高中理科数学解题方法篇（函数与导数）

函数综合题分类复习 题型一：关于函数的单调区间（若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开），极值，最值；不等式恒成立；此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令 得到两个根；第二步：列 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 如下；第三步：由表可知； 不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种： 第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值（请同学们参考例5）；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值----题型特征 恒成立 恒成立；参考例4； 例1.已知函数 ， 是 的一个极值点． （Ⅰ）求 的单调递增区间； （Ⅱ）若当 时， 恒成立，求 的取值范围． 例2.已知函数的图象过点. （Ⅰ）若函数在处的切线斜率为，求函数的解析式； （Ⅱ）若，求函数的单调区间. 例3.设 HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" EMBED Equation.DSMT4 。 （1）求 上的值域； 在 （2）若对于任意 的取值范围。 成立,求 ,使得 ，总存在 例4.已知函数 图象上一点 的切线斜率为 ， （Ⅰ）求 的值；（Ⅱ）当 时，求 的值域； （Ⅲ）当 时，不等式 恒成立，求实数t的取值范围。 例5.已知定义在 上的函数 EMBED Equation.3 在区间 上的最大值是5，最小值是－11. （Ⅰ）求函数 的解析式； （Ⅱ）若 时， 恒成立，求实数 的取值范围. 例6.已知函数 。 时有极值0，则 ，在 例7.已知函数 ． ，函数 图象上斜率为3的两条切线间的距离为 （1） 若函数 的解析式； 处有极值，求 在 （2） 若函数 的取值范围． 上都成立，求实数 在区间 上为增函数，且 在区间 答案： 1、解：（Ⅰ） . ∵ 是 的一个极值点， ∴ 是方程 的一个根，解得 . 令 ，则 ，解得 或 . ∴函数 的单调递增区间为 ， . （Ⅱ）∵当 时 ， 时 ， ∴ 在（1，2）上单调递减， 在（2，3）上单调递增. ∴ 是 在区间[1，3]上的最小值，且 . 若当 时，要使 恒成立，只需 ， 即 ，解得 . 2、解：（Ⅰ）． 由题意知，得 ． ∴ ． （Ⅱ）． ∵ ，∴ ． 由解得或， 由解得． ……………10 ∴ 的单调增区间为：和； 的单调减区间为： ．……12分 3、解：(1)法一:(导数法) 上恒成立. 在 ∴ 值域[0,1]。 在[0,1]上增，∴ 法二: , 复合函数求值域. 法三: 用双勾函数求值域. (2) . 上的值域 在 值域[0,1]， 由条件,只须 . ，∴ 特别说明：要深刻理解本题的题意及子区间的解题思路，联想2008年全国一卷第21题，那是单调区间的子区间问题； 4、解：（Ⅰ） ∴ ， 解得 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递减又 ∴ 的值域是 （Ⅲ）令 ∴要使 恒成立，只需 ，即 （1）当 时 解得 ； （2）当 时 ； （3）当 时 解得 ；综上所述所求t的范围是 特别说明：分类与整合，千万别忘了整合即最后要写“综上可知”，分类一定要序号化； 5、解：（Ⅰ） 令 =0,得 因为 ，所以可得下表： 0 + 0 - ↗ 极大 ↘ 因此 必为最大值,∴ 因此 ， ， 即 ，∴ ，∴ （Ⅱ）∵ ，∴ 等价于 ， 令 ，则问题就是 在 上恒成立时，求实数 的取值范围，为此只需 ，即 ， 解得 ，所以所求实数 的取值范围是[0，1]. 6、11 （ 特别说明：通过此题旨在提醒同学们“导数等于零”的根不一定都是极值点，但极值点一定是“导数等于零”方程的根；） 7、解：∵ ，∴由 有 ，即切点坐标为 ， ∴切线方程为 ，或 ……………………2分 整理得 或 ∴ ，解得 ，∴ ，∴ （1）∵ ， 在 处有极值，∴ ， 即 ，解得 ，∴ ……………………8分 （2）∵函数 在区间 上为增函数，∴ 在区间 上恒成立，∴ ，又∵ 在区间 上恒成立，∴ ， 即 ，∴ 在 上恒成立，∴ ∴ 的取值范围是 题型二：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与x轴即方程根的个数问题； （1）已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种： 第一种：转化为恒成立问题即 在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立问题；用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（看是否在0的同侧），如果是同侧则不必分类讨论；若在0的两侧，则必须分类讨论，要注意两边同处以一个负数时不等号的方向要改变呀！有时分离变量解不出来，则必须用另外的方法； 第二种：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；参考08年高考题； 第三种方法：利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置；可参考第二次市统考试卷； 特别说明：做题时一定要看清楚“在（a,b）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别；请参考资料《高考教练》83页第3题和清明节假期作业上的第20题（金考卷第5套）； （2）函数与x轴即方程根的个数问题解题步骤 第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”； 第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系； 第三步：解不等式（组）即可； 例8．已知函数 上为增函数． 在区间 ，且 ， （1） 求实数 的取值范围； （2） 若函数 的取值范围． 的图象有三个不同的交点，求实数 与 例9.已知函数 （I）讨论函数 的单调性。 （II）若函数 在A、B两点处取得极值，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围。 例10．已知函数f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，其中a为实数． (Ⅰ)求导数(x)； (Ⅱ)若(－1)＝0，求f(x)在[－2，2]上的最大值和最小值； (Ⅲ)若f(x)在(－∞，－2]和[2，＋∞)上都是递增的，求a的取值范围 例11.已知：函数 （I）若函数 的图像上存在点 ，使点 处的切线与 轴平行，求实数 的关系式； （II）若函数 在 和 时取得极值且图像与 轴有且只有3个交点，求实数 的取值范围. 例12．设为三次函数，且图像关于原点对称，当时， 的极小值为． （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）证明：当时，函数图像上任意两点的连线的斜率恒大于0． 例13．在函数 图像在点（1，f（1））处的切线与直线 平行，导函数 的最小值为－12。 （1）求a、b的值； （2）讨论方程 解的情况（相同根算一根）。 例14．已知定义在R上的函数 ，当 时， 取得极大值3， . （Ⅰ）求 的解析式； （Ⅱ）已知实数 能使函数 上既能取到极大值，又能取到极小值，记所有的实数 组成的集合为M.请判断函数 的零点个数. 例15.已知函数 的单调减区间为（0，4） （I）求 的值； （II）若对任意的 总有实数解，求实数 的取值范围。 例16.已知函数 是常数 ，且当 和 时，函数 取得极值. （Ⅰ）求函数 的解析式； （Ⅱ）若曲线 与 有两个不同的交点，求实数 的取值范围. 例17.已知函数正项数列满足： ， ，点 在圆 上， ks5u （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）若 EMBED Equation.3 ，求证： 是等比数列； （Ⅲ）求和： 例18.函数 （ EMBED Equation.3 、 为常数）是奇函数。ks5u （Ⅰ）求实数 的值和函数 的图像与 轴交点坐标； （Ⅱ）设 ， ，求 的最大值 . 例19.已知f (x)＝x3＋bx2＋cx＋2． ⑴若f(x)在x＝1时有极值－1，求b、c的值； ⑵若函数y＝x2＋x－5的图象与函数y＝ 的图象恰有三个不同的交点，求实数k的取值范围． 例20. 设函数，，当时，取得极值. （1）求的值，并判断是函数的极大值还是极小值； （2）当时，函数与的图象有两个公共点，求的取值范围. 例21.已知 在R上单调递增，记 的三内角A、B、C的对应边分别为a、b、c，若 时，不等式 恒成立． （Ⅰ）求实数 的取值范围；（Ⅱ）求角 的取值范围；（Ⅲ）求实数 的取值范围。 答案： 8解：（1）由题意 ∵ 在区间 上为增函数， ∴ 在区间 上恒成立 即 恒成立，又 ，∴ ，故 ∴ 的取值范围为 （2）设 ， 令 得 或 由（1）知 ， ①当 时， ， 在R上递增，显然不合题意…②当 时， ， 随 的变化情况如下表： — ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 由于 ，欲使 与 的图象有三个不同的交点，即方程 有三个不同的实根，故需 ，即 ∴ ，解得 综上，所求 的取值范围为 9、解：（1） EMBED Equation.3 当a>0时， 递增； 当a<时， 递减…………………………5分 （2）当a>0时 0 + 0 － 0 + 增 极大值 减 极小值 增 此时，极大值为 …………7分 当a<0时 0 － 0 + 0 － 减 极小值 增 极大值 减 此时，极大值为 因为线段AB与x轴有公共点所以 解得 10、解：（Ⅰ） （Ⅱ）由， 由得或x=又 在[-2，2]上最大值，最小值..……………………………8分 （Ⅲ）， 由题意知 11、解：（I）设切点 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , 因为存在极值点，所以 ，即 -------（4分） （II）因为 ， 是方程 的根， 所以 ， EMBED Equation.3 .----------------------(6分) EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ； EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 在 处取得极大值，在 处取得极小值. 函数图像与 轴有3个交点， EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 12解：（Ⅰ）设 其图像关于原点对称，即 得 ∴， 则有 由 ， 依题意得 ∴ ① ② 由①②得 故所求的解析式为：. ---------------8分 （Ⅱ）由解得：或 -------------------------------10分 ∴时，函数单调递增； ---------------12分 设是时，函数图像上任意两点，且，则有 ∴过这两点的直线的斜率. 13、解：（1） 又直线 （2）由（1）知 ，列表如下： x f′ + 0 － 0 + f（x） 极大值 极小值 所以，函数f（x）的单调增区间是 和 14、解：（1）由 得c=1 ， 得 ∴ （2） 得 ， 时取得极值.由 ， 得 ∴ . ， ，∴当 时， ， ∴ 在 上递减. 又 ∴函数 的零点有且仅有1个 15、解：（I） 又 …………4分 （II） EMBED Equation.3 且 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 …………12分 16、解：（Ⅰ） ， 依题意 ，即 解得 ∴ （Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线 与 有两个不同的 交点，即 在 上有两个不同的实数解…5分 设 EMBED Equation.3 ，则 ， 由 0的 或 当 时 ，于是 在 上递增； 当 时 ，于是 在 上递减. 依题意有 ∴实数 的取值范围是 . 17、解：（Ⅰ）由题意： ∴ ……………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知： EMBED Equation.3 数列 满足： ，故 ……………8分 （Ⅲ）令 相减得： ∴ ……………12分 18、解：（Ⅰ） ， 与 轴交点为 ， ……………4分 （Ⅱ） ………6分 当 时，由 ，得 或 （舍） ∴ 在 上单调递增，在 上单调递减。 当 时，由 得 在 上单调递增。 如图所示，为 在 上的图像。……………10分 ∵当 时， ∴当 时，由 故 的最大值 的情形如下： 当 时， 当 时， 当 时， ∴ 19、解：⑴f '(x)＝3x2＋2bx＋c，由题知f '(1)＝0 3＋2b＋c＝0，f(1)＝－1 1＋b＋c＋2＝－1∴b＝1，c＝－5，f(x)＝x3＋x2－5x＋2，f'(x)＝3x2＋2x－5 f(x)在[－ ，1]为减函数，f (x)在(1，＋∞)为增函数∴b＝1，c＝－5符合题意 ⑵即方程： 恰有三个不同的实解：x3＋x2－5x＋2＝k(x≠0) 即当x≠0时，f (x)的图象与直线y＝k恰有三个不同的交点，由⑴知f (x)在 为增函数，f (x)在 为减函数，f (x)在(1，＋∞)为增函数，又 ，f (1)＝－1，f (2)＝2∴ 且k≠2 20、解：（1）由题意 当时，取得极值， 所以 即 此时当时，，当时，， 是函数的最小值。 （2）设，则 ，……8分 设， ，令解得或列表如下： __ 0 + 函数在和上是增函数，在上是减函数。 当时，有极大值；当时,有极小值 函数与的图象有两个公共点，函数与的图象有两个公共点 或 21、解：(1)由 知 ， EMBED Equation.3 在R上单调递增， EMBED Equation.3 恒成立， EMBED Equation.3 且 ，即 且 ， EMBED Equation.3 ． （2） EMBED Equation.3 ，由余弦定理： ， EMBED Equation.3 ， （3） EMBED Equation.3 在R上单调递增，且 ， 所以 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ， 故 ，即 ， ，即 ，即 ． 题型三：函数的切线问题； 问题1：在点处的切线，易求； 问题2：过点作曲线的切线需四个步骤； 第一步：设切点，求斜率；第二步：写切线（一般用点斜式）；第三步：根据切点既在曲线上又在切线上得到一个三次方程；第四步：判断三次方程根的个数； 例22.已知函数 在点 处取得极小值－4，使其导数 的 的取值范围为 ，求： （1） 的解析式； （2）若过点 可作曲线 的三条切线，求实数 的取值范围． 例23. 已知 （ 为常数）在 时取得一个极值， （1）确定实数 的取值范围，使函数 在区间 上是单调函数； （2）若经过点A（2，c）（ ）可作曲线 的三条切线，求 的取值范围． 答案： 22、解：（1）由题意得： ∴在 上 ；在 上 ；在 上 因此 在 处取得极小值 ∴ ①， ②， ③ 由①②③联立得： ，∴ （2）设切点Q ， 过 令 ， 求得： ，方程 有三个根。 需： EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 故： ；因此所求实数 的范围为： 23、解：（1）∵函数 在 时取得一个极值，且 ， ， ． 或 时， 或 时， 时， ， 在 上都是增函数，在 上是减函数． ∴使 在区间 上是单调函数的 的取值范围是 （2）由（1）知 ．设切点为 ，则切线的斜率 ，所以切线方程为： ． 将点 代人上述方程，整理得： ． ∵经过点 可作曲线 的三条切线，∴方程 有三个不同的实根． 设 ，则 ， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增， 故 得： ． 题型四：函数导数不等式线性规划精彩交汇； 例24.设函数 ，在其图象上一点 处的切线的斜率记为 ． (1)若方程 有两个实根分别为-2和4，求 的表达式； (2)若 在区间 上是单调递减函数，求 的最小值。 例25.已知函数 （1）若 图象上的是 处的切线的斜率为 的极大值。 （2） 在区间 上是单调递减函数，求 的最小值。 例26. 已知函数 （ ，， 且 ）的图象在 处的切线与 轴平行. (I) 试确定 的符号； 、 (II) 若函数 在区间 上有最大值为，试求 的值. 答案： 24、解：（1）根据导数的几何意义知 由已知-2，4是方程 的两个实根由韦达定理， ∴ ， （2） 在区间 上是单调递减函数，所以在 区间上恒有 ，即 在 区间上恒成立 这只需满足 即可，也即 而 可视为平面区域 内的点到原点距离的平方由图知当 时， 有最小值13； 25、解：（1） 由题意得 令 由此可知 －1 3 + 0 － 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值－9 ↗ 时 取极大值 （2） 上是减函数 上恒成立 作出不等式组表示的平面区域如图 当直线 经过点 时 取最小值 26、解：(I)由图象在 处的切线与 轴平行， 知 ，∴ ① …………3分 又 ，故 ， . ………… 4分 (II)令 , 得 或 …………………… 6分 易证 是的极大值点， 是极小值点（如图）. ………… 7分 令 ，得 或 . …………………………………………8分 分类：(I)当 时， ，∴ . ② 由①，②解得 ，符合前提 . (II)当 时， ,∴ . ③ 由①，③得 . 记 , ∵ , ∴ 在 上是增函数，又，∴ , ∴ 在 上无实数根.综上， 的值为 . 题型五：函数导数不等式数列的精彩交汇 例2 7.已知函数满足且有唯一解。 （1） 求的表达式； （2）记，且＝，求数列的通项公式。 （３）记 ，数列｛｝的前ｎ项和为，求证 例28.已知函数 ，其中 . （Ⅰ）若曲线 在点 处的切线方程为 ，求函数 的解析式； （Ⅱ）讨论函数 的单调性； （Ⅲ）若对于任意的 ，不等式 在 上恒成立，求 的取值范围. 例29.在数列中，，且已知函（）在时取得极值.学科网 （Ⅰ）求数列的通项；学科网 （Ⅱ）设，且对于恒成立，求实数的取值范围．学 例30.已知函数，为实数）有极值，且在处的切线与直线平行. （1）求实数a的取值范围； （2）是否存在实数a，使得函数的极小值为1，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由； 例31.已知函数（a、c、d∈R）满足且在R上恒成立。 （1）求a、c、d的值；（2）若，解不等式； （3）是否存在实数m，使函数在区间[m，m+2]上有最小值－5？若存在，请求出实数m的值，若不存在，请说明理由。 例32.设函数 （ ），其中 （1）当 时，求曲线 在点（2， ）处的切线方程； （2）当 时，求函数 的极大值和极小值； （3）当 时，证明存在 ，使得不等式 对任意的 恒成立。 例33. 已知函数 为常数） （Ⅰ）若 （Ⅱ）若 在 和 处取得极值，且在 时，函数 的图象在直线 的下方，求 的取值范围？ 答案： 27、解：(1)由 即 有唯一解 又 (2)由 又 数列是以首项为，公差为 (3)由 = 28、解：（Ⅰ） ，由导数的几何意义得 ，于是 ．由切点 在直线 上可得 ，解得 ． 所以函数 的解析式为 ． （Ⅱ）解： ． 当 时，显然 （ ）．这时 在 ， 上内是增函数． 当 时，令 ，解得 ． 当 变化时， ， 的变化情况如下表： ＋ 0 － － 0 ＋ ↗ 极大值 ↘ ↘ 极小值 ↗ 所以 在 ， 内是增函数，在 ， 内是减函数． （Ⅲ）解：由（Ⅱ）知， 在 上的最大值为 与 的较大者，对于任意的 ，不等式 在 上恒成立，当且仅当 ，即 ，对任意的 成立．从而得 ，所以满足条件的 的取值范围是 ． 科网 29、解： (Ⅰ) ∵(1)＝0∴(an＋2－an＋1)－(3a n＋1－4an)＝0 即an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an) 又a2－2a1＝4 ∴数列｛an＋1－2an｝是以2为公比，以4为首项的等比数列。∴an＋1－2an＝4×2n－1＝2 n＋1∴ 且∴数列｛｝是首项为1，公差为1的等差数列，∴＝＋(n－1)×1＝n∴ （Ⅱ）由， 令Sn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝ 　　　　　 得 ∴ Sn＝6[1－( 30、解：（1）由题意 ① ② 由①、②可得，故 （2）存在 由（1）可知， + 0 － 0 + 单调增 极大值 单调减 极小值 单调增 ， . 的极小值为1. 31、解：（1），，，即， 从而。在R上恒成立，， 即，解得。 （2）由（1）知，，， ∴不等式化为， 即，∴ （a）若，则不等式解为； （b）若，则不等式解为空集； （c）若，则不等式解为。 （3）。该抛物线开口向上，对称轴为。 若，即时，在[m，m+2]上为增函数。 当时，由已知得，解得。 若，即时，当时，。 由已知得，无解。 若，即时，在[m，m+2]上为减函数。 当时，。 由已知得，解得。 综上所述，存在实数或，使函数在区间[m，m+2]上有最小值－5。 32、解：（Ⅰ）当 时， ，得 ，且 ， ． 所以，曲线 在点 处的切线方程是 ，整理得 ． （Ⅱ）解： EMBED Equation.DSMT4 ． 令 ，解得 或 ．由于 ，以下分两种情况讨论． （1）若 ，当 变化时， 的正负如下表： 因此，函数 在 处取得极小值 ，且 ； 函数 在 处取得极大值 ，且 ． （2）若 ，当 变化时， 的正负如下表： 因此，函数 在 处取得极小值 ，且 ； 函数 在 处取得极大值 ，且 ． （Ⅲ）证明：由 ，得 ，当 时， ， ． 由（Ⅱ）知， 在 上是减函数，要使 ， 只要 即 　　　　　① 设 ，则函数 在 上的最大值为 ． 要使①式恒成立，必须 ，即 或 ．所以，在区间 上存在 ，使得 对任意的 恒成立． 33、解：（1） 又x1，x2是函数f（x）的两个极值点，则x1，x2是 的两根， （2）由题意， 3 2 0 n PAGE 1 _1234568182.unknown _1234568338.unknown _1234568355.unknown _1234568387.unknown 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