高考数学 数列问题的题型与方法

第11讲数列问题的题型与方法数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面；（1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。一、知识整合1．在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；2．在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 问题和解决问题的能力，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．3．培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．二、方法技巧1．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。(2)通项公式法：①若 = +（n-1）d= +（n-k）d，则为等差数列；②若 ，则为等比数列。(3)中项公式法：验证中项公式成立。2.在等差数列中,有关的最值问题——常用邻项变号法求解：  (1)当>0,d<0时，满足的项数m使得取最大值.(2)当<0,d>0时，满足的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。三、注意事项1．证明数列是等差或等比数列常用定义，即通过证明或而得。2．在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。3．注意与之间关系的转化。如：=，=．4．数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路．5．解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．四、例题解析例1．已知数列{a}是公差d≠0的等差数列，其前n项和为S．(2)过点Q(1，a)，Q(2，a)作直线12，设l与l的夹角为θ，证明：(1)因为等差数列{a}的公差d≠0，所以Kpp是常数(k=2，3，…，n)．(2)直线l的方程为y-a=d(x-1)，直线l的斜率为d．例2．已知数列中，是其前项和，并且，⑴设数列，求证：数列是等比数列；⑵设数列，求证：数列是等差数列；⑶求数列的通项公式及前项和。分析：由于{b}和{c}中的项都和{a}中的项有关，{a}中又有S=4a+2，可由S-S作切入点探索解题的途径．解：(1)由S=4a，S=4a+2，两式相减，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a．(根据b的构造，如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b　　　①已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3　　②由①和②得，数列{b}是首项为3，公比为2的等比数列，故b=3·2．当n≥2时，S=4a+2=2(3n-4)+2；当n=1时，S=a=1也适合上式．综上可知，所求的求和公式为S=2(3n-4)+2．说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前项和。解决本题的关键在于由条件得出递推公式。2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．例3．（04年浙江）设数列{an}的前项的和Sn=（an-1）(n+),（1）求a1;a2;(2)求证数列{an}为等比数列。解:(Ⅰ)由,得∴EMBEDEquation.3又,即,得.(Ⅱ)当n>1时,得所以是首项,公比为的等比数列.例4、（04年重庆）设a1=1,a2=,an+2=an+1-an(n=1,2,---),令bn=an+1-an(n=1,2---)求数列{bn}的通项公式，(2)求数列{nan}的前n项的和Sn。解：（I）因EMBEDEquation.3故{bn}是公比为的等比数列，且（II）由注意到可得记数列的前n项和为Tn，则例5．在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项，​为公差的等差数列。⑴求点的坐标；⑵设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线的顶点为，且过点，记与抛物线相切于的直线的斜率为，求：。⑶设，等差数列的任一项，其中是中的最大数，，求的通项公式。解：（1）（2）的对称轴垂直于轴，且顶点为.设的方程为：把代入上式，得，的方程为：。，EMBEDEquation.3=（3），EMBEDEquation.3T中最大数.设公差为，则，由此得说明：本例为数列与解析几何的综合题，难度较大（1）、（2）两问运用几何知识算出，解决（3）的关键在于算出及求数列的公差。例6．数列中，且满足⑴求数列的通项公式；⑵设，求；⑶设=EMBEDEquation.3，是否存在最大的整数，使得对任意，均有EMBEDEquation.3成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。解：（1）由题意，，为等差数列，设公差为，由题意得，.（2）若，时，故（3）EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3若对任意成立，即对任意成立，的最小值是，EMBEDEquation.3的最大整数值是7。即存在最大整数使对任意，均有说明：本例复习数列通项，数列求和以及有关数列与不等式的综合问题。.五、强化训练（一）用基本量方法解题1、（04年浙江）已知等差数列的公差为2，若a1,a3,a4成等比数列，则a2=（B）A－4B－6C－8D－10（二）用赋值法解题2、（96年）等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（C）A130B170C210D2603、（01年）设{an}是公比为q的等比数列，Sn是{an}的前n项和,若{Sn}是等差数列，则q=__1_4、设数列{an}的前项的和Sn=（对于所有n1），且a4=54,则a1=__2___（三）用整体化方法解题5、（00年）已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则有（C）Aa1+a101>0Ba2+a100<0Ca3+a99=0Da51=516、（02年）若一个等差数列的前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为（A）A13B12C11D107、（03年上海）在等差数列{an}中a5=3，a6=-2,a4+a5+…+a10=-49（四）用函数方法解题8、（04年天津）已知数列{an},那么“对任意的nN+,点Pn(n,an)都在直线y=x+1上”是“{an}为等差数列”的（B）A必要条件B充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件9、（99年上海）已知等差数列{an}满足3a4=7a7,且a1>0,Sn是{an}的前n项和，Sn取得最大值，则n=___9______.10、（01年上海）已知数列{an}中an=2n-7,(nN+),++--+=_153___（五）用递推方法解题11、（03年全国）设{an}是首项为1的正项数列，且（n+1）a2n+1-nan2+an+1an=0,求它的通项公式是__1/n12、（04年全国）已知数列{an}满足a.1=1,an=a1+2a2+3a3+---+(n-1)an-1(n>1),则{an}的通项an=______a1=1;an=n213、（04年北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为__3___，这个数列的前n项和的计算公式为__当n为偶数时，；当n为奇数时，14.（04年全国）已知数列{an}中，a1=1，a2k=a2k-1+(-1)K,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3，…。(1)求a3,a5；（2）求{an}的通项公式解：（I）a2=a1+(－1)1=0,a3=a2+31=3.a4=a3+(－1)2=4a5=a4+32=13,所以，a3=3,a5=13.(II)a2k+1=a2k+3k=a2k－1+(－1)k+3k,所以a2k+1－a2k－1=3k+(－1)k,同理a2k－1－a2k－3=3k－1+(－1)k－1,a3－a1=3+(－1).所以(a2k+1－a2k－1)+(a2k－1－a2k－3)+…+(a3－a1)=(3k+3k－1+…+3)+[(－1)k+(－1)k－1+…+(－1)],由此得a2k+1－a1=(3k－1)+[(－1)k－1],于是a2k+1=a2k=a2k－1+(－1)k=(－1)k－1－1+(－1)k=(－1)k=1.{an}的通项公式为：当n为奇数时，an​=当n为偶数时，PAGE_1140777043.unknown_1148480544.unknown_1167471663.unknown_1175071960.unknown_1175072151.unknown_1175088832.unknown_1175088833.unknown_1175088845.unknown_1175072382.unknown_1175088830.unknown_1175072039.unknown_1175072107.unknown_1175072000.unknown_1167477100.unknown_1167819259.unknown_1168627659.unknown_1167819375.unknown_1167477167.unknown_1167477034.unknown_1149242008.unknown_1149242430.unknown_1167229201.unknown_1167465561.unknown_1167470646.unknown_1167229970.unknown_1167230003.unknown_1167229935.unknown_1167204618.unknown_1167205733.unknown_1149242486.unknown_1149242216.unknown_1149242343.unknown_1149242409.unknown_1149242263.unknown_1149242147.unknown_1149242174.unknown_1149242133.unknown_1148480732.unknown_1148729428.unknown_1148729572.unknown_1148729894.unknown_1148729999.unknown_1148729643.unknown_1148729442.unknown_1148480791.unknown_1148480798.unknown_1148480765.unknown_1148480597.unknown_1148480652.unknown_1148480559.unknown_1140781302.unknown_1148480434.unknown_1148480498.unknown_1148480502.unknown_1148480473.unknown_1140781402.unknown_1148365699.unknown_1148371453.unknown_1148372460.unknown_1148372470.unknown_1148365707.unknown_1140781442.unknown_1148365691.unknown_1140781416.unknown_1140781316.unknown_1140781339.unknown_1140777501.unknown_1140779045.unknown_1140779926.unknown_1140779034.unknown_1140777260.unknown_1140777362.unknown_1140777380.unknown_1140777391.unknown_1140777372.unknown_1140777327.unknown_1140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