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2013高中数学精讲精练(新人教A版)第08章 直线和圆的方程.doc

2013高中数学精讲精练(新人教A版)第08章 直线和圆的方…

四季发财 2012-07-30 评分 0 浏览量 0 0 0 0 暂无简介 简介 举报

简介:本文档为《2013高中数学精讲精练(新人教A版)第08章 直线和圆的方程doc》,可适用于高中教育领域,主题内容包含高中数学精讲精练第八章直线和圆的方程【知识图解】【方法点拨】.掌握直线的倾斜角斜率以及直线方程的各种形式能正确地判断两直线位置关系并能熟练地利用距离符等。

高中数学精讲精练第八章直线和圆的方程【知识图解】【方法点拨】.掌握直线的倾斜角斜率以及直线方程的各种形式能正确地判断两直线位置关系并能熟练地利用距离公式解决有关问题.注意直线方程各种形式应用的条件.了解二元一次不等式表示的平面区域能解决一些简单的线性规划问题.掌握关于点对称及关于直线对称的问题讨论方法,并能够熟练运用对称性来解决问题.熟练运用待定系数法求圆的方程..处理解析几何问题时主要表现在两个方面:()根据图形的性质建立与之等价的代数结构()根据方程的代数特征洞察并揭示图形的性质..要重视坐标法学会如何借助于坐标系用代数方法研究几何问题体会这种方法所体现的数形结合思想.要善于综合运用初中几何有关直线和圆的知识解决本章问题还要注意综合运用三角函数、平面向量等与本章内容关系比较密切的知识.第课 直线的方程【考点导读】理解直线倾斜角、斜率的概念掌握过两点的直线的斜率公式掌握直线方程的几种形式能根据条件求出直线的方程.高考中主要考查直线的斜率、截距、直线相对坐标系位置确定和求在不同条件下的直线方程属中、低档题多以填空题和选择题出现每年必考【基础练习】直线xcosα+y+=的倾斜角范围是过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是直线l经过点()且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形则直线l的方程为无论取任何实数直线必经过一定点P则P的坐标为()【范例导析】例已知两点A(-)、B(m)()求直线AB的斜率k()求直线AB的方程()已知实数m求直线AB的倾斜角α的取值范围.分析:运用两点连线的子斜率公式解决要注意斜率不存在的情况解:()当m=-时直线AB的斜率不存在.当m-时()当m=-时AB:x=-当m时AB:()当m=-时当m-时故综合、得直线AB的倾斜角点拨:本题容易忽视对分母等于和斜率不存在情况的讨论例直线l过点P(,),且分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B、O为坐标原点()当AOB的面积最小时,求直线l的方程()当|PA||PB|取最小值时,求直线l的方程分析:引进合适的变量,建立相应的目标函数,通过寻找函数最值的取得条件来求l的方程解()设直线l的方程为y=k(x),则点A(,),B(,k),且>,k>,即k<AOB的面积S=(k)()=(k),当k=,即k=时,AOB的面积有最小值,则所求直线方程是xy=()解法一:由题设,可令直线方程l为y=k(x)分别令y=和x=,得A(,),B(,k),|PA||PB|=,当且仅当k=,即k=时,|PA||PB|取得最小值又k<,k=,这是直线l的方程是xy=解法二:如下图,设BAO=θ,由题意得θ(,),且|PA||PB|=当且仅当θ=时,|PA||PB|取得最小值,此时直线l的斜率为,直线l的方程是xy=点评求直线方程的基本方法包括利用条件直接求直线的基本量和利用待定系数法求直线的基本量在研究最值问题时可以从几何图形开始找到取最值时的情形也可以从代数角度出发构建目标函数利用函数的单调性或基本不等式等知识来求最值例直线l被两条直线l:x+y+=和l:x-y-=截得的线段中点为P(-)求直线l的方程分析本题关键是如何使用好中点坐标对问题进行适当转化解:解法一设直线l交l于A(ab)则点(--a-b)必在l所以有解得直线l过A(,),P(,),它的方程是x+y+=解法二由已知可设直线l与l的交点为A(-+m+n)则直线l与l的交点为B(--m-n)且l的斜率k=A,B两点分别l和l上消去常数项得-m=n所以k=-从而直线l的方程为x+y+=解法三设l、l与l的交点分别为A,B则l关于点P(-)对称的直线m过点B利用对称关系可求得m的方程为x+y+=因为直线l过点B故直线l的方程可设为x-y-+λ(x+y+)=由于直线l点P(-)所以可求得λ=-从而l的方程为x-y--(x+y+)=即x+y+=点评本题主要复习有关线段中点的几种解法本题也可以先设直线方程然后求交点再根据中点坐标求出直线l的斜率但这种解法思路清晰计算量大解法一和解法二灵活运用中点坐标公式使计算简化对解法二还可以用来求已知中点坐标的圆锥曲线的弦所在直线方程解法三是利用直线系方程求解对学生的思维层次要求较高。【反馈练习】已知下列四个命题经过定点P(x,y)的直线都可以用方程yy=k(xx)表示经过任意两个不同点P(x,y)、P(x,y)的直线都可以用方程(yy)(xx)=(xx)(yy)表示不经过原点的直线都可以用方程=表示经过定点A(b)的直线都可以用方程y=kxb表示其中正确的是设直线l的方程为,当直线l的斜率为时k值为,当直线l在x轴、y轴上截距之和等于时k值为或设直线axbyc=的倾斜角为且sincos=则a,b满足的关系式为若直线l:y=kx与直线x+y-=的交点位于第一象限则直线l的倾斜角的取值范围是若直线xy=被两坐标轴截得的线段长为则c的值为.若直线(m)xym=不经过第一象限则实数m的取值范围是已知两直线axby=和axby=的交点为P()求过两点Q(ab)、Q(ab)(aa)的直线方程分析:利用点斜式或直线与方程的概念进行解答解:P()在已知直线上ab=ab=(a-a)(b-b)=即=-所求直线方程为y-b=-(x-a)xy-(ab)=即xy=点拨:由已知求斜率运用了整体代入的思想方法巧妙一条直线经过点P()并且分别满足下列条件求直线方程:()倾斜角是直线x-y=的倾斜角的倍()与x、y轴的正半轴交于A、B两点且AOB的面积最小(O为坐标原点)解:()设所求直线倾斜角为θ已知直线的倾斜角为α则θ=α且tanα=tanθ=tanα=从而方程为x-y=()设直线方程为+=a>b>代入P()得+=得ab从而SAOB=ab此时=k=-=-点拨:此题()也可以转化成关于a或b的一元函数后再求其最小值第课 两条直线的位置关系【考点导读】掌握两条直线平行与垂直的条件能根据直线方程判定两条直线的位置关系会求两条相交直线的交点掌握点到直线的距离公式及两平行线间距离公式高考数学卷重点考察两直线平行与垂直的判定和点到直线的距离公式的运用有时考察单一知识点,有时也和函数三角不等式等结合题目难度中等偏易【基础练习】已知过点A(m)和B(m)的直线与直线xy=平行则m的值为过点(-)且垂直于直线x-y=的直线方程为xy-=若三条直线和相交于一点则k的值等于【范例导析】例已知两条直线:xmy=,:(m)xmym=当m为何值时,与()相交()平行()重合?分析:利用垂直、平行的充要条件解决解:当m=时:x+6=0:x=0当m=时:x+4y+6=0:3y+2=0与相交当m0且m2时由得m=-1或m=3由得m=故(1)当m-1且m3且m0时与相交。(2)m=-1或m=0时(3)当m=3时与重合。点拨:判断两条直线平行或垂直时不要忘了考虑两条直线斜率是否存在例已知直线经过点P()且被两平行直线:xy=和:xy=截得的线段之长为。求直线的方程。分析:可以求出直线与两平行线的交点坐标运用两点距离公式求出直线斜率解法一::若直线的斜率不存在则直线的方程为x=此时与、的交点分别是A()和B()截得的线段AB的长|AB|=||=符合题意。若直线的斜率存在则设的方程为y=k(x)解方程组得A(-)解方程组得B(-)由|AB|=得=解之得k=即所求的直线方程为y=。综上可知所求的方程为x=或y=。解法二设直线与、分别相交于A(xy)、B(xy)则xy=xy=。两式相减得(xx)(yy)=又(xx)(yy)=联立可得或由上可知直线的倾斜角为或又由直线过点P()故所求的方程为x=或y=。点拨:用待定系数法求直线方程时要注意对斜率不存在的情况的讨论【反馈练习】已知直线在轴上的截距为且垂直于直线则的方程是若直线与互相垂直则或若直线l:axy=与直线l:x(a-)y(a-)=平行则a的值是已知且点到直线的距离等于则等于经过直线与的交点且平行于直线的直线方程是xy=线过点过点且与之间的距离等于求与的方程。解:与的方程分别为:xy=,xy=或x=,x=已知(ABC的三边方程分别为AB:BC:CA:求:()AB边上的高所在直线的方程()BAC的内角平分线所在直线的方程解:()AB边上的高斜率为且过点C解方程组得点C()所以AB边上的高方程为()设P为BAC的内角平分线上任意一点则解得或由图形知即为所求第课 圆的方程【考点导读】掌握圆的标准方程与一般方程能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程理解圆的标准方程与一般方程之间的关系会进行互化。本节内容主要考查利用待定系数法求圆的方程利用三角换元或数形结合求最值问题题型难度以容易题和中档题为主【基础练习】已知点A(-)B(-)以线段AB为直径的圆的方程为(x)(y-)=过点A(-)、B(-)且圆心在直线x+y-=上的圆的方程是(x-)+(y-)=已知圆C的半径为圆心在轴的正半轴上直线与圆C相切则圆C的方程为圆与y轴交于A、B两点圆心为P若APB=则实数c值为如果方程所表示的曲线关于直线对称那么必有D=E【范例导析】【例】设方程若该方程表示一个圆求m的取值范围及这时圆心的轨迹方程。分析:配成圆的标准方程再求解解:配方得:该方程表示圆则有得此时圆心的轨迹方程为消去m得由得x=m所求的轨迹方程是注意:方程表示圆的充要条件求轨迹方程时一定要讨论变量的取值范围如题中变式:方程表示圆求实数a的取值范围并求出其中半径最小的圆的方程。解:原方程可化为当a时原方程表示圆。又当所以半径最小的圆方程为例求半径为与圆相切且和直线相切的圆的方程.分析:根据问题的特征宜用圆的标准方程求解.解:则题意设所求圆的方程为圆.圆与直线相切且半径为则圆心的坐标为或.又已知圆的圆心的坐标为半径为.若两圆相切则或.()当时或(无解)故可得.所求圆方程为或.()当时或(无解)故.所求圆的方程为或.【反馈练习】关于x,y的方程AxBxyCyDxEyF=表示一个圆的充要条件是B=且A=C,DEAF>过点P()Q()R()三点的圆的圆心坐标是()若两直线y=xk与y=xk的交点P在圆xy=的内部则k的范围是已知圆心为点()一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上则这个圆的方程是直线y=x与曲线xy=相交于A、B两点则AB的中点坐标是方程表示的曲线是两个半圆圆关于直线的对称圆的方程是如果实数x、y满足等式那么的最大值是已知点和圆求一束光线从点A经x轴反射到圆周C的最短路程为.求经过点A(,),B(,),圆心在直线xy=上的圆的方程解:设圆心P(x,y),则有,解得x=,y=,半径r=,所求圆的方程为(x)(y)=一圆与y轴相切圆心在直线x-y=上且直线y=x截圆所得弦长为求此圆的方程解:因圆与y轴相切且圆心在直线x-y=上故设圆方程为又因为直线y=x截圆得弦长为则有=b解得b=故所求圆方程为或点拨:()确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程()待定系数法()尽量利用几何关系求a、b、r或D、E、F第课 直线与圆的位置关系【考点导读】能利用代数方法和几何方法判定直线与圆的位置关系熟练运用圆的有关性质解决直线与圆、圆与圆的综合问题运用空间直角坐标系刻画点的位置了解空间中两点间的距离公式及其简单应用【基础练习】若直线xy=与圆xyaxya=总有两个不同交点则a的取值范围是<a<直线xy=被圆xyxy=截得的弦长等于过点P()且与圆xyxy=相切的直线的方程为x=或xy=【范例导析】例已知圆C:(x-)+(y-)=直线l:(m)x(m)y-m-=(mR)()证明:不论m取什么实数直线l与圆恒交于两点()求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程分析:直线过定点而该定点在圆内此题便可解得()证明:l的方程(xy-)m(xy-)=由得即l恒过定点A()圆心C()|AC|=<(半径)点A在圆C内从而直线l恒与圆C相交于两点()解:弦长最小时lAC由kAC=-l的方程为x-y-=点拨:直线与圆相交截得弦长的最小值时,可以从垂径定理角度考虑,充分利用圆的几何性质例已知圆O:圆C:由两圆外一点引两圆切线PA、PB切点分别为A、B满足|PA|=|PB|求实数a、b间满足的等量关系解:连结PO、PC|PA|=|PB||OA|=|CB|=|PO|=|PC|从而化简得实数a、b间满足的等量关系为:例已知圆C与两坐标轴都相切圆心C到直线的距离等于求圆C的方程解:设圆C半径为由已知得:或圆C方程为例如图在平面直角坐标系xOy中平行于x轴且过点A(eqr())的入射光线l被直线l:y=eqf(r(),)x反射.反射光线l交y轴于B点圆C过点A且与l,l都相切()求l所在直线的方程和圆C的方程()设PQ分别是直线l和圆C上的动点求PBPQ的最小值及此时点P的坐标.解:()直线设的倾斜角为反射光线所在的直线方程为即已知圆C与,圆心C在过点D且与垂直的直线上,又圆心C在过点A且与垂直的直线上,圆C的半径r=故所求圆C的方程为()设点关于的对称点则得,固定点Q可发现当共线时最小故的最小值为此时由,得【反馈练习】圆xyx=在点P(,)处的切线方程为已知直线过点当直线与圆有两个交点时其斜率k的取值范围是设m>,则直线(xy)m=与圆xy=m的位置关系为相切或相离解析:圆心到直线的距离为d=,圆半径为dr==(m)=(),直线与圆的位置关系是相切或相离圆(x)(y)=上到直线xy=的距离等于的点有个数为点P从(,)出发,沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点,则Q的坐标为若圆与直线相切且其圆心在轴的左侧则的值为设P为圆上的动点则点P到直线的距离的最小值为已知平面区域恰好被面积最小的圆及其内部所覆盖.()试求圆的方程()若斜率为的直线与圆C交于不同两点满足,求直线的方程解:()由题意知此平面区域表示的是以构成的三角形及其内部,且是直角三角形,所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(,),半径是,所以圆的方程是()设直线的方程是:因为,所以圆心到直线的距离是,即解得:所以直线的方程是:点中点坐标两点间距离圆位置关系点与圆的位置关系直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系方程形式标准方程一般方程点到直线的距离直线直线斜率与倾斜角两条直线位置关系平行相交垂直方程形式点斜式斜截式两点式截距式一般式点与直线位置关系直线与圆的方程空间直角坐标系yxOPEFBA例图例xyOABlll例第页【精讲精练】共页

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