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高中数学知识点总结(最全版).doc

高中数学知识点总结(最全版)

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2012-07-27 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

简介:本文档为《高中数学知识点总结(最全版)doc》,可适用于高中教育领域

高中新课标理科数学(必修选修)所有知识点总结引言课程内容:必修课程由个模块组成:必修:集合、函数概念与基本初等函数(指、对、幂函数)必修:立体几何初步、平面解析几何初步。必修:算法初步、统计、概率。必修:基本初等函数(三角函数)、平面向量、三角恒等变换。必修:解三角形、数列、不等式。以上是每一个高中学生所必须学习的。上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用而不在技巧与难度上做过高的要求。此外基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。选修课程有个系列:系列:由个模块组成。选修:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。选修:统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图系列:由个模块组成。选修:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。选修:导数及其应用推理与证明、数系的扩充与复数选修:计数原理、随机变量及其分布列统计案例。系列:由个专题组成。选修:数学史选讲。选修:信息安全与密码。选修:球面上的几何。选修:对称与群。选修:欧拉公式与闭曲面分类。选修:三等分角与数域扩充。系列:由个专题组成。选修:几何证明选讲。选修:矩阵与变换。选修:数列与差分。选修:坐标系与参数方程。选修:不等式选讲。选修:初等数论初步。选修:优选法与试验设计初步。选修:统筹法与图论初步。选修:风险与决策。选修:开关电路与布尔代数。.重难点及考点:重点:函数数列三角函数平面向量圆锥曲线立体几何导数难点:函数、圆锥曲线高考相关考点:⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件⑵函数:映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用 ⑶数列:数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用⑷三角函数:有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用⑸平面向量:有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用⑹不等式:概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用⑺直线和圆的方程:直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系⑻圆锥曲线方程:椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用⑼直线、平面、简单几何体:空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量⑽排列、组合和概率:排列、组合应用题、二项式定理及其应用⑾概率与统计:概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布⑿导数:导数的概念、求导、导数的应用⒀复数:复数的概念与运算高中数学必修知识点第一章集合与函数概念〖〗集合【】集合的含义与表示()集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性()常用数集及其记法表示自然数集或表示正整数集表示整数集表示有理数集表示实数集()集合与元素间的关系对象与集合的关系是或者两者必居其一()集合的表示法①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合②列举法:把集合中的元素一一列举出来写在大括号内表示集合③描述法:{|具有的性质}其中为集合的代表元素④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合()集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集②含有无限个元素的集合叫做无限集③不含有任何元素的集合叫做空集()【】集合间的基本关系()子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集(或A中的任一元素都属于B()AA()()若且则()若且则或真子集AB(或BA)且B中至少有一元素不属于A()(A为非空子集)()若且则集合相等A中的任一元素都属于BB中的任一元素都属于A()AB()BA()已知集合有个元素则它有个子集它有个真子集它有个非空子集它有非空真子集【】集合的基本运算()交集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集且()()()并集或()()()补集【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法()含绝对值的不等式的解法不等式解集或把看成一个整体化成型不等式来求解()一元二次不等式的解法判别式二次函数的图象一元二次方程的根(其中无实根的解集或EMBEDEquationDSMT的解集〖〗函数及其表示【】函数的概念()函数的概念①设、是两个非空的数集如果按照某种对应法则对于集合中任何一个数在集合中都有唯一确定的数和它对应那么这样的对应(包括集合以及到的对应法则)叫做集合到的一个函数记作.②函数的三要素:定义域、值域和对应法则.③只有定义域相同且对应法则也相同的两个函数才是同一函数.()区间的概念及表示法①设是两个实数且满足的实数的集合叫做闭区间记做满足的实数的集合叫做开区间记做满足或的实数的集合叫做半开半闭区间分别记做满足的实数的集合分别记做.注意:对于集合与区间前者可以大于或等于而后者必须.()求函数的定义域时一般遵循以下原则:①是整式时定义域是全体实数.②是分式函数时定义域是使分母不为零的一切实数.③是偶次根式时定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.④对数函数的真数大于零当对数或指数函数的底数中含变量时底数须大于零且不等于.⑤中.⑥零(负)指数幂的底数不能为零.⑦若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集.⑧对于求复合函数定义域问题一般步骤是:若已知的定义域为其复合函数的定义域应由不等式解出.⑨对于含字母参数的函数求其定义域根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论.⑩由实际问题确定的函数其定义域除使函数有意义外还要符合问题的实际意义.()求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上如果在函数的值域中存在一个最小(大)数这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域其实质是相同的只是提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法:①观察法:对于比较简单的函数我们可以通过观察直接得到值域或最值.②配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值.③判别式法:若函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程则在时由于为实数故必须有从而确定函数的值域或最值.④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值.⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值.⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值.⑧函数的单调性法.【】函数的表示法()函数的表示方法表示函数的方法常用的有解析法、列表法、图象法三种.解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系.()映射的概念①设、是两个集合如果按照某种对应法则对于集合中任何一个元素在集合中都有唯一的元素和它对应那么这样的对应(包括集合以及到的对应法则)叫做集合到的映射记作.②给定一个集合到集合的映射且.如果元素和元素对应那么我们把元素叫做元素的象元素叫做元素的原象.〖〗函数的基本性质【】单调性与最大(小)值()函数的单调性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x、x,当x<x时都有f(x)<f(x)那么就说f(x)在这个区间上是增函数.()利用定义()利用已知函数的单调性()利用函数图象(在某个区间图象上升为增)()利用复合函数如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x、x当x<x时都有f(x)>f(x)那么就说f(x)在这个区间上是减函数.()利用定义()利用已知函数的单调性()利用函数图象(在某个区间图象下降为减)()利用复合函数②在公共定义域内两个增函数的和是增函数两个减函数的和是减函数增函数减去一个减函数为增函数减函数减去一个增函数为减函数.③对于复合函数令若为增为增则为增若为减为减则为增若为增为减则为减若为减为增则为减.()打“√”函数的图象与性质分别在、上为增函数分别在、上为减函数.()最大(小)值定义①一般地设函数的定义域为如果存在实数满足:()对于任意的都有()存在使得.那么我们称是函数的最大值记作.②一般地设函数的定义域为如果存在实数满足:()对于任意的都有()存在使得.那么我们称是函数的最小值记作.【】奇偶性()函数的奇偶性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)叫做奇函数.()利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称)()利用图象(图象关于原点对称)如果对于函数f(x)定义域内任意一个x都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数.()利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称)()利用图象(图象关于y轴对称)②若函数为奇函数且在处有定义则.③奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反.④在公共定义域内两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数.〖补充知识〗函数的图象()作图利用描点法作图:①确定函数的定义域②化解函数解析式③讨论函数的性质(奇偶性、单调性)④画出函数的图象.利用基本函数图象的变换作图:要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象.①平移变换EMBEDEquationDSMT②伸缩变换③对称变换()识图对于给定函数的图象要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性注意图象与函数解析式中参数的关系.()用图函数图象形象地显示了函数的性质为研究数量关系问题提供了“形”的直观性它是探求解题途径获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.第二章基本初等函数(Ⅰ)〖〗指数函数【】指数与指数幂的运算()根式的概念①如果且那么叫做的次方根.当是奇数时的次方根用符号表示当是偶数时正数的正的次方根用符号表示负的次方根用符号表示的次方根是负数没有次方根.②式子叫做根式这里叫做根指数叫做被开方数.当为奇数时为任意实数当为偶数时.③根式的性质:当为奇数时当为偶数时.()分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是:且.的正分数指数幂等于.②正数的负分数指数幂的意义是:且.的负分数指数幂没有意义.注意口诀:底数取倒数指数取相反数.()分数指数幂的运算性质①②③【】指数函数及其性质()指数函数函数名称指数函数定义函数且叫做指数函数图象定义域值域过定点图象过定点即当时.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内越大图象越高在第二象限内越大图象越低.〖〗对数函数【】对数与对数运算对数的定义①若则叫做以为底的对数记作其中叫做底数叫做真数.②负数和零没有对数.③对数式与指数式的互化:.()几个重要的对数恒等式.()常用对数与自然对数常用对数:即自然对数:即(其中…).()对数的运算性质如果那么①加法:②减法:③数乘:④⑤⑥换底公式:【】对数函数及其性质()对数函数函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象定义域值域过定点图象过定点即当时.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内越大图象越靠低在第四象限内越大图象越靠高.()反函数的概念设函数的定义域为值域为从式子中解出得式子.如果对于在中的任何一个值通过式子在中都有唯一确定的值和它对应那么式子表示是的函数函数叫做函数的反函数记作习惯上改写成.()反函数的求法①确定反函数的定义域即原函数的值域②从原函数式中反解出③将改写成并注明反函数的定义域.()反函数的性质①原函数与反函数的图象关于直线对称.②函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域.③若在原函数的图象上则在反函数的图象上.④一般地函数要有反函数则它必须为单调函数.〖〗幂函数()幂函数的定义一般地函数叫做幂函数其中为自变量是常数.()幂函数的图象()幂函数的性质①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限第四象限无图象.幂函数是偶函数时图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)是奇函数时图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)是非奇非偶函数时图象只分布在第一象限.②过定点:所有的幂函数在都有定义并且图象都通过点.③单调性:如果则幂函数的图象过原点并且在上为增函数.如果则幂函数的图象在上为减函数在第一象限内图象无限接近轴与轴.④奇偶性:当为奇数时幂函数为奇函数当为偶数时幂函数为偶函数.当(其中互质和)若为奇数为奇数时则是奇函数若为奇数为偶数时则是偶函数若为偶数为奇数时则是非奇非偶函数.⑤图象特征:幂函数当时若其图象在直线下方若其图象在直线上方当时若其图象在直线上方若其图象在直线下方.〖补充知识〗二次函数()二次函数解析式的三种形式①一般式:②顶点式:③两根式:()求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时宜用一般式.②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时常使用顶点式.③若已知抛物线与轴有两个交点且横线坐标已知时选用两根式求更方便.()二次函数图象的性质①二次函数的图象是一条抛物线对称轴方程为顶点坐标是.②当时抛物线开口向上函数在上递减在上递增当时当时抛物线开口向下函数在上递增在上递减当时.③二次函数当时图象与轴有两个交点.()一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容这部分知识在初中代数中虽有所涉及但尚不够系统和完整且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用下面结合二次函数图象的性质系统地来分析一元二次方程实根的分布.设一元二次方程的两实根为且.令从以下四个方面来分析此类问题:①开口方向:②对称轴位置:③判别式:④端点函数值符号.①k<x≤x②x≤x<k③x<k<xaf(k)<④k<x≤x<k⑤有且仅有一个根x(或x)满足k<x(或x)<kf(k)f(k)并同时考虑f(k)=或f(k)=这两种情况是否也符合⑥k<x<k≤p<x<p此结论可直接由⑤推出.()二次函数在闭区间上的最值设在区间上的最大值为最小值为令.(Ⅰ)当时(开口向上)①若则②若则③若则①若则②则(Ⅱ)当时(开口向下)①若则②若则③若则①若则②则.第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点、函数零点的概念:对于函数把使成立的实数叫做函数的零点。、函数零点的意义:函数的零点就是方程实数根亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即:方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.、函数零点的求法:求函数的零点:(代数法)求方程的实数根(几何法)对于不能用求根公式的方程可以将它与函数的图象联系起来并利用函数的性质找出零点.、二次函数的零点:二次函数.1)△>0方程有两不等实根二次函数的图象与轴有两个交点二次函数有两个零点.2)△=0方程有两相等实根(二重根)二次函数的图象与轴有一个交点二次函数有一个二重零点或二阶零点.3)△<0方程无实根二次函数的图象与轴无交点二次函数无零点.高中数学必修知识点第一章空间几何体柱、锥、台、球的结构特征()棱柱:定义:有两个面互相平行其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边都互相平行由这些面所围成的几何体。分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示:用各顶点字母如五棱柱或用对角线的端点字母如五棱柱几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形侧面、对角面都是平行四边形侧棱平行且相等平行于底面的截面是与底面全等的多边形。()棱锥定义:有一个面是多边形其余各面都是有一个公共顶点的三角形由这些面所围成的几何体分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示:用各顶点字母如五棱锥几何特征:侧面、对角面都是三角形平行于底面的截面与底面相似其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。()棱台:定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥截面和底面之间的部分分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示:用各顶点字母如五棱台几何特征:①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点()圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征:①底面是全等的圆②母线与轴平行③轴与底面圆的半径垂直④侧面展开图是一个矩形。()圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征:①底面是一个圆②母线交于圆锥的顶点③侧面展开图是一个扇形。()圆台:定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥截面和底面之间的部分几何特征:①上下底面是两个圆②侧面母线交于原圆锥的顶点③侧面展开图是一个弓形。()球体:定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴半圆面旋转一周形成的几何体几何特征:①球的截面是圆②球面上任意一点到球心的距离等于半径。空间几何体的三视图和直观图三视图:正视图:从前往后侧视图:从左往右俯视图:从上往下画三视图的原则:长对齐、高对齐、宽相等直观图:斜二测画法斜二测画法的步骤:()平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴()平行于y轴的线长度变半平行于xz轴的线长度不变()画法要写好。用斜二测画法画出长方体的步骤:()画轴()画底面()画侧棱()成图EMBEDPBrushEMBEDPBrush空间几何体的表面积与体积(一)空间几何体的表面积棱柱、棱锥的表面积:各个面面积之和圆柱的表面积圆锥的表面积圆台的表面积球的表面积(二)空间几何体的体积柱体的体积锥体的体积台体的体积球体的体积第二章直线与平面的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系平面含义:平面是无限延展的平面的画法及表示()平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形锐角画成且横边画成邻边的倍长(如图)()平面通常用希腊字母α、β、γ等表示如平面α、平面β等也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示如平面AC、平面ABCD等。三个公理:()公理:如果一条直线上的两点在一个平面内那么这条直线在此平面内符号表示为A∈LB∈L=>LαA∈αB∈α公理作用:判断直线是否在平面内()公理:过不在一条直线上的三点有且只有一个平面。符号表示为:A、B、C三点不共线=>有且只有一个平面α使A∈α、B∈α、C∈α。公理作用:确定一个平面的依据。()公理:如果两个不重合的平面有一个公共点那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为:P∈α∩β=>α∩β=L且P∈L公理作用:判定两个平面是否相交的依据空间中直线与直线之间的位置关系空间的两条直线有如下三种关系:相交直线:同一平面内有且只有一个公共点平行直线:同一平面内没有公共点异面直线:不同在任何一个平面内没有公共点。公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为:设a、b、c是三条直线a∥bc∥b强调:公理实质上是说平行具有传递性在平面、空间这个性质都适用。公理作用:判断空间两条直线平行的依据。等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行那么这两个角相等或互补注意点:①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定与O的选择无关为简便点O一般取在两直线中的一条上②两条异面直线所成的角θ∈()③当两条异面直线所成的角是直角时我们就说这两条异面直线互相垂直记作a⊥b④两条直线互相垂直有共面垂直与异面垂直两种情形⑤计算中通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系、直线与平面有三种位置关系:()直线在平面内有无数个公共点()直线与平面相交有且只有一个公共点()直线在平面平行没有公共点指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外可用aα来表示aαa∩α=Aa∥α直线、平面平行的判定及其性质直线与平面平行的判定、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行则该直线与此平面平行。简记为:线线平行则线面平行。符号表示:aαbβ=>a∥αa∥b平面与平面平行的判定、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行则这两个平面平行。符号表示:aβbβa∩b=Pβ∥αa∥αb∥α、判断两平面平行的方法有三种:()用定义()判定定理()垂直于同一条直线的两个平面平行。直线与平面、平面与平面平行的性质、定理:一条直线与一个平面平行则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为:线面平行则线线平行。符号表示:a∥αaβa∥bα∩β=b作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交那么它们的交线平行。符号表示:α∥βα∩γ=aa∥bβ∩γ=b作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行直线、平面垂直的判定及其性质直线与平面垂直的判定、定义如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直我们就说直线L与平面α互相垂直记作L⊥α直线L叫做平面α的垂线平面α叫做直线L的垂面。如图直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。Lpα、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直则该直线与此平面垂直。注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。平面与平面垂直的判定、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A梭lβB  α、二面角的记法:二面角αlβ或αABβ、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线则这两个平面垂直。直线与平面、平面与平面垂直的性质、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。性质定理:两个平面垂直则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。本章知识结构框图第三章直线与方程直线的倾斜角和斜率倾斜角和斜率、直线的倾斜角的概念:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角特别地,当直线l与x轴平行或重合时,规定α=°、倾斜角α的取值范围:°≤α<°当直线l与x轴垂直时,α=°、直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k=tanα⑴当直线l与x轴平行或重合时,α=°,k=tan°=⑵当直线l与x轴垂直时,α=°,k不存在由此可知,一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在、直线的斜率公式:给定两点P(x,y),P(x,y),x≠x,用两点的坐标来表示直线PP的斜率:斜率公式:k=yyxx两条直线的平行与垂直、两条直线都有斜率而且不重合如果它们平行那么它们的斜率相等反之如果它们的斜率相等那么它们平行即注意:上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的缺少这个前提结论并不成立.即如果k=k,那么一定有L∥L、两条直线都有斜率如果它们互相垂直那么它们的斜率互为负倒数反之如果它们的斜率互为负倒数那么它们互相垂直即直线的点斜式方程、直线的点斜式方程:直线经过点且斜率为、、直线的斜截式方程:已知直线的斜率为且与轴的交点为直线的两点式方程、直线的两点式方程:已知两点其中yyyy=xxxx、直线的截距式方程:已知直线与轴的交点为A与轴的交点为B其中直线的一般式方程、直线的一般式方程:关于的二元一次方程(AB不同时为)、各种直线方程之间的互化。直线的交点坐标与距离公式两直线的交点坐标、给出例题:两直线交点坐标L:xy=L:xy=解:解方程组得x=y=所以L与L的交点坐标为M()两点间距离两点间的距离公式点到直线的距离公式.点到直线距离公式:点到直线的距离为:、两平行线间的距离公式:已知两条平行线直线和的一般式方程为:EMBEDEquation则与的距离为圆与方程圆的标准方程、圆的标准方程:圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程、点与圆的关系的判断方法:()>点在圆外()=点在圆上()<点在圆内圆的一般方程、圆的一般方程:、圆的一般方程的特点:()①x和y的系数相同不等于. ②没有xy这样的二次项.()圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F因之只要求出这三个系数圆的方程就确定了.()、与圆的标准方程相比较它是一种特殊的二元二次方程代数特征明显圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小几何特征较明显。圆与圆的位置关系、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.设直线:圆:圆的半径为圆心到直线的距离为则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点:()当时直线与圆相离()当时直线与圆相切()当时直线与圆相交圆与圆的位置关系两圆的位置关系.设两圆的连心线长为则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点:()当时圆与圆相离()当时圆与圆外切()当EMBEDEquation时圆与圆相交()当时圆与圆内切()当时圆与圆内含直线与圆的方程的应用、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系、过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤:第一步:建立适当的平面直角坐标系用坐标和方程表示问题中的几何元素将平面几何问题转化为代数问题第二步:通过代数运算解决代数问题第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论.空间直角坐标系、点M对应着唯一确定的有序实数组、、分别是P、Q、R在、、轴上的坐标、有序实数组对应着空间直角坐标系中的一点、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组来表示该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标记M叫做点M的横坐标叫做点M的纵坐标叫做点M的竖坐标。空间两点间的距离公式、空间中任意一点到点之间的距离公式高中数学必修知识点第一章算法初步算法的概念、算法概念:在数学上现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤这些程序或步骤必须是明确和有效的而且能够在有限步之内完成算法的特点:()有限性:一个算法的步骤序列是有限的必须在有限操作之后停止不能是无限的()确定性:算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果而不应当是模棱两可()顺序性与正确性:算法从初始步骤开始分为若干明确的步骤每一个步骤只能有一个确定的后继步骤前一步是后一步的前提只有执行完前一步才能进行下一步并且每一步都准确无误才能完成问题()不唯一性:求解某一个问题的解法不一定是唯一的对于一个问题可以有不同的算法()普遍性:很多具体的问题都可以设计合理的算法去解决如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决程序框图、程序框图基本概念:(一)程序构图的概念:程序框图又称流程图是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。一个程序框图包括以下几部分:表示相应操作的程序框带箭头的流程线程序框外必要文字说明。(二)构成程序框的图形符号及其作用程序框名称功能起止框表示一个算法的起始和结束是任何流程图不可少的。输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息可用在算法中任何需要输入、输出的位置。处理框赋值、计算算法中处理数据需要的算式、公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内。判断框判断某一条件是否成立成立时在出口处标明“是”或“Y”不成立时标明“否”或“N”。学习这部分知识的时候要掌握各个图形的形状、作用及使用规则画程序框图的规则如下:、使用标准的图形符号。、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。、除判断框外大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。、判断框分两大类一类判断框“是”与“否”两分支的判断而且有且仅有两个结果另一类是多分支判断有几种不同的结果。、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。(三)、算法的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构。、顺序结构:顺序结构是最简单的算法结构语句与语句之间框与框之间是按从上到下的顺序进行的它是由若干个依次执行的处理步骤组成的它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来按顺序执行算法步骤。如在示意图中A框和B框是依次执行的只有在执行完A框指定的操作后才能接着执行B框所指定的操作。、条件结构:条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。条件P是否成立而选择执行A框或B框。无论P条件是否成立只能执行A框或B框之一不可能同时执行A框和B框也不可能A框、B框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。、循环结构:在一些算法中经常会出现从某处开始按照一定条件反复执行某一处理步骤的情况这就是循环结构反复执行的处理步骤为循环体显然循环结构中一定包含条件结构。循环结构又称重复结构循环结构可细分为两类:()、一类是当型循环结构如下左图所示它的功能是当给定的条件P成立时执行A框A框执行完毕后再判断条件P是否成立如果仍然成立再执行A框如此反复执行A框直到某一次条件P不成立为止此时不再执行A框离开循环结构。()、另一类是直到型循环结构如下右图所示它的功能是先执行然后判断给定的条件P是否成立如果P仍然不成立则继续执行A框直到某一次给定的条件P成立为止此时不再执行A框离开循环结构。当型循环结构直到型循环结构注意:循环结构要在某个条件下终止循环这就需要条件结构来判断。因此循环结构中一定包含条件结构但不允许“死循环”。在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。计数变量用于记录循环次数累加变量用于输出结果。计数变量和累加变量一般是同步执行的累加一次计数一次。输入、输出语句和赋值语句、输入语句()输入语句的一般格式()输入语句的作用是实现算法的输入信息功能()“提示内容”提示用户输入什么样的信息变量是指程序在运行时其值是可以变化的量()输入语句要求输入的值只能是具体的常数不能是函数、变量或表达式()提示内容与变量之间用分号“”隔开若输入多个变量变量与变量之间用逗号“”隔开。、输出语句()输出语句的一般格式()输出语句的作用是实现算法的输出结果功能()“提示内容”提示用户输入什么样的信息表达式是指程序要输出的数据()输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符。、赋值语句()赋值语句的一般格式()赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量()赋值语句中的“=”称作赋值号与数学中的等号的意义是不同的。赋值号的左右两边不能对换它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量()赋值语句左边只能是变量名字而不是表达式右边表达式可以是一个数据、常量或算式()对于一个变量可以多次赋值。注意:①赋值号左边只能是变量名字而不能是表达式。如:=X是错误的。②赋值号左右不能对换。如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的。③不能利用赋值语句进行代数式的演算。(如化简、因式分解、解方程等)④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。..条件语句、条件语句的一般格式有两种:()IFTHENELSE语句()IFTHEN语句。、IFTHENELSE语句IFTHENELSE语句的一般格式为图对应的程序框图为图。图图分析:在IFTHENELSE语句中“条件”表示判断的条件“语句”表示满足条件时执行的操作内容“语句”表示不满足条件时执行的操作内容ENDIF表示条件语句的结束。计算机在执行时首先对IF后的条件进行判断如果条件符合则执行THEN后面的语句若条件不符合则执行ELSE后面的语句。、IFTHEN语句IFTHEN语句的一般格式为图对应的程序框图为图。注意:“条件”表示判断的条件“语句”表示满足条件时执行的操作内容条件不满足时结束程序ENDIF表示条件语句的结束。计算机在执行时首先对IF后的条件进行判断如果条件符合就执行THEN后边的语句若条件不符合则直接结束该条件语句转而执行其它语句。..循环语句循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构一般程序设计语言中也有当型(WHILE型)和直到型(UNTIL型)两种语句结构。即WHILE语句和UNTIL语句。、WHILE语句()WHILE语句的一般格式是对应的程序框图是()当计算机遇到WHILE语句时先判断条件的真假如果条件符合就执行WHILE与WEND之间的循环体然后再检查上述条件如果条件仍符合再次执行循环体这个过程反复进行直到某一次条件不符合为止。这时计算机将不执行循环体直接跳到WEND语句后接着执行WEND之后的语句。因此当型循环有时也称为“前测试型”循环。、UNTIL语句()UNTIL语句的一般格式是对应的程序框图是()直到型循环又称为“后测试型”循环从UNTIL型循环结构分析计算机执行该语句时先执行一次循环体然后进行条件的判断如果条件不满足继续返回执行循环体然后再进行条件的判断这个过程反复进行直到某一次条件满足时不再执行循环体跳到LOOPUNTIL语句后执行其他语句是先执行循环体后进行条件判断的循环语句。分析:当型循环与直到型循环的区别:(先由学生讨论再归纳)当型循环先判断后执行直到型循环先执行后判断在WHILE语句中是当条件满足时执行循环体在UNTIL语句中是当条件不满足时执行循环例题:(见课本)((((((颜老师友情提醒:一定要看清题意看题目让你干什么有的只要写出算法有的只要求写出伪代码而有的题目则是既写出算法画出流程还要写出伪代码。在具体做题时可能好多的同学感觉先画流程图较为简单但也有的算法伪代码比较好写你也可以在草稿纸上按照你自己的思路先做出来然后根据题目要求作答。一般是先写算法后画流程图最后写伪代码。书写程序时一定要规范化使用统一的符号最好与教材一致由于是新教材的原因再加上各种版本可能同学会看到各种参考书上的书写格式不一样而且有时还会碰到我们没有见过的语言希望大家能以课本为依据不要被铺天盖地的资料所淹没!辗转相除法与更相减损术、辗转相除法。也叫欧几里德算法用辗转相除法求最大公约数的步骤如下:():用较大的数m除以较小的数n得到一个商和一个余数():若=则n为mn的最大公约数若≠则用除数n除以余数得到一个商和一个余数():若=则为mn的最大公约数若≠则用除数除以余数得到一个商和一个余数……依次计算直至=此时所得到的即为所求的最大公约数。、更相减损术我国早期也有求最大公约数问题的算法就是更相减损术。在《九章算术》中有更相减损术求最大公约数的步骤:可半者半之不可半者副置分母•子之数以少减多更相减损求其等也以等数约之。翻译为:():任意给出两个正数判断它们是否都是偶数。若是用约简若不是执行第二步。():以较大的数减去较小的数接着把较小的数与所得的差比较并以大数减小数。继续这个操作直到所得的数相等为止则这个数(等数)就是所求的最大公约数。例用更相减损术求与的最大公约数分析:(略)、辗转相除法与更相减损术的区别:()都是求最大公约数的方法计算上辗转相除法以除法为主更相减损术以减法为主计算次数上辗转相除法计算次数相对较少特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。()从结果体现形式来看辗转相除法体现结果是以相除余数为则得到而更相减损术则以减数与差相等而得到秦九韶算法与排序、秦九韶算法概念:f(x)=anxnanxn…axa求值问题f(x)=anxnanxn…axa=(anxnanxn…a)xa=((anxnanxn…a)xa)xa==((anxan)xan)xa)xa求多项式的值时首先计算最内层括号内依次多项式的值即v=anxan然后由内向外逐层计算一次多项式的值即v=vxanv=vxanvn=vnxa这样把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题。、两种排序方法:直接插入排序和冒泡排序、直接插入排序基本思想:插入排序的思想就是读一个排一个。将第1个数放入数组的第1个元素中以后读入的数与已存入数组的数进行比较确定它在从大到小的排列中应处的位置.将该位置以及以后的元素向后推移一个位置将读入的新数填入空出的位置中.(由于算法简单可以举例说明)、冒泡排序基本思想:依次比较相邻的两个数,把大的放前面,小的放后面即首先比较第个数和第个数,大数放前,小数放后然后比较第个数和第个数直到比较最后两个数第一趟结束,最小的一定沉到最后重复上过程,仍从第个数开始,到最后第个数由于在排序过程中总是大数往前,小数往后,相当气泡上升,所以叫冒泡排序进位制、概念:进位制是一种记数方式用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数基数为n即可称n进位制简称n进制。现在最常用的是十进制通常使用个阿拉伯数字进行记数。对于任何一个数我们可以用不同的进位制来表示。比如:十进数可以用二进制表示为也可以用八进制表示为、用十六进制表示为它们所代表

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