生改变的时刻，确定变化的范围分类求解。例：如图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰三角形△RQR,PQ=PR=5cm,QR=8cm，点B、C、Q、R在同一条直线I上,当C、Q两点重合时开始，t秒后正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm2..解答下列问题：（1）当t=3秒时，求S的值；（2）当t=5秒时，求S的值；（3）当5秒WtW8秒时，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值.分析：当等腰△PQR从C、Q两点重合开始，以1cm/秒的速度沿直线I向左匀速运动时，正方形ABCD与等腰△PQR重合部分图形的形状在改变，因此，我们需要根据运动过程中的特殊位置分类讨论解决。运动过程中有四个特殊位置点它们分别是点B、C、R和等腰厶PQR底边的中点E,这四个特殊位置点就是分类讨论问题的“分界点”.因为正方形ABCD的边长为5cm,等腰三角形△RQR的底边QR=8cm，（1）所以当tW4秒时，QE逐渐地与与BC完全重合，则S是厶QCG的面积，所以，当t=3秒时,，S是厶QCG的面积（如图一的“静态”）；（2）当4秒WtW5秒时，即在点E落在线段上到点Q与点B重合，S是四边形QCGP的面积（如图二的“静态”）；（3）当5秒WtW8秒时，点Q、R都在线段BC夕卜，点E在BC上,S是一个五边形BCGPH的面积（如图三的“静态”）.（（图一）（图二）（图三）即1、运动规律；2、思考初始；3、动中取静；4、找等量关系;5、列方程；6、是否分类讨论：7、确定分界点。三、典型例题（2006重庆）如图1所示，一张三角形纸片ABC,ZACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线cd把这张纸片剪成AACD和ABqd两个三角形（如图2所示）•将纸片AACD112211沿直线DB（AB）方向平移（点A,D,D,B始终在同一直线上），当点D于点B重合时,2121停止平移•在平移过程中，CD与BC2交于点E,AC与C2D2、BC2分别交于点F、P.JLJL厶JL厶厶厶（1）当AACD平移到如图3所示的位置时，猜想图中的DE与D2f的数量关系，并证明1112你的猜想；（2）设平移距离DD为x，AACD与ABCD重叠部分面积为y,请写出y与x的函数211122关系式，以及自变量的取值范围；（3）对于（2）中的结论是否存在这样的x的值，使重叠部分的面积等于原AABC面积的4.若存在，求x的值；若不存在，请说明理由.1分析：1、把握运动变化的形式及过程：题目条件：将AAC1D1沿直线D2B（AB）方向平移（点A，D1，D2,B始终在同一直线上）,当点D1于点B重合时，停止平移.所以这是一个图形的平移运动2、思考初始；找出初始位置时某些几何元素的数量和关系：（1）因为在Rt^ABC中，AC=8,BC=6，所以由勾股定理，得AB=10.（2）因为ZACB=90°，cd是斜边上的中线，所以，DC=DA=DB，即CD二CD二BD=AD11222（3）ZC二ZA，ZC+ZC二90°112第1问：“动”中取“静”：让图形和各个几何量都“静”下来。因为是平移，所以CD〃CD，所以ZC=ZAFD.ZC二ZA1122121所以ZAFD，所以，AD二DF222.同理：BD二DE.11又因为AD二BD，所以AD二BD.所以DE二DF122112第2问：(1)是求变量之间的关系，则建立函数模型。按题目指定的运动路径运动一遍，重叠部分图形的形状不发生改变，则不需要分类讨论解决。6x225112找等量关系式：用面积割补法知道y=S-S-S=S-(5-x)2ABC2D2随ED叫2AABC25“动”中取“静”，求出相关的常量或者以含有自变量的代数式表示相关的几何量。为便于求其面积，注意选择三角形的底和高。三角形BD1E的底为BD1，需求高。需求直角三角形c2of的底和高。我们视自变量为“不变量”，三角形的底和高。21(A)、ABC2D2的面积等于Aabc面积的一半，等于12.(B)、又因为DD二x，所以DE二BD二DF二AD二5-x，所以CF二CE二x,21112221由CD/CD得ABCDsABED，112222124又AABC的AB边上的高，为了.设ABED的BD.边上的高为h，所以h5-x24-丁・所以h-皆.Sabe厂2XBD1xh-和-x)2在直角三角形pfc2中，c2f=x,2243又因为/C2=ZB，sinB-§,cosB-弓.，S-1PCxPF-—x2AFC2P2225112(5)262=_S-——(5-x)2-一x2AFCP2AABC2525(C)、又因为冬我C2二90。，所以/FAC?=90。.2TOC\o"1-5"\h\zHYPERLINK\l"bookmark44"\o"CurrentDocument"34所以PC—5x，PF—5x255HYPERLINK\l"bookmark46"\o"CurrentDocument"而y-S—S—SABC2D2沁1'1824所以y--25x2+x(0
122+162_20,VZQMb=ZB,ZQbM=ZC=90°,.•・RtAQMbsRtAABC,从而QM_Qb从而ABAC，.QM_4t•巨QM=20t.3CM=CQ+QM=4t+20t3.12-3tI•204t+一t—，解得1612t=12订秒时,Pb〃AB.存在时刻t,使得Pb丄AB.时间段为：2VtW3.（2010年河北省）如图16,在直角梯形ABCD中，AD//BC,ZB=90P,AD=6,BC=8,AB=3-込，点M是BC的中点.点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动.在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ,使它与梯形ABCD在射线BC的同侧•点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动,点Q也随之停止.设点P，Q运动的时间是t秒（t>0）.（1）设PQ的长为y,在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值范围）.（2）当BP=1时，求AEPQ与梯形ABCD重叠部分的面积.（3）随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由．图1（备用图）分析：1、把握运动变化的形式及过程：题目条件：点M是BC的中点•点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动.在点P,Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ,使它与梯形ABCD在射线BC的同侧.点P,Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止．表明上动的是两点，实际上由两点引出的等边三角形EPQ是运动图形。题目中点P从点M出发沿MB向B点匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；而点Q从点M出发在射线MC上匀速运动，由于点P的往返运动，且P、Q两点的运动速度相同，所以这两点运动形成的等边三角形EPQ的特征为：当0VtV4时，三角形EPQ的大小随着时间的增加逐渐变大，但PQ边的中点始终是点M,相当于位似变换；当t>4时，随着时间的增加，三角形EPQ的大小始终不变，相当于平移变换。（这样的变换非常新颖，但是涉及的变换又是很简单的）2、思考初始；找出初始位置时某些几何元素的数量和关系；在直角梯形ABCD中，AD/BC,ZB=90。,AD=6,BC=8,AB=3丫3，点M是BC的中点，则MB=MC=4.CD可求.•.•△PCQ与APDQ关于直线PQ对称，第1问：在点P从点M向点B运动的过程中，P、Q两点的运动速度相同，y=MP+MQ=t+t=2t第2问：（1）BP=1有点P到达点B点前、后两种情况，则需分类讨论解决。.•.当BP=1时，有两种情形：1①如图2,若点P从点M向点B运动，有MB=2BC=4,MP=MQ=3，图2.PQ=6．（现在判断点E落在梯形ABCD内、外的位置，以确定AEPQ与梯形ABCD重叠部分的图形形状。连接EM，•.•△EPQ是等边三角形，:.EM丄PQ..•・EM=3已.•?AB=^-3，•点E在AD上.•△EPQ与梯形ABCD重叠部分就是△EPQ，其面积为9朽.②若点P从点B向点M运动，由题意得t=4+1=5.PQ=BM+MQ-BP=4+5-1=8PC=8-1=7.（此时点E显然是在AD上方。“动”中取“静”，让图形“静”下来，画出与对应情况相吻合的图形.以确定AEPQ与梯形ABCD重叠部分的图形形状）.设PE与AD交于点F，QE与AD或AD的延长线交于点G,过点P作PH丄AD于点H，图3贝I」HP=3运，AH=1.在RtAHPF中，ZHPF=90°-60°=30°,.HF=3，PF=6..FG=FE=PE-PF=PQ-PF=8-6=2.又•.•FD=AD-(AH+HF)=6-(1+3)=2,•FG=FD=2,点G与点D重合。如图3.此时AEPQ与梯形ABCD的重叠部分就是梯形FPCG,其面积为J空3.2（把握运动变化的全过程，确定△EPQ与梯形ABCD重叠关系是解答本题的关键）第3问：求随着时间t的变化，线段AD被厶EPQ覆盖线段的长度能否持续一个时段达到最大值。因为当t》4时，随着时间的增加，三角形EPQ的大小始终不变，相当于平移变换。这样，线段AD被厶EPQ覆盖线段的长度达到最大值，且持续到被覆盖线段的右端点到达D点，根据前面的解答知，此时t=5。所以，能.4WtW5.解：（1）y=2t；（2）当BP=1时，有两种情形:1图2①如图2,若点P从点M向点B运动，有MB=2BC=4,MP=MQ=3,.•・PQ=6.连接EM,•.•△EPQ是等边三角形，:.EM丄PQ..••△EPQ与梯形ABCD重叠部分就是△EPQ,其面积为9訂.②若点P从点B向点M运动，由题意得t=5.PQ=BM+MQ-BP=8,PC=7.设PE与AD交于点F,QE与AD或AD的图3延长线交于点G，过点P作PH丄AD于点H,则HP=3爲,AH=1.在RtAHPF中，ZHPF=90-60°=30°,:.HF=3,PF=6.：・FG=FE=2.又VFD=2,・••点G与点D重合，如图3.此时AEPQ与梯形ABCD27▼的重叠部分就是梯形FPCG,其面积为＜3.(3)能.4WtW5.2010年宁德市）如图，在梯形ABCD中，AD〃BC,ZB=90°,BC=6,AD=3,ZDCB=30°•点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动•已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG.设E点移动距离为x（x>0）.（l）AEFG的边长是—（用含有x的代数式表示），当x=2时，点G的位置在；⑵若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y,求当0VxW2时，y与x之间的函数关系式；当20时，y随x增大而增大,.•・x=2时，y最大=订3;739y39i：3189丫3当2
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