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第18章 变分法模型.pdf

第18章 变分法模型.pdf

上传者: Gingerjin 2012-07-26 评分 0 0 0 0 0 0 暂无简介 简介 举报

简介:本文档为《第18章 变分法模型pdf》,可适用于工程科技领域,主题内容包含第十八章动态优化模型动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题这类问题一般要归结为求最优控制函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的符等。

第十八章动态优化模型动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题这类问题一般要归结为求最优控制函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时问题又简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方法。变分法简介变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法有着广泛的应用。下面先介绍变分法的基本概念和基本结果然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值原理。变分法的基本概念泛函设S为一函数集合若对于每一个函数Stx)(有一个实数J与之对应则称J是对应在S上的泛函记作))((txJ。S称为J的容许函数集。通俗地说泛函就是“函数的函数”。例如对于xy平面上过定点),(yxA和),(yxB的每一条光滑曲线)(xy绕x轴旋转得一旋转体旋转体的侧面积是曲线)(xy的泛函))((xyJ。由微积分知识不难写出dxxyxyxyJxx)(')())((=π()容许函数集可表示为})(,)(,,)(|)({yxyyxyxxCxyxyS===()最简单的一类泛函表为=),,())((ttdtxxtFtxJ()被积函数F包含自变量t未知函数x及导数x。()式是最简泛函。泛函的极值泛函))((txJ在Stx)(取得极小值是指对于任意一个与)(tx接近的Stx)(都有))(())((txJtxJ。所谓接近可以用距离ε<))(),((txtxd来度量而距离定义为|})()(||,)()({|max))(),((txtxtxtxtxtxdttt=泛函的极大值可以类似地定义。)(tx称为泛函的极值函数或极值曲线。泛函的变分如同函数的微分是增量的线性主部一样泛函的变分是泛函增量的线性主部。作为泛函的自变量函数)(tx在)(tx的增量记为)()()(txtxtx=δ也称函数的变分。由它引起的泛函的增量记作))(())()((txJtxtxJJ=Δδ如果JΔ可以表为))(),(())(),((txtxrtxtxLJδδ=Δ其中L为xδ的线性项而r是xδ的高阶项则L称为泛函在)(tx的变分记作))((txJδ。用变动的)(tx代替)(tx就有))((txJδ。泛函变分的一个重要形式是它可以表为对参数α的导数:))()(())((==ααδαδtxtxJtxJ()这是因为当变分存在时增量)),(()),(())(())((xtxrxtxLtxJxtxJJαδαδαδ==Δ根据L和r的性质有)),(()),((xtxLxtxLδααδ=)),((lim)),((lim==xxxtxrxtxrδαδαδααδαα所以ααδαδααα)()(lim)(xJxxJxxJ==)(),(),(),(limxJxxLxxrxxLδδααδαδα===极值与变分利用变分的表达式()可以得到泛函极值与变分的关系:若))((txJ在)(tx达到极值(极大或极小)则))((=txJδ()这是因为对任意给定的xδ)(xxJαδ是变量α的函数该函数在=α处达到极值。根据函数极值的必要条件知)(==ααδαxxJ于是由()式直接得到()式。变分法的基本引理引理,)(xxCxϕ,)(xxCxη)()(==xxηη有)()(xxdxxxηϕ则,,)(xxxxϕ。无约束条件的泛函极值求泛函=fttdttxtxtFJ))(),(,(()的极值一般是用泛函极值的必要条件去寻找一条曲线)(tx使给定的二阶连续可微函数F沿该曲线的积分达到极值。常称这条曲线为极值曲线(或轨线)记为)(*tx。端点固定的情况设容许曲线)(tx满足边界条件)(xtx=ffxtx=)(()且二次可微。首先计算()式的变分:))()((==ααδαδtxtxJJ==fttdttxtxtxtxtF))()(),()(,(ααδαδα=fttxxdtxxxtFxxxtF),,(),,(δδ()对上式右端第二项做分布积分并利用)()(==ftxtxδδ有=ffttxttxxdtxxtFdtddtxxxtF),,(),,(δδ再代回到()式并利用泛函取极值的必要条件有==fttxxxdtFdtdFJδδ因为xδ的任意性及)()(==ftxtxδδ所以由基本引理得到著名的欧拉方程=xxFdtdF()它是这类最简泛函取极值的必要条件。()式又可记作=xFxFFFxxxxxtx()通常这是)(tx的二阶微分方程其通解的两个任意常数由()式中的两个端点条件确定。最简泛函的几种特殊情形(i)F不依赖于x即),(xtFF=这时xF欧拉方程为),(=xtFx这个方程以隐函数形式给出)(tx但它一般不满足边界条件因此变分问题无解。(ii)F不依赖x即),(xtFF=欧拉方程为),(=xtFdtdx将上式积分一次便得首次积分),(cxtFx=由此可求出),(ctxϕ=积分后得到可能的极值曲线族()dtctx=,ϕ(iii)F只依赖于x即)(xFF=这时,,===xxxtxFFF欧拉方程为=xxFx由此可设=x或=xxF如果=x则得到含有两个参数的直线族ctcx=。另外若=xxF有一个或几个实根时则除了上面的直线族外又得到含有一个参数c的直线族cktx=它包含于上面含有两个参数的直线族ctcx=中于是在)(xFF=情况下极值曲线必然是直线族。(iv)F只依赖于x和x即),(xxFF=这时有=xtF故欧拉方程为=xxxxxFxFxF此方程具有首次积分为cFxFx=事实上注意到F不依赖于t于是有)()(===xxxxxxxFdtdFxFdtdxFxxFxFFxFdtd。例(最速降线问题)最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰贝努里(JBernoulli)于年提出的。问题的提法是这样的:设A和B是铅直平面上不在同一铅直线上的两点在所有连结A和B的平面曲线中求一曲线当质点仅受重力作用且初速为零沿此曲线从A滑行至B时使所需时间最短。解将A点取为坐标原点x轴水平向右y轴垂直向下B点为),(yxB。根据能量守恒定律质点在曲线)(xy上任一点处的速度dtds满足(s为弧长)mgydtdsm=将dxxyds)('=代入上式得dxgyydt'=于是质点滑行时间应表为)(xy的泛函dxgyyxyJx='))((端点条件为)(,)(yxyy==最速降线满足欧拉方程因为yyyyF')',(=不含自变量x所以方程()可写作''''''=yFyFFyyyyy等价于)'('=yFyFdxd作一次积分得)'(cyy=令,'θctgy=则方程化为)cos(sin'θθ===ccycy又因θθθθθθdcctgdcydydx)cos(cossin'===积分之得)sin(ccx=θθ由边界条件)(=y可知=c故得==)cos()sin(θθθcycx这是摆线(圆滚线)的参数方程其中常数c可利用另一边界条件(yxy=)来确定。例最小旋转面问题dxxyxyxyJxx)(')())((=π})(,)(,,|{yxyyxyxxCyyS===解因'yyF=不包含x故有首次积分''''''cyyyyyyFyFy==化简得'ycy=令shty='代入上式chtctshcy==由于dtcshtshtdtcydydx'===积分之得ctcx=消去t就得到ccxchcy=。这是悬链线方程。最简泛函的推广最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。()含多个函数的泛函使泛函=)',,',,())(),((xxdxzzyyxFxzxyJ取极值且满足固定边界条件)(,)(,)(,)(zxzzxzyxyyxy====的极值曲线)(),(xzzxyy==必满足欧拉方程组==''zzyyFdxdFFdxdF(ii)含高阶导数的泛函使泛函=)",',,())((xxdxyyyxFxyJ取极值且满足固定边界条件)(yxy=,')(',')('yxyyxyyxy===)(的极值曲线)(xyy=必满足微分方程"'=yyyFdxdFdxdF(iii)含多元函数的泛函设Dyxcyxz),(,),(使泛函=DyxdxdyzzzyxFyxzJ),,,,()),((取极值且在区域D的边界线l上取已知值的极值函数),(yxzz=必满足方程=yxzzzFyFxF上式称为奥式方程。端点变动的情况(横截条件)设容许曲线)(tx在t固定在另一端点ftt=时不固定是沿着给定的曲线)(txψ=上变动。于是端点条件表示为==)()()(ttxxtxψ这里t是变动的不妨用参数形式表示为ffdtttα=寻找端点变动情况的必要条件可仿照前面端点固定情况进行推导即有),,(===αααδαδαδdtxxxxtFJffdtttfttttxttxxdtFxFxdtFdtdFfff===δδ)(()再对()式做如下分析:(i)对每一个固定的ft)(tx都满足欧拉方程即()式右端的第一项积分为零(ii)为考察()式的第二、第三项建立fdt与fttx=δ之间的关系因为)()()(ffffffdttdttxdttxαψααδα=对α求导并令=α得ffttffdttxdttxf)()(ψδ==即fffttdttxtxf)()(==ψδ()把()代入()并利用fdt的任意性得)(==fttxFxFψ()()式就是确定欧拉方程通解中另一常数的定解条件称为横截条件。横截条件有两种常见的特殊情况:(i)当)(txψ=是垂直横轴的直线时ft固定)(ftx自由并称)(ftx为自由端点。此时()式中=fdt及fttx=δ的任意性便得自由端点的横截条件==fttxF()(ii)当)(txψ=是平行横轴的直线时ft自由)(ftx固定并称)(ftx为平动端点。此时=ψ()式的横截条件变为==fttxFxF()注意横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。有约束条件的泛函极值在最优控制系统中常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题其典型形式是对动态系统))(),(,()(tutxtftx=()寻求最优性能指标(目标函数)=fttffdttutxtFtxttuJ))(),(,())(,())((ϕ()其中)(tu是控制策略)(tx是轨线t固定ft及)(ftx自由nRtx)(mRtu)((不受限充满mR空间)Ff,,ϕ连续可微。下面推导取得目标函数极值的最优控制策略)(*tu和最优轨线)(*tx的必要条件。采用拉格朗日乘子法化条件极值为无条件极值即考虑=fttTffdtxuxtftuxtFtxtuxJ)),,()((),,())(,(),,(λϕλ()的无条件极值首先定义()式和()式的哈密顿(Hamilton)函数为),,()(),,(),,,(uxtftuxtFuxtHTλλ=()将其代入()式得到泛函=fttTffdtxuxtHtxtuxJ),,,())(,(),,(λλϕλ()下面先对其求变分))()(,({fffftxtxdttJαδαϕαδ=})()(),,,(=αααδαδλλαδλλαδαδdtxxuuxxtHTdtttffffffttTTfttTftTftxTfxdtuxtHdtdttx===)()(),,,()()()()(λλϕϕδdtxxHHuHxTTTuTxTttf)()()()(δλδλδλδδλ)()(),,,()(ffftxTftttTftxtuxtFdtϕδϕ===fffttTttfTttTTuTxTdtxxtdtxHHuHx)()()()()()(λδδλδλδλδδλ注意到)(ftttxxfδδ=fffttdttxtxxf)()(==δδ因而fffttxTftttTftxuxtHdtJ===)()(),,,()(λϕδλϕδfttuTTxTdtHuxHHx)()()()()(δδλλδλ再令=Jδ由δλδδδ,,),(,uxtxdtff的任意性便得(i)**,λx必满足正则方程:状态方程),,(uxtfHx==λ协态方程xH=λ。(ii)哈密顿函数),,,(**λuxtH作为u的函数也必满足=uH并由此方程求得*u。(iii)求***,,uxλ时必利用边界条件)(xtx=(用于确定*x))()(ftxftϕλ=(用于确定*λ)fftttuxtH==),,,(λϕ(确定ft)最大(小)值原理如果受控系统),,(uxtfx=)(xtx=其控制策略)(tu的全体构成有界集U求Utu)(使性能指标=fttffdtuxtFtxttuJ),,())(,())((ϕ达到最大(小)值。最大(小)值原理:如果),,(uxtf))(,(fftxtϕ和),,(uxtF都是连续可微的那么最优控制策略)(*tu和相应的最优轨线)(*tx由下列的必要条件决定:(i)最优轨线)(*tx协态向量)(*tλ由下列的必要条件决定:),,(uxtfdtdx=Utu)(xHdtd=λ(ii)哈密顿函数),,()(),,(),,,(*****uxtftuxtFuxtHTλλ=作为)(tu的函数最优策略)(*tu必须使),,,(max),,,(*****λλuxtHuxtHUu=或使),,,(min),,,(*****λλuxtHuxtHUu=(最小值原理)(iii)满足相应的边界条件若两端点固定则正则方程的边界条件为)(xx=ffxtx=)(。若始端固定终端ft也固定而)(ftx自由则正则方程的边界条件为)(xx=))(,()()(fftxftxttfϕλ=。若始端固定终端)(,fftxt都自由则正则方程的边界条件为)(xx=))(,()()(fftxftxttfϕλ=))(,())(),(),(,(=fftfffftxtttutxtHfϕλ。生产设备的最大经济效益某工厂购买了一台新设备投入到生产中。一方面该设备随着运行时间的推移其磨损程度愈来愈大因此其转卖价将随着使用设备的时间增加而减小另一方面生产设备总是要进行日常保养花费一定的保养费保养可以减缓设备的磨损程度提高设备的转卖价。那么怎样确定最优保养费和设备转卖时间才能使这台设备的经济效益最大。问题分析与假设(i)设备的转卖价是时间t的函数记为)(tx。)(tx的大小与设备的磨损程度和保养费的多少密切相关。记初始转卖价)(xx=。(ii)设备随其运行时间的推移磨损程度越来越大。t时刻设备的磨损程度可以用t时刻转卖价的损失值来刻画常称其为磨损函数或废弃函数记为)(tm。(iii)保养设备可以减缓设备的磨损速度提高转卖价。如果)(tu是单位时间的保养费)(tg是t时刻的保养效益系数(每用一元保养费所增加的转卖价)那么单位时间的保养效益为)()(tutg。另外保养费不能过大(如单位时间保养费超过单位时间产值时保养失去了意义)只能在有界函数集中选取记有界函数集为W则Wtu)(。(iv)设单位时间的产值与转卖价的比值记为p则)(tpx表示在t时刻单位时间的产值即t时刻的生产率。(v)转卖价)(tx及单位时间的保养费)(tu都是时间t的连续可微函数。为了统一标准采用它们的贴现值。对于贴现值的计算例如转卖价)(tx的贴现值计算如果它的贴现因子为δ(经过单位时间的单位费用贴现)那么由==)()()(txtxdttdxδ解得)()(ttetx=δ令=t便得t时刻单位费用的贴现(称贴现系数)为teδ所以设备在t时刻转卖价)(tx的贴现为tetxδ)(。仿此计算)(tu的贴现为tetuδ)(单位时间产值的贴现为tetpxδ)(。(vi)欲确定的转卖时间ft和转卖价)(ftx都是自由的。模型构造根据以上的分析与假设可知:考察的对象是设备在生产中的磨损保养系统转卖价体现了磨损和保养的综合指标可以选作系统的状态变量在生产中设备磨损的不可控性强其微弱的可控性也是通过保养体现加之保养本身具有较强的可控性所以选单位时间的保养费)(tu作为控制策略。这样生产设备的最大经济效益模型可以构成为在设备磨损保养系统的(转卖价)状态方程==)()()()()(xxtutgtmdttdx()之下在满足Utu)(的函数集W中寻求最优控制策略)(*tu使系统的经济效益这一性能指标=fftttfdtetutpxetxtuJ)()()())((δδ()为最大其中)(,fftxt都是自由的。模型求解首先写出问题的哈密顿函数)()()()()(tmtgtmetutpxHt=λδ()再由协态方程及边界条件求出)(tλ即由====ffttxftxetpeHdttdδδϕλλ)()()(解得ttepeptfδδδδλ=)()(下面利用最大值原理求)(*tu。先将()式改变为)()()()(tuetgtmetpxHttδδλλ=显然H是对u的线性函数因此得到<>=)(,)(,)(*ttetgetgUtuδδλλ()或<>=)()(,)()(,)(*ttttttetgepepetgepepUtuffδδδδδδδδδδ()在上式中还需解决两个问题:一是Utu=)(*与)(*=tu的转换点st在什么位置即st等于多少?二是)(*tu是由U到还是由到U。转换点st应满足)()(=tttetgepepfδδδδδ即)()()(=tgeppfttδδδ()从而可解出st。因为)(tg是时间t的减函数所以()式的左端也是时间t的减函数也就是说)(*tu随时间应由U到。于是最优控制策略的具体表达式为<<=fsstttttUu,,*至于ft)(ftx的求法请见下面的例子。例在生产设备的最大经济效益的问题中设)(=x=U)(=tm=p=δ)()(ttg=试求ft)(ftx和)(*tu。解由()式可得求st的公式)()(fsttset=()当stt<时)(*==Utu状态方程为)(tdtdx=当stt>时)(*=tu状态方程为=dtdx于是stt>时有=ttttssdtdttdtdtdx)()(解得tttxs)()(=()由自由边界条件fftttHϕ==及ftfetδλ=)(得)()(ftttftxeeetpxfffδδδδ=于是)(==δptxf当ftt=时由()式有fstt)(=即)(=sftt()将()和()联立求解编写如下Matlab程序x,y=solve('(ts)^()=*exp(*(tstf))','tf=*(ts)^()')求得=st=ft于是最优控制策略(保养费)为<<=,,)(*tttu习题十八求自原点(,)到直线=yx的最速降线。求概率密度函数)(xϕ使得信息量=dxxxJ)(ln)(νϕϕ取最大值且满足等周条件)(=dxxϕ)(σϕ=dxxx(常数)。在生产设备或科学仪器中长期运行的零部件如滚珠、轴承、电器元件等会突然发生故障或损坏即使是及时更换也已经造成了一定的经济损失。如果在零部件运行一定时期后就对尚属正常的零件做预防性更换以避免一旦发生故障带来的损失从经济上看是否更为合算?如果合算做这种预防性更换的时间如何确定呢?

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