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2013高中数学精讲精练(新人教A版)第09章 圆锥曲线.doc

2013高中数学精讲精练(新人教A版)第09章 圆锥曲线

四季发财 2012-07-30 评分 0 浏览量 0 0 0 0 暂无简介 简介 举报

简介:本文档为《2013高中数学精讲精练(新人教A版)第09章 圆锥曲线doc》,可适用于高中教育领域,主题内容包含高中数学精讲精练第九章圆锥曲线【知识图解】【方法点拨】解析几何是高中数学的重要内容之一也是衔接初等数学和高等数学的纽带。而圆锥曲线是解析几何的重要内符等。

高中数学精讲精练第九章圆锥曲线【知识图解】【方法点拨】解析几何是高中数学的重要内容之一也是衔接初等数学和高等数学的纽带。而圆锥曲线是解析几何的重要内容因而成为高考考查的重点。研究圆锥曲线无外乎抓住其方程和曲线两大特征。它的方程形式具有代数的特性而它的图像具有典型的几何特性因此它是代数与几何的完美结合。高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类:椭圆、双曲线和抛物线。圆锥曲线问题的基本特点是解题思路比较简单清晰解题方法的规律性比较强但是运算过程往往比较复杂对学生运算能力恒等变形能力数形结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。一要重视定义这是学好圆锥曲线最重要的思想方法二要数形结合既熟练掌握方程组理论又关注图形的几何性质着力抓好运算关提高运算与变形的能力解析几何问题一般涉及的变量多计算量大解决问题的思路分析出来以后往往因为运算不过关导致半途而废因此要寻求合理的运算方案探究简化运算的基本途径与方法并在克服困难的过程中增强解决复杂问题的信心提高运算能力突出主体内容要紧紧围绕解析几何的两大任务来学习:一是根据已知条件求曲线方程其中待定系数法是重要方法二是通过方程研究圆锥曲线的性质往往通过数形结合来体现应引起重视重视对数学思想如方程思想、函数思想、数形结合思想的归纳提炼达到优化解题思维、简化解题过程第课 椭圆A【考点导读】掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌握椭圆简单的几何性质了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题【基础练习】.已知ABC的顶点B、C在椭圆上顶点A是椭圆的一个焦点且椭圆的另外一个焦点在BC边上则ABC的周长是椭圆的离心率为已知椭圆中心在原点一个焦点为F(-)且长轴长是短轴长的倍则该椭圆的标准方程是已知椭圆的离心率则的值为【范例导析】例()求经过点且与椭圆有共同焦点的椭圆方程。()已知椭圆以坐标轴为对称轴且长轴长是短轴长的倍点P(,)在该椭圆上求椭圆的方程。【分析】由所给条件求椭圆的标准方程的基本步骤是:定位,即确定椭圆的焦点在哪轴上定量即根据条件列出基本量a、b、c的方程组解方程组求得a、b的值写出方程解:()椭圆焦点在轴上故设椭圆的标准方程为()由椭圆的定义知又所以椭圆的标准方程为。()方法一:若焦点在x轴上设方程为点P(,)在该椭圆上即又椭圆的方程为若焦点在y轴上设方程为点P(,)在该椭圆上即又椭圆的方程为方法二:设椭圆方程为点P(,)在该椭圆上A=即,又椭圆的方程为或【点拨】求椭圆标准方程通常采用待定系数法若焦点在x轴上设方程为若焦点在y轴上设方程为有时为了运算方便也可设为其中例点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点点F是椭圆的右焦点点P在椭圆上且位于轴上方。()求点P的坐标()设M是椭圆长轴AB上的一点M到直线AP的距离等于求椭圆上的点到点M的距离的最小值。【分析】列方程组求得P坐标解几中的最值问题通常可转化为函数的最值来求解要注意椭圆上点坐标的范围解:()由已知可得点A(-,),F(,)设点P(,),则=(,),=(-,),由已知可得则-=,=或=-由于>,只能=,于是=点P的坐标是(,)()直线AP的方程是-=设点M(,),则M到直线AP的距离是于是=,又-,解得=椭圆上的点(,)到点M的距离有,由于-,当=时,d取得最小值点拨:本题考查了二次曲线上的动点与定点的距离范围问题通常转化为二次函数值域问题【反馈练习】如果表示焦点在y轴上的椭圆那么实数k的取值范围是()设椭圆的两个焦点分别为F、、F过F作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P若FPF为等腰直角三角形则椭圆的离心率是椭圆=的焦点为F和F点P在椭圆上如果线段PF的中点在y轴上那么|PF|是|PF|的倍若椭圆的离心率,则的值为.椭圆的右焦点到直线的距离为与椭圆具有相同的离心率且过点()的椭圆的标准方程是或椭圆上的点到直线的最大距离是已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上点到两焦点的距离分别为和过点作焦点所在轴的垂线它恰好过椭圆的一个焦点求椭圆方程.分析:讨论椭圆方程的类型根据题设求出和(或和)的值.从而求得椭圆方程.解:设两焦点为、且.从椭圆定义知.即.从知垂直焦点所在的对称轴所以在中可求出从而.所求椭圆方程为或.第课 椭圆B【考点导读】掌握椭圆的第二定义,能熟练运用两个定义解决椭圆的有关问题能解决椭圆有关的综合性问题【基础练习】曲线与曲线的(D)A焦点相同B离心率相等C准线相同D焦距相等如果椭圆上的点A到右焦点的距离等于,那么点A到两条准线的距离分别是离心率一条准线为的椭圆的标准方程是【范例导析】例椭圆(a>b>)的二个焦点F(c)F(c)M是椭圆上一点且。求离心率e的取值范围分析:离心率与椭圆的基本量a、b、c有关所以本题可以用基本量表示椭圆上点的坐标再借助椭圆椭圆上点坐标的范围建立关于基本量的不等式从而确定离心率的范围解:设点M的坐标为(xy)则。由得xcy=即xc=y。又由点M在椭圆上得y=b代入得xc即。即解得。又<<例如图已知某椭圆的焦点是F(-)、F()过点F并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B且|FB||FB|=椭圆上不同的两点A(x,y),C(x,y)满足条件:|FA|、|FB|、|FC|成等差数列()求该弦椭圆的方程()求弦AC中点的横坐标分析:第一问直接可有第一定义得出基本量a从而写出方程第二问涉及到焦半径问题可以考虑利用第二定义的得出焦半径表达式结合等差数列的定义解决解:()由椭圆定义及条件知a=|FB||FB|=,得a=,又c=,所以b==故椭圆方程为=()由点B(,yB)在椭圆上得|FB|=|yB|=因为椭圆右准线方程为x=,离心率为根据椭圆定义有|FA|=(-x),|FC|=(-x)由|FA|、|FB|、|FC|成等差数列得(-x)(-x)=,由此得出:xx=设弦AC的中点为P(x,y),则x==【反馈练习】在给定椭圆中过焦点且垂直于长轴的弦长为焦点到相应准线的距离为则该椭圆的离心率为.已知F、F为椭圆的两个焦点过F作倾斜角为的弦AB则FAB的面积为已知正方形则以为焦点且过两点的椭圆的离心率为椭圆上的点P到它的左准线的距离是那么点P到它的右焦点的距离是椭圆上不同三点与焦点的距离成等差数列.求证:证明:由椭圆方程知.由圆锥曲线的统一定义知:.同理.且即.第课 双曲线【考点导读】了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,了解其几何性质能用双曲线的标准方程和几何性质解决一些简单的实际问题【基础练习】双曲线的虚轴长是实轴长的倍则方程表示双曲线则的范围是.已知中心在原点焦点在y轴的双曲线的渐近线方程为则此双曲线的离心率为已知焦点双曲线上的一点到的距离差的绝对值等于则双曲线的标准方程为【范例导析】例()已知双曲线的焦点在轴上并且双曲线上两点坐标分别为求双曲线的标准方程()求与双曲线共渐近线且过点的双曲线方程及离心率.分析:由所给条件求双曲线的标准方程的基本步骤是:定位,即确定双曲线的焦点在哪轴上定量即根据条件列出基本量a、b、c的方程组解方程组求得a、b的值写出方程解:()因为双曲线的焦点在轴上所以设所求双曲线的标准方程为点在双曲线上点的坐标适合方程。将分别代入方程中得方程组:将和看着整体解得即双曲线的标准方程为。点评:本题只要解得即可得到双曲线的方程没有必要求出的值在求解的过程中也可以用换元思想可能会看的更清楚。()解法一:双曲线的渐近线方程为:当焦点在x轴时设所求双曲线方程为在双曲线上由-得方程组无解当焦点在y轴时设双曲线方程为在双曲线上由得所求双曲线方程为:且离心率解法二:设与双曲线共渐近线的双曲线方程为:点在双曲线上所求双曲线方程为:即.点评:一般地在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下利用双曲线系方程求双曲线方程较为方便.通常是根据题设中的另一条件确定参数.例某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响正东观测点听到的时间比其他两观测点晚s已知各观测点到该中心的距离都是m试确定该巨响发生的位置(假定当时声音传播的速度为ms:相关各点均在同一平面上)解:如图:以接报中心为原点O正东、正北方向为x轴、y轴正向建立直角坐标系设A、B、C分别是西、东、北观测点则A(-)B()C()设P(x,y)为巨响为生点由A、C同时听到巨响声得|PA|=|PB|故P在AC的垂直平分线PO上PO的方程为y=-x因B点比A点晚s听到爆炸声故|PB|-|PA|==由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上依题意得a=,c=用y=-x代入上式得|PB|>|PA|,答:巨响发生在接报中心的西偏北距中心处例双曲线的焦距为c直线过点(a)和(b)且点()到直线的距离与点(-)到直线的距离之和求双曲线的离心率e的取值范围解:直线的方程为即由点到直线的距离公式且得到点()到直线的距离同理得到点(-)到直线的距离由即于是得解不等式得由于所以的取值范围是点拨:本小题主要考查点到直线距离公式双曲线的基本性质以及综合运算能力【反馈练习】双曲线的渐近线方程为已知双曲线的离心率为焦点是则双曲线方程为已知双曲线的两个焦点为P是此双曲线上的一点且则该双曲线的方程是设P是双曲线上一点双曲线的一条渐近线方程为、分别是双曲线左右焦点若=,则=与椭圆共焦点且过点的双曲线的方程()求中心在原点对称轴为坐标轴经过点且离心率为的双曲线标准方程.()求以曲线和的交点与原点的连线为渐近线且实轴长为的双曲线的标准方程.解:()设所求双曲线方程为:则所求双曲线方程为()或渐近线方程为当焦点在轴上时由且得.所求双曲线方程为当焦点在轴上时由且得.所求双曲线方程为设双曲线的半焦距为直线过、两点且原点到直线的距离为求双曲线的离心率.分析:由两点式得直线的方程再由双曲线中、、的关系及原点到直线的距离建立等式从而解出的值.解:由过两点得的方程为.由点到的距离为得.将代入平方后整理得.令则.解得或.而有.故或.因故所以应舍去.故所求离心率.说明:此题易得出错误答案:或.其原因是未注意到题设条件从而离心率.而故应舍去.已知双曲线的中心在原点焦点在坐标轴上离心率为且过点.()求双曲线方程()若点在双曲线上求证:()对于()中的点求的面积.解:()由题意可设双曲线方程为又双曲线过点解得双曲线方程为()由()可知又点在双曲线上即()的面积为.第课 抛物线【考点导读】了解抛物线的定义,掌握抛物线标准方程的四种形式和抛物线的简单几何性质会用抛物线的标准方程和几何性质解决简单的实际问题【基础练习】焦点在直线x-y-=上的抛物线的标准方程是若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合则的值为抛物线的焦点坐标是(a,)抛物线上与焦点的距离等于的点的坐标是.点是抛物线上一动点则点到点的距离与到直线的距离和的最小值【范例导析】例给定抛物线y=x设A(a)a>P是抛物线上的一点且|PA|=d试求d的最小值.解:设P(xy)(x)则y=xd=|PA|===.a>x()当<a<时-a>此时有x=时dmin==a.()当a时-a此时有x=a-时dmin=.例如图所示直线和相交于点M点以A、B为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点N的距离相等若AMN为锐角三角形且建立适当的坐标系求曲线段C的方程.分析:因为曲线段C上的任一点是以点N为焦点以为准线的抛物线的一段所以本题关键是建立适当坐标系确定C所满足的抛物线方程.解:以为x轴MN的中点为坐标原点O建立直角坐标系.由题意曲线段C是N为焦点以为准线的抛物线的一段其中A、B分别为曲线段的两端点.设曲线段C满足的抛物线方程为:其中、为A、B的横坐标令则由两点间的距离公式得方程组:解得或AMN为锐角三角形则又B在曲线段C上则曲线段C的方程为【反馈练习】抛物线的准线方程是抛物线的焦点到其准线的距离是设O为坐标原点F为抛物线的焦点A为抛物线上的一点若则点A的坐标为抛物线上的点到直线距离的最小值是若直线l过抛物线(a>)的焦点并且与y轴垂直若l被抛物线截得的线段长为则a=某抛物线形拱桥跨度是米拱高米在建桥时每隔米需用一支柱支撑求其中最长的支柱的长解:以拱顶为原点水平线为x轴建立坐标系如图由题意知|AB|=|OM|=A、B坐标分别为(--)、(-)设抛物线方程为x=-py,将A点坐标代入得=-p(-),解得p=,于是抛物线方程为x=-y由题意知E点坐标为(-)E′点横坐标也为将代入得y=-,从而|EE′|=(-)-(-)=故最长支柱长应为米已知抛物线的顶点在原点焦点F在x轴的正半轴且过点P(,)过F的直线交抛物线于AB两点()求抛物线的方程()设直线l是抛物线的准线求证:以AB为直径的圆与直线l相切.分析:可设抛物线方程为.用待定系数法求得方程对于第二问的证明只须证明则以AB为直径的圆必与抛物线准线相切解:()设抛物线的方程将()代入得所求抛物线方程为()证明:作于于.M为AB中点作于则由抛物线的定义可知:在直角梯形中:故以AB为直径的圆必与抛物线的准线相切.点拨:类似有:以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交.第课 圆锥曲线的统一定义【考点导读】了解圆锥曲线的第二定义能用第二定义解决简单的圆锥曲线问题【基础练习】抛物线的焦点的坐标是,准线方程是如果双曲线的两个焦点分别为、一条渐近线方程为那么它的两条准线间的距离是若双曲线上的点到左准线的距离是到左焦点距离的则=点M与点F的距离比它到直线:的距离小,则点的轨迹方程是【范例导析】例已知双曲线的渐近线方程为两条准线间的距离为求双曲线标准方程.分析:(可根据双曲线方程与渐近线方程的关系设出双曲线方程进而求出双曲线标准方程.解:双曲线渐近线方程为设双曲线方程为若则准线方程为:若则准线方程为:所求双曲线方程为:或点拨:求圆锥曲线方程时一般先由条件设出所求方程然后再根据条件列出基本的方程组解方程组得出结果例已知点在双曲线上求一点使的值最小.解:设点到与焦点相应准线的距离为则至此将问题转化成在双曲线上求一点使到定点的距离与到准线距离和最小.即到定点的距离与准线距离和最小为直线垂直于准线时解之得点.点拨:灵活巧妙地运用双曲线的比值定义于解题中将会带给我们意想不到的方便和简单.教学中应着重培养学生灵活运用知识的能力.【反馈练习】若双曲线上的点到左准线的距离是到左焦点距离的则在给定椭圆中过焦点且垂直于长轴的弦长为焦点到相应准线的距离为则该椭圆的离心率为已知双曲线的一条准线为则该双曲线的离心率为 双曲线右支点上的一点P到右焦点的距离为则P点到左准线的距离为第课 圆锥曲线综合【考点导读】在理解和掌握圆锥曲线的定义和简单几何性质的基础上,把握有关圆锥曲线的知识内在联系,灵活地运用解析几何的常用方法解决问题通过问题的解决,理解函数与方程、等价转化、数形结合、分类讨论等数学思想能够抓住实际问题的本质建立圆锥曲线的数学模型,实现实际问题向数学问题的转化,并运用圆锥曲线知识解决实际问题【基础练习】给出下列四个结论:当a为任意实数时直线恒过定点P则过点P且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是已知双曲线的右焦点为()一条渐近线方程为则双曲线的标准方程是抛物线已知双曲线其离心率则m的取值范围是(-)。其中所有正确结论的个数是设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点其准线过椭圆的焦点则双曲线的渐近线的斜率为如果椭圆的弦被点()平分则这条弦所在的直线方程是【范例导析】例已知抛物线的焦点为FA、B是热线上的两动点且过A、B两点分别作抛物线的切线设其交点为M。(I)证明为定值(II)设的面积为S写出的表达式并求S的最小值。解:()F点的坐标为(,)设A点的坐标为B点的坐标为由可得因此过A点的切线方程为()过B点的切线方程为()解()()构成的方程组可得点M的坐标,从而得到=即为定值()=可得三角形面积所以当且仅当时取等号点拨:本题主要考察共线向量的关系,曲线的切线方程,直线的交点以及向量的数量积等知识点涉及均值不等式,计算较复杂难度很大【反馈练习】已知双曲线的中心在原点离心率为若它的一条准线与抛物线的准线重合则该双曲线与抛物线的交点到原点的距离是设分别是双曲线的左、右焦点.若点在双曲线上且则设P是椭圆上一点、是椭圆的两个焦点则的最小值是已知以F(,)F(,)为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点则椭圆的长轴长为双曲线C与椭圆的焦点相同离心率互为倒数则双曲线C的渐近线的方程是已知椭圆与双曲线在第一象限内的交点为则点到椭圆右焦点的距离等于如图点A是椭圆C:的短轴位于x轴下方的端点过A作斜率为的直线交椭圆于B点点P在y轴上且BPx轴=,若点P的坐标为()求椭圆C的方程在平面直角坐标系中已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点.椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为.求圆的方程解:设圆心坐标为(mn)(m<n>),则该圆的方程为(xm)(yn)=已知该圆与直线y=x相切那么圆心到该直线的距离等于圆的半径则=即=又圆与直线切于原点将点()代入得mn=联立方程和组成方程组解得故圆的方程为(x)(y)=已知动圆过定点且与直线相切其中,求动圆圆心的轨迹的方程解:如图设为动圆圆心为记为过点作直线的垂线垂足为由题意知:即动点到定点与定直线的距离相等由抛物线的定义知点的轨迹为抛物线其中为焦点为准线所以轨迹方程为定义标准方程椭圆几何性质标准方程定义几何性质圆锥曲线圆锥曲线应用双曲线标准方程定义抛物线几何性质例yxoABCP例例第题EMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMT第题第页【精讲精练】共页unknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknown

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