土木工程力学教案——力矩与平面力偶系

力矩与平面力偶系第一节力对点之矩力对点的矩是很早以前人们在使用杠杆、滑车、绞盘等机械搬运或提升重物时所形成的一个概念。现以板手拧螺母为例来说明。如图3—1所示，在板手的A点施加一力F,将使板手和螺母一起绕螺钉中心O转动，这就是说，力有使物体（扳手）产生转动的效应。实践经验 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明，扳手的转动效果不仅与力F的大小有关，而且还与点O到力作用线的垂直距离d有关。当d保持不变时，力F越大，转动越快。当力F不变时，d值越大，转动也越快。若改变力的作用方向，则扳手的转动方向就会发生改变，因此，我们用F与d的乘积再冠以适当的正负号来表示力F使物体绕O点转动的效应，并称为力F对O点之矩，简称力矩，以符号Mo（F）表示，即(3—1)Mo(F)FdO点称为转动中心，简称矩心。矩心O到力作用线的垂直距离d称为力臂。图3-1I'ldOlN第二节合力矩定理式中的正负号表示力矩的转向。通常规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩为正,反之为负。在平面力系中，力矩或为正值，或为负值，因此，力矩可视为代数量。由图3—2可以看出，力对点之矩还可以用以矩心为顶点，以力矢量为底边所构成的三角形的面积的二倍来表示。即(3—2)Mo(F)2OAB面积显然，力矩在下列两种情况下等于零：（1）力等于零；（2）力的作用线通过矩心，即力臂等于零。力矩的单位是牛顿？米（N?m）或千牛顿？米（kN?m）【例3—1】分别计算图3-3所示的F1、F2对O点的力矩。【解】：由式(3—1),有Mo(F1)F1d1101sin305kNmMo(F2)F2d2301.545kNm我们知道平面汇交力系对物体的作用效应可以用它的合力R来代替。这里的作用效应包括物体绕某点转动的效应，而力使物体绕某点的转动效应由力对该点之矩来度量，因此，平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩等于该力系的各分力对该点之矩的代数和。合力矩定理是力学中应用十分广泛的一个重要定理，现用两个汇交力系的情形给以 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 。证明：如图3—4所示，设在物体上的A点作用有两个汇交的力Fi和F2,该力系的合力为Ro在力系的作用面内任选一点。为矩心，过。点并垂直于OA作为y轴。从各力矢的末端向y轴作垂线，令Yi、Y2和Ry分别表示力Fi、F2和R在y轴上的投影。由图3—4可见丫0blY2ob2Ryob各力对O点之矩分别为Mo(Fi)2AOBiObiOAYiOAMo(F2)2AOB2Ob2OAY2OAMo(R)2AOBObOARyOA(a)根据合力矩定理有RyYiY2上式两边同乘以OA得RyOAYiOAY2OA将(a)式代入得Mo(R)Mo(Fi)Mo(F2)以上证明可以推广到多个汇交力的情况。用式子可表示为Mo(R)Mo(Fi)Mo(F2)Mo(Fn)Mo(F)(3—3)有合力的其它平虽然这个定理是从平面汇交力系推证出来，但可以证明这个定理同样适用号面力系。【例3—2】图3—5所示每1m长挡土墙所受土压力的合力为R,它的大小R=200kN,方向如图所示，求土压力R使墙倾覆的力矩。【解】：土压力R可使挡土墙绕A点倾覆，求R使墙倾覆的力矩，就是求它对A点的力矩。由于R的力臂求解较麻烦，但如果将R分解为两个分力Fi和F2,则两分力的力臂是已知的。为此，根据合力矩定理，合力R对A点之矩等于Fi、F2对A点之矩的代数和。则hMA(R)MA(F1)MA(F2)F1F2b3200cos302200sin302I46.4IkNm【例3-3】求图3—6所示各分布荷载对A点的矩由式（3—5）得合力偶为mFd(3—4)【解】：沿直线平行分布的线荷载可以合成为一个合力。合力的方向与分布荷载的方向相同，合力作用线通过荷载图的重心，其合力的大小等于荷载图的面积。根据合力矩定理可知，分布荷载对某点之矩就等于其合力对该点之矩(1)计算图3—6(a)三角形分布荷载对A点的力矩1MA(q)-2313kNm(2)计算图3-6(b)均布荷载对A点的力矩为MA(q)431.518kNm(3)计算图3-6(c)梯形分布荷载对A点之矩。此时为避免求梯形形心，可将梯形分布荷载分解为均布荷载和三角形分布荷载，其合力分别为R1和R2,则有1MA(q)231.5-23215kNm2第三节力偶及其基本性质一、力偶和力偶矩在生产实践和日常生活中，经常遇到大小相等、方向相反、作用线不重合的两个平行力所组成的力系。这种力系只能使物体产生转动效应而不能使物体产生移动效应。例如，司机用双手操纵方向盘(图3—7(a)),木工用丁字头螺丝钻钻孔(图3-7(b)),以及用拇指和食指开关自来水龙头或拧钢笔套等。这种大小相等、方向相反、作用线不重合的两个平行力称为力偶。用符号(F,F')表示。力偶的两个力作用线间的垂直距离d称为力偶臂，力偶的两个力所构成的平面称为力偶作用面。实践表明，当力偶的力F越大，或力偶臂越大，则力偶使物体的转动效应就越强；反之就越弱。因此，与力矩类似，我们用F与d的乘积来度量力偶对物体的转动效应，并把这一乘积冠以适当的正负号称为力偶矩，用m表示，即式中正负号表示力偶矩的转向。通常规定：若力偶使物体作逆时针方向转动时，力偶矩为正;反之为负。在平面力系中，力偶矩是代数量。力偶矩的单位与力矩相同。二、力偶的基本性质力偶不同于力，它具有一些特殊的性质，现分述如下：1.力偶没有合力，不能用一个力来代替图38由于力偶中的两个力大小相等、方向相反、作用线平行，如果求它们在任一轴x上的投影，如图3—8所示。设力与轴x的夹角为，由图可得XFcosFcos0这说明，力偶在任一轴上的投影等于零。既然力偶在轴上的投影为零，，所以力偶对物体只能产生转动效应，而一个力在一般情况下，对物体可产生移动和转动两种效应。力偶和力对物体的作用效应不同，说明力偶不能用一个力来代替，即力偶不能简化为一个力，因而力偶也不能和一个力平衡，力偶只能与力偶平衡。.力偶对其作用面内任一点之矩都等于力偶矩，与矩心位置无关力偶的作用是使物体产生转动效应，所以力偶对物体的转动效应可以用力偶的两个力对其作用面某一点的力矩的代数和来度量。图3—9所示力偶（F,F'）,力偶臂为d,逆时针转向，其力偶矩为m=Fd,在该力偶作用面Mo(F,F)F(dx)FxFdm内任选一点O为矩心，设矩心与F'的垂直距离为然力偶对O点的力矩为此值就等于力偶矩。这说明力偶对其作用面内任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关。.同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等、转向相同，则这两个力偶等效，称为力偶的等效性。（其证明从略）从以上性质还可得出两个推论：（1）用面内任意移转，而不会改变它对物体的转动效应。例如图3-10（a）作用在方向盘上的两个力偶（Pi,p/）与（P2,P2，）只要它们的力偶矩大小相等，转向相同，作用位置虽不同，但转动效应是相同的。（2）在保持力偶矩大小和转向不变的条件下，可以任意改变力偶的力的大小和力偶臂的长短，而不改变它对物体的转动效应。例如图3-10（b）所示，在攻螺纹时，作用在纹杆上的（F1，F/）或（F2,F2'）虽然di和d2不相等，但只要调整力白大小，使力偶矩FidiF2d2,则两力偶的作用效果是相同的。由以上分析可知，力偶对于物体的转动效应完全取决于力偶矩的大小、力偶的转向及力偶作用面，即力偶的三要素。因此，在力学计算中，有时也用一带箭头的弧线表示力偶，如图3—11所示，其中箭头表示力偶的转向，m表示力偶矩的大小。图3—11第四节平面力偶系的合成与平衡一、平面力偶系的合成作用在同一平面内的一群力偶称为平面力偶系。平面力偶系合成可以根据力偶等效性来进行。合成的结果是：平面力偶系可以合成为一个合力偶，其力偶矩等于各分力偶矩的代数和。即mnm(3—5)Mm1m2Fi200N,F2400N,m150Nm,求其合成的结果。如图3—12所示，在物体同一平面内受到三个力偶的作用，设【解】：三个共面力偶合成的结果是一个合力偶，各分力偶矩为miFd2001200Nmm2F2d20.25400200Nmsin30m3150NmMmim1m2m3200200150250Nm即合力偶矩的大小等于250Nm，转向为逆时针方向，作用在原力偶系的平面内。