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第22章 模糊数学模型.pdf

第22章 模糊数学模型.pdf

上传者: Gingerjin 2012-07-26 评分 0 0 0 0 0 0 暂无简介 简介 举报

简介:本文档为《第22章 模糊数学模型pdf》,可适用于工程科技领域,主题内容包含第二十二章模糊数学模型模糊数学的基本概念模糊数学简介年美国著名计算机与控制专家查德(LAZadeh)教授提出了模糊的概念并在国际期刊《Informa符等。

第二十二章模糊数学模型模糊数学的基本概念模糊数学简介年美国著名计算机与控制专家查德(LAZadeh)教授提出了模糊的概念并在国际期刊《InformationandControl》并发表了第一篇用数学方法研究模糊现象的论文“FuzzySets”(模糊集合)开创了模糊数学的新领域。模糊是指客观事物差异的中间过渡中的“不分明性”或“亦此亦彼性”。如高个子与矮个子、年轻人与老年人、热水与凉水、环境污染严重与不严重等。在决策中也有这种模糊的现象如选举一个好干部但怎样才算一个好干部?好干部与不好干部之间没有绝对分明和固定不变的界限。这些现象很难用经典的数学来描述。模糊数学就是用数学方法研究与处理模糊现象的数学。它作为一门崭新的学科它是继经典数学、统计数学之后发展起来的一个新的数学学科。经过短暂的沉默和争议之后迅猛的发展起来了而且应用越来越广泛。如今的模糊数学的应用已经遍及理、工、农、医及社会科学的各个领域充分的表现了它强大的生命力和渗透力。统计数学是将数学的应用范围从确定性的领域扩大到了不确定性的领域即从必然现象到偶然现象而模糊数学则是把数学的应用范围从确定领域扩大到了模糊领域即从精确现象到模糊现象。实际中我们处理现实的数学模型可以分成三大类:第一类是确定性数学模型即模型的背景具有确定性对象之间具有必然的关系。第二类是随机性的数学模型即模型的背景具有随机性和偶然性。第三类是模糊性模型即模型的背景及关系具有模糊性。基本概念模糊集和隶属函数定义论域X到,闭区间上的任意映射Aμ:,X)(xxAμ都确定X上的一个模糊集合AAμ叫做A的隶属函数)(xAμ叫做x对模糊集A的隶属度记为:}|))(,{(XxxxAA=μ使)(=xAμ的点x称为模糊集A的过渡点此点最具模糊性。显然模糊集合A完全由隶属函数Aμ来刻画当},{)(=xAμ时A退化为一个普通集。模糊集合的表示方法当论域X为有限集时记},,,{nxxxXL=则X上的模糊集A有下列三种常见的表示形式。i)zadeh表示法当论域X为有限集时记},,,{nxxxXL=则X上的模糊集A可以写成nnAAAniiAxxxxxxxiA)()()()(μμμμ===L注:“”和“”不是求和的意思只是概括集合诸元的记号“iiAxx)(μ”不是分数它表示点ix对模糊集A的隶属度是)(iAxμ。ii)序偶表示法))}(,(,)),(,()),(,{(nAnAAxxxxxxAμμμL=iii)向量表示法))(,),(),((nAAAxxxAμμμL=当论域X为无限集时X上的模糊集A可以写成=XxAxxA)(μ注:“”也不是表示积分的意思“iiAxx)(μ”也不是分数。例设论域)}(),(),(),(),(),({xxxxxxX=(单位:cm)表示人的身高X上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数)(xAμ可定义为)(=xxAμ用zadeh表示法xxxxxxA=用向量表示法),,,,,(=A例设论域,=XFuzzy集A表示“年老”B表示“年轻”Zadeh给出A、B的隶属度函数分别为<=)()(xxxxA=)()(xxxxB)(A即“岁”属于“年老”的程度为。又易知)(A)(B可认为“岁”是“较老的”。A=“年老”=)(xxB=“年轻”=)(xxx模糊集的运算常用取大“”和取小“”算子来定义Fuzzy集之间的运算。定义对于论域X上的模糊集AB其隶属函数分别为)(xAμ)(xBμ。i)若对任意Xx有)()(xxABμμ则称A包含B记为ABii)若BA且AB则称A与B相等记为BA=。定义对于论域X上的模糊集ABi)称Fuzzy集BACU=BADI=为A与B的并(union)和交(intersection)即)()()}(),(max{))((xBxAxBxAxBAC===U)()()}(),(min{)((xBxAxBxAxBAD===I他们相应的隶属度)(),(xxDCμμ被定义为)}(),(max{)(xxxBACμμμ=)}(),(min{)(xxxBADμμμ=ii)Fuzzy集CA为A的补集或余集(complement)其隶属度)()(xxAACμμ=例已知},,,,,,,,{=X=A=B则有BAU=BAI==CA。隶属函数的确定方法模糊数学的基本思想是隶属度的思想。应用模糊数学方法建立数学模型的关键是建立符合实际的隶属函数。如何确定一个模糊集的隶属函数至今还是尚未解决的问题。这里仅仅介绍几种常用的确定隶属函数的方法。()模糊统计方法模糊统计方法是一种客观方法主要是基于模糊统计试验的基础上根据隶属度的客观存在性来确定的。所谓的模糊统计试验包含以下四个要素:i)论域Xii)X中的一个固定元素xiii)X中一个随机变动的几何*A(普通集)iv)X中一个以*A作为弹性边界的模糊集A对*A的变动起着制约作用。其中*Ax或者*Ax致使x对A的关系是不确定的。假设做n次模糊统计试验则可计算出x对A的隶属频率=nAx的次数*实际上当n不断增大时隶属频率趋于稳定其频率的稳定值称为x对A的隶属度即)(xAμ=nAxn的次数*lim()指派方法指派方法是一种主观的方法它主要依据人们的实践经验来确定某些模糊集隶属函数的一种方法。如果模糊集定义在实数域R上则模糊集的隶属函数称为模糊分布。所谓指派方法就是根据问题的性质主观地选用某些形式地模糊分布再根据实际测量数据确定其中所包含地参数常用的模糊分布如表所示。实际中根据问题对研究对象的描述来选择适当的模糊分布:偏小型模糊分布一般适合于描述像“小少浅淡冷疏青年”等偏小的程度的模糊现象。偏大型模糊分布一般适合于描述像“大多深浓热密老年”等偏大的程度的模糊现象。中间型模糊分布一般适合于描述像“中适中不太多不太少不太深不太浓暖和中年”等处于中间状态的模糊现象。但是表给出的隶属函数都是近似的应用时需要对实际问题进行分析逐步修改进行完善最后得到近似程度更好的隶属函数。()其它方法在实际应用中用来确定模糊集的隶属函数的方法示多种多样的主要根据问题的实际意义来确定。譬如在经济管理、社会管理中可以借助于已有的“客观尺度”作为模糊集的隶属度。下面举例说明。如果设论域X表示机器设备在X上定义模糊集A=“设备完好”则可以用“设备完好率”作为A的隶属度。如果X表示产品在X上定义模糊集A=“质量稳定”则可以用产品的“正品率”作为A的隶属度。如果X表示家庭在X上定义模糊集A=“家庭贫困”则可以用“Engel系数=食品消费总消费”作为A的隶属度。另外对于有些模糊集而言直接给出隶属度有时是很困难的但可以利用所谓的“二元对比排序法”来确定即首先通过两两比较确定两个元素相应隶属度的大小排出顺序然后用数学方法加工处理得到所需的隶属函数。表常用的模糊分布类型偏小型中间型偏大型矩阵型>=axaxA,,μ><=bxaxbxaA或,,μ<=axaxA,,μ梯形型>=bxbxaabxbaxA,,,μ<=dxaxdxccdxdcxbbxaabaxA,,,,,μ><=bxbxaabaxaxA,,,μk次抛物型>=bxbxaabxbaxkA,,)(,μ<=dxaxdxccdxdcxbbxaabaxkkA,,,)(,,)(μ><=bxbxaabaxaxkA,,)(,μΓ型>=axeaxaxkA,,)(μ><=bxebxaaxeaxkaxkA,,,)()(μ<=axeaxaxkA,,)(μ正态型>=axaxaxA,exp,σμ=expσμaxA>=axaxaxA,exp,σμ柯西型>=axaxaxA,)(,βαμ),(>>βαβαμ)(axA=(βα,>为正偶数)>=axaxaxA,)(,βαμ),(>>βα模糊关系、模糊矩阵基本概念定义设论域UV乘积空间上},),{(VvUuvuVU=上的一个模糊子集R为从从集合U到集合V的模糊关系。如果模糊关系R的隶属函数为Rμ:VU,a),(yx),(yxRμ则称隶属度),(yxRμ为),(yx关于模糊关系R的相关程度。这是二元模糊关系的数学定义多元模糊关系也可以类似定义。设{}mxxxU,,,L={}nyyyV,,,L=R为从从U到V的模糊关系其隶属函数为),(yxRμ对任意的),(jiyxVU有,),(=ijjiRryxμnjmi,,,,,,,LL==记nmijrR=)(则R就是所谓的模糊矩阵。下面给出一般的定义。定义设矩阵nmijrR=)(且,ijrnjmi,,,,,,,LL==则R称为模糊矩阵。特别地如果},{ijrnjmi,,,,,,,LL==则称R为布尔(Bool)矩阵。当模糊方阵nnijrR=)(的对角线上的元素ijr都为时称R为模糊自反矩阵。当=m或者=n时相应地模糊矩阵为),,,(nrrrRL=或者TnrrrR),,,(L=则分别称为模糊行向量和模糊列向量。例设评定科研成果等级的指标集为),,,(xxxUL=x表示为科研成果发明或创造、革新的程度x表示安全性能x表示经济效益x表示推广前景x表示成熟性V表示定性评价的评语论域),,,(yyyyV=,,,yyyy分别表示很好、较好、一般、不好。通过专家评审打分按下表给出VU上每个有序对),(iiyx指定的隶属度。表有序对),(iiyx指定的隶属度Vy很好y较好y一般y不好xxxxx由此确定一个从U到V的模糊关系R这个模糊关系的隶属度函数是一个阶的矩阵记为=R则R为一个模糊关系矩阵。模糊矩阵的运算及其性质()模糊矩阵间的关系及并、交、余运算定义设nmijaA=)(nmijbB=)(njmi,,,,,,,LL==都是模糊矩阵定义i)相等:BA=ijijba=ii)包含:BAijijbaiii)并:nmijijbaBA=)(Uyuxiv)交:nmijijbaBA=)(Iv)余:nmijCaA=)(例设=A=B则=BAU=BAI=CA()模糊矩阵的合成定义设smikaA=)(nskjbB=)(称模糊矩阵nmijcBA=)(o为A与B的合成其中{}skbackjikij=)(max例设=A=B则=BAo=ABo两模糊矩阵合成的MATLAB函数如下:functionab=synt(a,b)m=size(a,)n=size(b,)fori=:mforj=:nab(i,j)=max(min(a(i,:)b(:,j)'))endend模糊方阵mmijaA=)(的幂定义为AAAo=AAAkko=()模糊矩阵的转置定义设nmijaA=)(njmi,,,,,,,LL==称mnTjiTaA=)(为A的转置矩阵其中ijTjiaa=。()模糊矩阵的λ截矩阵定义设nmijaA=)(对任意的,λi)令<=λλλijijijaaa,,)(则称nmijaA=)()(λλ为模糊矩阵A的λ截矩阵。ii)令>=λλλijijijaaa,,)(则称nmijaA=•)()(λλ为模糊矩阵A的λ强截矩阵。显然对于任意的,λ,λ截矩阵是布尔矩阵。例设=A则=A=A下面给出模糊矩阵的一个性质。性质设nmijaA=)(njmi,,,,,,,LL==是模糊自反矩阵(对角线上的元素ijr都为的模糊矩阵)I是n阶单位矩阵则RRI证:因为nmijaA=)(是模糊自反矩阵即有=iir所以RI又{}ijijiikjikrrrnkaa=)(max即有RR。模糊模式识别本节我们假定论域为UU上的模糊集的全体记为)(UF。模糊集的贴近度贴近度是对两个模糊集接近程度的一种度量。定义设)(,,UFCBA若映射,)()(:UFUFN满足条件:()),(),(ABNBAN=()),(=AAN),(=ΦUN这里Φ为空集()若CBA则),(),(),(CBNBANCAN则称),(BAN为模糊集A与B的贴近度。N称为)(UF上的贴近度函数。.海明贴近度若},,,{nuuuUL=则=ΔniiiuBuAnBAN|)()(|),(当U为实数域上的闭区间,ba时则有duuBuAabBANbaΔ|)()(|),(.欧几里得贴近度若},,,{nuuuUL=则))()((),(Δ=niiiuBuAnBAN当,baU=时则有))()((),(ΔbaduuBuAabBAN.黎曼贴近度若U为实数域被积函数为黎曼可积且广义积分收敛则ΔduuBuAduuBuABAN))()(())()((),(ΔduuBduuAduuBuABAN)()())()((),(例设,=U且<<=,,,)(xxxxxA<<=,,,)(xxxxxB见图。求黎曼贴近度),(BAN。图隶属函数图解不难求得)(xA和)(xB的交点坐标*=x于是<<=其它,,,)()(xxxxxBxA<<<=,,,,,)()(xxxxxxxBxA))()(())()((),(=duuBuAduuBuABAN计算的MATLAB程序:i)编写定义函数)()(xBxA的MATLAB函数functionf=jixiao(x)f=(x>=x<)*(x)(x>=x<)*(x)ii)编写定义函数)()(xBxA的MATLAB函数functionf=jida(x)f=(x>=x<)(x>=x<)*(x)(x>=x<)*(x)(x>=x<=)iii)利用MATLAB的积分命令quadl计算),(BANN=quadl(jixiao,,)quadl(jida,,)例设RU=(实数域)正态型隶属函数)(=σaxexA)(=σaxexB求当σσ时),(BAN(见图)图隶属函数图解当σσRx)()(xBxA根据黎曼贴近度有)()(),(σσ==dxxBdxxABAN)()()(),(σσσ==dxxBdxxAdxxABAN格贴近度定义设)(,UFBA称A))()((uBuABUu=为模糊集BA,的内积。内积的对偶运算为外积。定义设)(,UFBA称))()((uBuABAUu=为模糊集BA,的外积。如果在闭区间,上定义“余”运算:,ααα=c那么有性质性质ccABA=)(cBA(cccBAB=)。对)(UFA令)(uAaUu=)(uAaUu=a和a分别叫做模糊集A的峰值和谷值。对模糊集CBA,,不难得到如下性质。性质AbaBbaBA。性质AaA=aAA=性质AUFB()(aB=)aBAUFB=)()(性质ABAaB=bBA=性质AcABA性质ABABBC并且CBCA由性质发现给定模糊集A让模糊集B靠近A会使内积AB增大而外积BA减少。换句话说当AB较大且BA较少时A与B比较贴近。所以采用内积与外积相结合的“格贴近度”来刻画两个模糊集的贴近程度。引理设)(,UFBA令ABA(),(=cBAB)()则下列结论成立:()),(BA()),(),(ABBA=())(),(aaAA=()CBA),(),(),(CBBACA特别当=a=a时),(=AA。根据引理和贴近度的定义立即得到:定理设)(,UFBA则ABA(),(=cBAB)()是模糊集BA,的贴近度叫做BA,的格贴近度。记为ABAN(),(=cBAB)()例设论域R为实数域模糊集的隶属函数为)(=σaxexA)(=σaxexB求),(BAN。解法I(格贴近度法)对上述函数有若)()(xBxA则A)()())()((*xBxAxBxABRxRx===若)()(xAxB则A)()())()((*xAxBxBxABRxRx===可见内积AB是)(xA与)(xB相等时的值这时*xx=。故可令)()(xBxA=求*x即从=σσaxaxee求得σσσσ=aaxσσσσ=aax其中x不是最大值点故选*xx=。于是A)(==σσaaexAB而CA)))(())(((==xBxABRxC由格贴近度公式得),(=σσaaeBAN解法II(黎曼贴近度法)dxedxedxedxeBANxaxxaxxaxxax=****),(σσσσdxedxedxedxeBANaxaxxaxxax=**),(σσσσ其中*axa<<*σσσσ=aax(见解法I)。求解式中各积分非常麻烦这里就不解下去了。不过已经发现求解此题以选择格贴近度法最好。模糊模式识别原则模糊模式识别大致有两种方法一是直接方法按“最大隶属原则”归类主要应用于个体的识别另一是间接方法按“择近原则”归类一般应用于群体模型的识别。最大隶属原则设)(UFAi(ni,,,L=)对Uu若存在i使)}(,),(),(max{)(uAuAuAuAniL=则认为u相对地隶属于iA这是最大隶属原则。例考虑人的年龄问题分为年轻、中年、老年三类分别对应三个模糊集,,AAA。设论域,(=U且对,(x有<<<<=,,,,)(xxxxxxxA<<<<=,,,,)(xxxxxxxA<<<<<<<==,,,,,,,)()()(xxxxxxxxxxxxAxAxA某人岁根据上式)(=A)(=A)(=A则)}(),(),(max{)(==AAAA按最大隶属原则他应该是中年人。又如当=x时)(=A)(=A)(=A。可见岁的人应该是中年人。择近原则设)(,UFBAi(ni,,,L=)若存在i使)},(,),,(),,(max{),(BANBANBANBANniL=则认为B与iA最贴近即判定B与iA为一类。该原则称为择近原则。例现有五个等级的茶叶样品,,,,AAAAA待识别茶叶B。反映茶叶质量的因素有六项指标构成论域U其中)}(),(),(),(),(),({滋味香气汤色净度色泽条索xxxxxxU=设五个等级的样品对项指标的数值为:),,,,,(=A),,,,,(=A),,,,,(=A),,,,,(=A),,,,,(=A待识别茶叶的各项指标值为),,,,,(=B确定B的属类。解利用格贴近度公式计算可得,(BNI)=,(BNII)=,(BNIII)=,(BNIV)=,(BNV)=按择近原则可以将B定为一级茶叶(与A同属一类)。计算的MATLAB程序如下:a=b=fori=:x=a(i,:)bt(i)=min(max(min(x))min(max(x)))endt模糊聚类分析方法在工程技术和经济管理中常常需要对某些指标按照一定的标准(相似的程度或亲疏关系等)进行分类处理。例如根据生物的某些性态对其进行分类根据空气的性质对空气质量进行分类以及工业上对产品质量的分类、工程上对工程规模的分类、图像识别中对图形的分类、地质学中对土壤的分类、水资源中的水质分类等等。这些对客观事物按一定的标准进行分类的数学方法称为聚类分析它是多元统计“物以聚类”的一种分类方法。然而在科学技术、经济管理中有许多事物的类与类之间并无清晰的划分边界具有模糊性它们之间的关系更多的是模糊关系。对于这类事物的分类一般用模糊数学方法、我们把应用模糊数学方法进行的聚类分析称为模糊聚类分析。预备知识模糊等价矩阵定义设nnijrR=)(是n阶模糊方阵njmi,,,,,,,LL==I是n阶单位方阵若R满足自反性:)(=iirRI对称性:)(jiijTrrRR==传递性:RR{}))(max(ijkjikrnkaa则称R为模糊等价矩阵。定理设nnijrR=)(是n阶模糊等价方阵则,λλR是n阶等价布尔矩阵。定理设nnijrR=)(是n阶模糊等价矩阵则μλμR所决定的分类中的每一个类是λR所决定的分类中的某个子集。这就是说如果jixx,按μR分在一类则按λR)(μλ也必分在一类即μR所决定的分类中的每一个类是λR所决定的分类中的某个子集。定理表明:当μλ<时μR的分类是λR分类的加细当λ由变成时λR的分类由细变粗形成一个动态的聚类图称之为模糊分类。例设},,,,{xxxxxX==R容易验证R为模糊等价矩阵。当=λ时=R得到的分类是}{},{},{},{},{xxxxx当=λ时=R得到的分类是}{},{},{},,{xxxxx当=λ时=R得到的分类是},{},{},,{xxxxx当=λ时=R得到的分类是}{},,,,{xxxxx当=λ时=R得到的分类是},,,,{xxxxx。模糊相似矩阵定义设nnijrR=)(是n阶模糊方阵njmi,,,,,,,LL==I是n阶单位方阵若R满足自反性:)(=iirRI对称性:)(jiijTrrRR==则称R为模糊相似矩阵。定理设R为模糊相似矩阵则存在一个最小的自然数k)(nk使得kR为模糊等价矩阵且对一切大于k的自然数l恒有klRR=。证明从略。定义定理中的kR称为R的传递闭包矩阵记为)(Rt。由定理可以得到将n阶模糊相似矩阵R改造成n阶模糊等价矩阵的方法:从n阶模糊相似矩阵R出发依次求平方:LRRR直到iiiRRR=o(ninilog,)为止则iRRt)(=。例设=R容易验证R为模糊相似矩阵用平方法求其传递闭包)(Rt。RRR===ooRRR===oo故传递闭包==)(RRt容易验证传递闭包)(~Rt是模糊等价矩阵。模糊聚类分析法的基本步骤Step:数据标准化()获取数据设论域},,,{nxxxXL=为被分类的对象每个对象又由m个指标表示其性态即},,,{imiiixxxxL=),,,(niL=于是可以得到原始数据矩阵mnijxA=)(。()数据的标准化处理在实际问题中不同的数据可能有不同的性质和不同的量纲为了使原始数据能够适合模糊聚类的要求需要将原始数据矩阵A作标准化处理即通过适当的数据变换将其转化为模糊矩阵。常用的方法有以下两种:平移标准差变换jjijijsxxx='),,,,,,,(mjniLL==其中==niijjxnx)(==nijijjxxns),,,(mjL=平移极差变换如果经过平移标准差变换后还有某些,'ijx则还需对其进行平移极差变换即}{min}{max}{min''''''ijniijniijniijijxxxxx=),,,(mjL=显然所有的,''ijx且也不存在量纲因素的影响从而可以得到模糊矩阵mnijxR=)(''Step:建立模糊相似矩阵设论域},,,{nxxxXL=},,,{imiiixxxxL=),,,(niL=即数据矩阵mnijxA=)(。如果ix与jx的相似程度为),(jiijxxRr=则称之为相似系数。确定相似系数ijr有下列方法。()数量积法对于},,,{imiiixxxxL=令==mkikikjixxM)(max则取===mkjkikijjixxMjir,,显然,ijr若出现某些<ijr可令'=ijijrr则有'ijr,。也可以用平移极差变换将其压缩到,上可以得到模糊相似矩阵mnijrR=)(。()夹角余弦法====mkmkjkikmkjkikijxxxxr),,,,(njiL=()相关系数法====mkmkjjkiikmkjjkiikijxxxxxxxxr)()()()(),,,,(njiL=()指数相似系数法==mkkjkikijsxxmr,)(exp其中==niikkxnx==nkkikkxxns)(),,,(mkL=()最大最小值法===mkjkikmkjkikijxxxxr)()(),,,,,(njixijL=>()算术平均值法===mkjkikmkjkikijxxxxr)()(),,,,,(njixijL=>()几何平均值法===mkjkikmkjkikijxxxxr)(),,,,,(njixijL=>()绝对值倒数法===mkjkikijjixxMjir,)(,其中M为使得所有,ijr),,,,(njiL=的确定常数。()绝对值指

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