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次序统计量及其分布.ppt

次序统计量及其分布

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2017-04-25 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《次序统计量及其分布ppt》,可适用于高等教育领域

次序统计量及其分布定义定义:设为取自总体X的样本将其按大小顺序排序则称X(k)为第k个次序统计量(NokOrdrStatistic)特别地称)为最小顺序统计量(MinimumordrStatistic)称)为最大顺序统计量(MaximumordrStatistic)。例:设总体X的分布为仅取,,的离散均匀分布其分布列为现从中抽取容量为的样本其一切可能取值有X()PX()PX()P可见这三个次序统计量的分布是不相同的。进一步我们可以给出两个次序统计量的联合分布如x()和x()的联合分布列为易于看出不等于即x()和x()是不独立的。x()x()次序统计量的分布一)单个次序统计量的分布定理:设总体X的密度函数为p(x)分布函数为F(x)x,x,,xn为样本则第k个次序统计量x(k)的密度函数为)证明:对任意的实数x考虑次序统计量x(k)取值落在小区间(x,xx内这一事件它等价于ldquo样本容量为n的样本中有个观测值落在区间(x,xx之间而有k个观测值小于等于x有nk个观测值大于xxrdquo其直观示意图见下图图mdashx(k)的取值示意图样本的每一分量小于等于x的概率为F(x),落入区间(x,xx概率为F(xx)F(x),落入区间(xx,b的概率为F(xx)而将n个分量分成这样的三组总的分法有种于是若以Fk(x)记x(k)的分布函数则由多项分布可得两边同除以x,并令x,即有推论:最大次序统计量x(n)的概率密度函数为推论:最小次序统计量x()的概率密度函数为()()例:设总体X的密度函数为现从该总体中抽得一个容量为的样本试计算解:我们首先应求出x()的分布。由总体密度函数不难求出总体分布函数为由公式)可以得到x()的密度函数为于是二)多个次序统计量的联合分布仅讨论任意二个次序统计量的情形。定理:设总体有密度函数f(x),alexleb,同样可设a=,b=)。并且,,,n是取自这一总体的一个样本则其任意两个次序统计量()()的联合分布密度函数为)证明:对增量y,z以及yz,事件可以表述为ldquo容量为n的样本x,x,,xn中有i个观测值小于等于y,一个落入区间(y,yy,jndashi个落入区间(yy,z,一个落入区间(z,zz,而余下的nmdashj个大于zzrdquoijinj于是由多项分布得ijinjijinjijinj有于是例:设总体分布为U(,),x,x,,xn为样本则(x(),x(n))的联合密度函数为令由R可以推出则该分布参数为(n,)的贝塔分布。总体分位数与样本分位数一)总体分位数定义:设总体X的分布函数为F(x)满足()的xalpha称为X的alphamdash分位数如下图所示。都在书后附表中可以查到。其中N(,)是分布函数表Phi(x)反过来查而其它几个分布,则是分别对给出alpha的几个的常用值如alpha=,,,,,,等等列出相应分布对应值的alpha分位点。图给出了四种常用分布的alpha分位点表示方法其中N(,)的alpha分位点通常记成ualpha图这里要注意到如下几个有用的事实。N(,)的分位数此时从而)对于Tt(n)由密度函数的对称性可知即))由于所以即)二)样本分位数定义:设为取自总体X的次序统计量称mp为样本p分位数。SamplpndashQuantil)特别地当p=frac时称mp为样本中位数。))对多数总体而言要给出样本p分位数的精确分布通常不是一件容易的事但当n时样本p分位数的渐近分布有比较简单的表达式我们这里不加证明地给出如下定理。定理:设总体密度函数为f(x),xp为其p分位数f(x)在xp处连续且f(x),则当n时样本p分位数mp的渐近分布为特别地对样本中位数有)例:设总体X为柯西分布其密度函数为其分布函数为易知theta是该总体的中位数即xfrac=theta当样本容量n较大时样本中位数m的渐近分布为五数概括与箱线图次序统计量的应用之一就是五数概括与箱线图。在得到有序样本后容易计算如下五个值:最小观测值xmin=x()最大观测值xmax=x(n)中位数m第一分位数Q=m第三分位数Q=m。所谓五数概括就是指用这五个数来大致描述一批数据的轮廓。例:表mdash是某厂名销售人员某月的销售量数据的有序样本由该批数据可计算得到:五数概括的图形表示称为箱线图由箱子和线段组成。图是该例中样本数据的箱线图其作法如下下面就通过一个具体的实例说明之。表mdash某厂名销售员的月销售量的有序样本)画一个箱子其两侧恰为第一分位数和第三分位数在中位数位置上画一条竖线它在箱子内这个箱子包含了样本中的数据图月销售量数据的箱线图)在箱子左右两侧各引出一条水平线分别至最小值和最大值为止每条线段包含了样本中的数据。箱线图可用来对数据分布的形状进行大致的判断。图给出三种常见的箱线图分别对应对称分布、左偏分布和右偏分布。左偏对称右偏图三种常见的箱线图及其对应的分布轮廓如果我们要对几批数据进行比较则可以在一张纸上同时画出这批数据的箱线图。图mdash是某厂天生产的某种产品的直径数据画成的箱线图从图中可以清楚地看出第天的产品出现了异常。

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