· 解
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
研究 · 中。7擞·7 (2011年第6期·高中版) 31
破解不等式恒成立问题的十大策略
438200 湖北省黄冈市浠水县实验高中 程贤清 景亚晓 徐小艳
含参不等式恒成立问题一直是每年高考和联赛的
热点问题，长盛不衰．由于这类问题常常在知识网络交
汇点处设置，渗透着函数与方程、化归与转化、分类与整
合、数形结合等重要数学思想，能有效
检测
工程第三方检测合同工程防雷检测合同植筋拉拔检测方案传感器技术课后答案检测机构通用要求培训
学生对数学
思想方法的领悟程度和综合、灵活运用知识的能力．因
此，各类考试往往将其作为考查学生
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
、解决问题能
力和创新意识的重要题型．本文结合典例探讨破解不等
式恒成立问题的化归策略及运用技巧，供参考．
1 分离参数策略
例1 (2010年全国高中数学联赛湖北省预赛高二
年级题7)对于一切 ∈[一2，÷]，不等式似 一X2+X+I≥0
恒成立，则实数口的取值范围为
— —
．
分析 将参数 口从不等式中分离出来，记 似 忆
+1≥0． ①
当x=0时，①恒成立，此时口∈R；
当 E[一2，0)时，①可变为口≤ ；
当 ∈(0，下1]时
，①可变为口≥ ： ．
ii2／(x)=X—~-．_iX一-1( ≠0)
，
则，，( )：—(2
—
x-
—
1)
—
x
—
3
- 3x
—
2(x
—
2
-
—
x
一
- 1)
： 一 ．
列
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
(一*，-1) -1 (-1，O) (O，3) 3 (3，+∞)
厂 ( ) O + + O
) 极小值 极大值
由表可知 E【-2，0)时 )面 -1)=-1；
E(0，13~j( ) ，( )：一10
．
故一l0≤Ⅱ≤一1．
点评 本题中若设f( )=似 一x2+ +1， ∈[一2，
÷]，因厂( ) 不易求出，会使解题受困．
同法可解2008年江苏卷 l4题
例 2 (2009年 山东 鬲考题 改 编)已知 函数 ( )=
÷似3+ 2+x+3，其中a>o Rf( )在区间(0，1]上单调递
增，试用口表示出b的取值范围．
分析 要使，( )在区间(0，1]上单调递增，只要使
f ( )= +2bx+1 I>0在(0，1]上恒成立即可．本题不易
直接求出 ( )=似 +2bx+l在(0，1]上的最值，n-7分离
参数后进而求解．由 E(0，1]可分离参数得 6≥一 2一
去，因此问题等价于当 ∈(0，1]时6≥(一芋一去)～．’
设 g( )=一旦2一
1
，
~ljg,c班一手去=毒 ( ．
令g ( )=0，得
： 或 X=-- 1隹(0
，1](舍去)． 4^
n {^口
㈩ 。，时，由 (o嘉)得 √口 、 ^，“，
g ( )>0；由 ∈ ， )得g ( )<0．所以g( )夸
(。嘉)上单调递增，在 ，t)单调递减
故g( )一=g皓)= ，因此6≥-√_．
(2)当 ≥1，即0<Ⅱ≤l时，g，( )≥o在区间(0，1]
4a
恒成立，所以g( )在区间(0，1]上单调递增，因此
)一=g(1)=一字，
故6≥一_ ．a+l
综上所述，当a>l时，6≥ ；
当0<口≤l时，6≥一
点评 分离参数策略就是通过等价变形，使参数和
主元分别位于不等式的两边．将其转化为不含参数一
32 十。7裁·7(2ol w年第6期·高中版) ·解题研究 ·
的函数最值问题求解．本题中当 1<1，即 n>1时，求
√n
(一等一 1)⋯也即求aN+去)rain，亦可用基本不等式直接
求解．
2 函数最值策略
例3 (2010年湖北省高考理科 2l题)已知函数
)=ax+ +c(n>0)的图象在点(1， 1))处的切线方
程为y=x-1．
(1)用 a表示出b，c；
(2)若Jr( )≥ln 在[1，+。o)上恒成立，求a的取值
范围；
(3)证明：l+÷寺+．．‘十 >In(肼1) (n≥1)．
分析 此处只重点分析(2)
(1)b=a-1，c=1-2a，
(2)由(1)知_厂( )=戳+ 二 +1—2a(n>O)，
令g( )= )一ln x=ax~ +1一孙一ln ， ∈[1，+∞)，
则 g(1)=0，
口 一手一÷=
口(x-J)(x_l-a)
(i)当0<口<÷时， a>l，若l < ，则g ( )
1，则g ( )>o，g( )
是增函数，所以g(x)>g(1)=0，即 )>ln ，故当 ≥1
时√．(茗)≥ln ．
综上所述，所求口的取值范围为[÷，+∞)．
(3)略
点评 本题为压轴题，从(2)起，对思维能力提出了
较高
要求
对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗
，重点考查了思维的灵活性．考生典型的失误
是对“分离参数”产生强定势，忽视了直接利用函数最值
这一策略来处理，从而招致繁琐的运算，导致无法求出
结果．虽然本题(2)用分离参数法也能解，但计算复杂，
技巧性强，且要用到高等数学中的“洛必达法则”，是高
中生力不能及的．
3 子集关系策略
年级题9)已知二次函数厂( )=ax +bx+c的图象经过点
(一2，0)，且不等式2x~~O恒成立，
所以 a>0，且 △=(6—2)-4ac<~0，
即(1-2)~-4a(2—4a)≤0，
所以口=÷，从而c=2—4a=1．
因此函数 )的解析式为 )= 似+1．
(2)由，(删) 号)得
÷( +t) +( “)+l< 1 I X)2+号+l，
整理得( +2t)( +弩 )<0．
当一2f<一学即t>2时，一2f< <一丁2t+8，此不等式对
一 切 ∈[-l，1]都成立的充要条件是[一1，1] (一2t，
一丁2t+8御I一- 2t<-1
。
,
，
此不等式组勰
当一2t：一2~--gseo I：2时，( +21) <0，矛盾．
当一2f>一 即l<2时，一丁2t+8< <一2I
，此不等式对
一 切 E[一1，1]都成立的充要条件是[一1，1]
(一_2t +8
，一 2t)
即 懈扣 {
· 解题研究 · 中·?歆·7 (2o]1年第6期·高中版) 33
综合可知，实数t的取值范围是(一 5，一下1 1．
例5 (2007年陕西高考题)已知 )=似 + +
在区间[0，1]上是增函数，在区问(一。。，0)，(1，+∞)上
是减函数，又f (÷)=÷．
(1)求 )的解析式；
(2)若在区间[0，m](m>0)上恒有f( )≤ 成立，
求 m的取值范围．
分析 如果转化为求 ) 在区间[0，m]上的最值，
则其过程非常复杂，考虑到不等式f(X)≤ 能够解出，我们
就可以利用其解集与区间[0，m]的子集关系来解．
(1 ( )=3ax +2 +c，由已知f (0)= (1)=0，
哐 。，叫
故， ( )=3似2—3似'．．．f ( )=孚一32a=寻，
．
。
． 口=-2'．．．，( )=-2x +3x ．
(2)令，( )≤ ，即一2x’+3x ≤0，
．
’
． (2x-1)(x-1)≥0，
解得0≤ ≤ 1或躬；1，
又 )≤ 在区间[0，m]上恒成立，
故[0，m] [0，÷]u[1，+∞)，解得0O)的解
集为 ，则当 ∈A时 )<0(或>0)恒成立甘A B，此
策略特别适用于解不等式 )<0(或>0)的解集容易求
出的不等式恒成立题型．
4 分类讨论策略
例6 (2010年全国高中数学联赛四川省初赛 15
题)已知函数 )= 。一眦 -x+1，其中m为实数
(1)求函数 )的单调区间；
(2)若对一切的实数 ，有f ( )≥I 一÷成立，其
中， ( )为 )的导函数．求实数 m的取值范围．
解 (1)因为f ( )=3x2-2~一1，△=4m +12>0，
所以， ( )=0有两个不等实根：
铲 3 ： 3 ，显然 。x 或 xO，即．厂( )单调递增；
综上所述，有，( )的单调递减区间为
r m 一、／／m。+3 m+~／／m +3 1
L 3 ’ 3 J；
单调递增区间为
( m-~
j
m2+3
)，( )．
(2)由条件有：3X2--2眦一1≥Ixl一÷，
①当x>0时，3X2--(2m+1) +÷≥0，
即3 + ~2m+l在 x>0时恒成立 ．
因为3 +丢≥2 ·石3=3，当 =÷时等号成立，
所以3~2m+l，即 m≤1．
( 兰；x<0时，3 l I +(2，n一1)I l+{。。≥0，即3 I I+
≥1—2m在 <0时 恒成立 ，因为 3 I l+ ≥
2√；I j· =3，当 =一÷时等号成立．
所以 3≥1—2m，即 m≥一1．
③当 =0时，m∈R
综上所述，实数m的取值范围是[一1，1]．
点评 在试题中，嵌入参数或添加绝对值，会立即
提高试题的思维层次和能力要求，处理这类问题，分类
讨论是重要策略．本题(2)解答时对 分类讨论、各个击
破，从而巧妙地化解了难点．此类问题是今后命题的一
个方向，值得关注．
5 数形结合策略
例7 若不等式 0)，它表示以
(2，0)为圆心，2为半径的上半圆；②表示经过定点(一2，
0)，以n为斜率的直线，要使厂( )≤g( )恒成立，只需①
所表示的半圆在②所表示的直线下方就可以了．当直线
与半圆相切时有 ：2，即。：±,下／g
，要使，( )≤
√1+ 。
匠
g(x)恒成立，则实数Ⅱ的取值范围是a≥
点评 本题通过对已知不等式变形处理后，挖掘出
不等式两边式子的几何意义，通过构造函数，运用数形
结合思想求参数的取值范围，不仅能使问题变得直观，
同时也达到了化繁为简的效果．这里的先变形，重新构
造两个新函数使其中之一为定函数，值得思考和回味．
6 逐步固定策略
例9 设函数，( )的定义域为R，若对于任意实数
m，总有厂(m+n)= m)· 17,)，且当x>0时，0 )<1．
若厂( )≤m 一2am+l对所有 ∈[0，+o。)，0∈[一1，1]时
恒成立，求实数m的取值范围．
分析 由题设可得，当 0)=1且x<0时 )>1，
)在 R上单调递减，所以当 ∈[0，+∞)时，f( )～=
，(0)=1．
要使f( )≤m 一2am+1对所有 ∈[0，+∞)，
口ft．[一1，1]恒成立，只要 m2_2am+l≥1，即m 一2am>10
在0E[一1，1]上恒成立．
令g(o)=一2ma+m2，此式为关于0的一次函数，它
在0∈[一1，1]上的最值必在闭区间的两个端点处取得，
所以m 一2am≥0在0∈[一1，1]上恒成立等价于
rg(一1)=2m+m ≥O；
【g(1)=-2m+m ≥0，
解得 m≤一2或 m=0或 m／>2．
故m的取值范围是mE(一∞，一2]u{0}U[2，+∞)．
点评 求解多元变量的不等式恒成立问题，通常可
利用逐步固定策略．本题涉及到的变量有 3个，可先固
定 m和n，解决以 为主元的不等式恒成立问题，进而求
解以m和口为变量的不等式恒成立问题．不等式 m 一
2am>~O有两个变量，再固定m，视不等式为以a为主元
的一次不等式．在一般情况下，函数 Y m， )遵循“已
知哪个变量的范围，就以哪个变量为主元，而将另一变
量暂时固定”的原则．
7 辅助函数策略
例10 (2009年辽宁高考题改编)已知函数 )=
' 1
2
一 +(n一1)In ，1<口<5，证明：对任意 l， 2∈(0，
，
分析 不妨设 。> >0，要证 型 >一1
，
只要证明厂( 1) 2)+ 。一 2>0，
且p 1)+ 1)：厂( 2)+ 2，
因此构造函数 g( )=，( )+ ，然后证明它在(0，
+o。)递增即可．
构造函数g( )=，( )帆= 1 一戗+(口一1)In卅 ，
)=卅 -(a_1)≥2 · -(口-1)
= 1一( 一1)‘
由1<口<5，得g ( )>O，即g( )在(0，+∞)上单调递
增加，
从而当 I> 2>0时，有g(x。)>g( 2)，
即 厂( 1)_： 2)+ l一 2>0，
故 f
—
(x,)-
—
f(x2)
>一1
同理，当0
一 1．
I— 2 2--X1
点评 本题根据不等式的结构特征构造一个新的
辅助函数g(x)=，( )+ 成为突破问题的关键，进而通
过求导确定所构函数的单调性．本题中没有导数迹象而
考查导数应用，对思维能力提出了较高要求．辅助函数
· 解题研究 · 中。?歆．7 (2011年第6期·高中版) 35
策略在高等数学中是很普遍的方法，新高考逐渐加大了
这方面的要求，需要引起我们的重视．
8 函数运算策略
例11 (2008年安徽高考题)设函数，( )
(x>O且 ≠1)．
(1)求函数，( )的单调区间；
(2)已知2 >z 对任意 ∈(0，1)成立，求实数 a的
取值范围．
分析 (1)厂 ( )=一 In x
ln
+
_ _
A
，
令， ( )=0，则 = 1
，
列表易求得 )的单调增区间为(0， )，单调减区间
为( ，1)和(1，+。o)．
(2)在 2 > 。两边取对数，得 ln 2>aln ．由于
∈(0，1)，所以 > ①，由(1)结果知，当 ∈(o，1)
时 ) _1)=一e，为使①式对任意 ∈(0，1)成立，
当且仅当i >一e，即。>一e1n 2为所求范围·
点评 试题的问题分为两问，作为铺垫，第一问常
规、简单；第二问思维坡度大，要求对知识的掌握层次更
高，技巧更强，其关键在于对不等式恒成立问题的研究中
赋予了新的手段——函数运算(对不等式两边函数取对
数)，从而，问(1)和(2)自然联系起来．考生的智力因素和
非智力因素在这里得以综合体现 在近几年的高考中，这
种考题频繁出现，譬如2005年全国I(理)22、2007年(理)
22、2008年湖南(理)21等等，值得我们注意．
9 变换主元策略
例12 对于满足0≤p≤4的所有实数P，求使不等
式 + >4 +p一3恒成立的 的取值范围．
分析 通常情况下 为
主变元，P为参数，这里我们
应该变P为主元，从而把不等
式转化为关于P的一次式形
式，利用一次函数或常数函数
性质求解．
原不等式即为( 一1)p+
x
2
- 4x+3>0，
设，(P)=(x-1)p+x 一4x+3
则jr(P)在[0，4]上恒大于0
故有 》{夏
解得 x>3或 <一1，
即 的取值范围是(一∞，一1)u(3，+o。)．
．
点评 一般地，已知某变量的范围，求另一变量的
范围，我们视前者为主元，后者为参数进行转化．利用此
法可顺利求解2008年安徽高考文科20题．
10 无限逼近策略
例 13 (2009年陕西高考题)已知函数f( )=
l 一
In(ax+1)+ ，婷=0，其中 a>O．
I十
(1)若 )在 =1处取得极值，求a的值；
(2)求，( )的单调区间；
(3)若，( )的最小值为1，求a的取值范围．
分析 (1)，(2)略
(3)，( )的最小值为 1等价于f(27)≥1恒成立，由
，( )≥1，得
e 一1≤似， ①
当x=O时，对一切口∈R，式①恒成立；
当 >0时，式①即口≥ ，／~-g( )= ，
l一 之 ． 惫
~lJg'(
1一 ≯ ，
<0，
即h( )在(0，+∞)上单调递减，
因此 h( )< (0)：0，g ( )<0，
即g( )在(0，+o。)上单调递减，
从而g(x)c>0，2a2+~+ —l0 25c2
的最小值．
题意转化此题求厂(a，6，c)=2a2+~+ 一
10~+25c ，a>b>c>O的最小值．
题型归类 此题属于多元函数求最值范畴．
解法选择解决此类问题大多采用“逐步减元法”(即
逐步变为一元函数问题)
解析过程
解 将式中c视为变量得
c)=2a2+~+丽1—10ac+25C2~a>6>c>o．
下求 (c)
(此时即转化为二次函数求最值问题，学生容易接
受并容易求出结果)
易得厂(c) 詈)=a2 且c：詈，即。>6 ．
下求 口，6)=口 + 1
，n>6> 的最小值 ．
(此时即将三元函数变为二元函数问题，有效的降
低了学生的思考量)
将式中b视为变量得
6)=n + 1
， >手，
易得厂(6) ：a2+ 且 6： 即n>0．
(此时即将二元函数变为一元函数问题 ，到此学生
可以水到渠成的得出最终结果)
口 + ≥4且0=√ 时取等．
说明 笔者认为此题若给学生讲解，此种方法较容
易让学生接受，符合由繁到简、由多到少、由难到易的解
题原则．并且整个思维过程流程得体．同时这种解决多
元函数最值问题的处理方法和分析问题有效步骤是值
得学生借鉴掌握的．
参考文献
1 张乃贵，张俊．对一道高考最值题的思考，2011，2
(收稿日期：20110302)
(上接第35页)
点评 本题(3)解答的精彩之处在于a≥g( )恒成
立等价转化为a≥limg( )．因g( )在 =0时无定义，这
，
里无法通过求其最大值得出a的取值范围，而运用无限
逼近策略，再利用导数定义求出g( )的上确界，可巧妙
化解这一难题．2006全国I卷理科 21、2007全国 I卷理
科 2O两题中的第二问恒成立问题均可应用分离参数，
无限逼近策略处理．
以上探讨总结的十种含参不等式恒成立问题的化
归求解策略，均是从某个侧面分析探讨了其运用技法．
实际上，这些策略不是孤立的，在具体解题实践中，对一
个问题尤其是综合性问题往往需要综合考虑，恰当选
择，灵活运用相关策略，方能拨开迷雾，突破障碍，走向
成功．
(收稿日期：201lo42O)
浙公网安备 33021202002483