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第16章 差分方程模型.pdf

第16章 差分方程模型.pdf

上传者: Gingerjin 2012-07-26 评分 0 0 0 0 0 0 暂无简介 简介 举报

简介:本文档为《第16章 差分方程模型pdf》,可适用于工程科技领域,主题内容包含第十六章差分方程模型离散状态转移模型涉及的范围很广可以用到各种不同的数学工具。下面我们对差分方程作一简单的介绍下一章我们将介绍马氏链模型。差分方程差符等。

第十六章差分方程模型离散状态转移模型涉及的范围很广可以用到各种不同的数学工具。下面我们对差分方程作一简单的介绍下一章我们将介绍马氏链模型。差分方程差分方程简介规定t只取非负整数。记ty为变量y在t点的取值则称tttyyy=Δ为ty的一阶向前差分简称差分称tttttttyyyyyyy=ΔΔ=ΔΔ=Δ)(为ty的二阶差分。类似地可以定义ty的n阶差分tnyΔ。由tyt、及ty的差分给出的方程称为ty的差分方程其中含ty的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。差分方程也可以写成不显含差分的形式。例如二阶差分方程=ΔΔtttyyy也可改写成=tttyyy。满足一差分方程的序列ty称为差分方程的解。类似于微分方程情况若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时称此解为该差分方程的通解。若解中不含任意常数则称此解为满足某些初值条件的特解。称如下形式的差分方程)(tbyayayatntntn=L()为n阶常系数线性差分方程其中naaa,,,L是常数a。其对应的齐次方程为=tntntnyayayaL()容易证明若序列)(ty与)(ty均为()的解则)()(tttycycy=也是方程()的解其中,cc为任意常数。若)(ty是方程()的解)(ty是方程()的解则)()(tttyyy=也是方程()的解。方程()可用如下的代数方法求其通解:(I)先求解对应的特征方程=aaannLλλ()(II)根据特征根的不同情况求齐次方程()的通解。(i)若特征方程()有n个互不相同的实根nλλ,,L则齐次方程()的通解为tnntccλλL(ncc,,L为任意常数)(ii)若λ是特征方程()的k重根通解中对应于λ的项为tkktccλ)(L),,(kiciL=为任意常数。(iii)若特征方程()有单重复根iβαλ=通解中对应它们的项为tctcttϕρϕρsincos其中βαρ=为λ的模αβϕarctg=为λ的幅角。(iv)若iβαλ=是特征方程()的k重复根则通解对应于它们的项为ttccttcctkkktkkϕρϕρsin)(cos)(LL),,(kiciL=为任意常数。(III)求非齐次方程()的一个特解ty。若ty为方程()的通解则非齐次方程()的通解为ttyy。求非齐次方程()的特解一般要用到常数变易法计算较繁。对特殊形式的)(tb也可使用待定系数法。例如当)()(tpbtbkt=)(tpk为t的k次多项式时可以证明:若b不是特征根则非齐次方程()有形如)(tqbkt的特解)(tqk也是t的k次多项式若b是r重特征根则方程()有形如)(tqtbkrt的特解。进而可利用待定系数法求出)(tqk从而得到方程()的一个特解ty。例求解两阶差分方程tyytt=。解对应齐次方程的特征方程为=λ其特征根为i=,λ对应齐次方程的通解为tctcytsincosππ=原方程有形如bat的特解。代入原方程求得=a=b故原方程的通解为sincosttctcππ例在信道上传输仅用三个字母cba,,且长度为n的词规定有两个a连续出现的词不能传输试确定这个信道容许传输的词的个数。解令)(nh表示容许传输且长度为n的词的个数L,,=n通过简单计算可求得:)(=h)(=h。当n时若词的第一个字母是b或,c则词可按)(nh种方式完成若词的第一个字母是a则第二个字母是b或c该词剩下的部分可按)(nh种方式完成。于是得差分方程)()()(=nhnhnh),,(L=n其特征方程为=λλ特征根=λ=λ则通解为nnccnh)()()(=),,(L=n利用条件)(=h)(=h求得nnnh)()()(=),,(L=n在应用差分方程研究问题时我们常常需要讨论解的稳定性。对常系数非齐次线性差分方程()若不论其对应齐次方程的通解中任意常数ncc,,L如何取值在t时总有ty则称方程()的解是稳定的。根据通解的结构不难看出非齐次方程()稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于。常系数线性差分方程的Z变换解法常系数线性差分方程采用解析解法比较容易而且对其解的意义也容易理解但采用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐通常是采用Z变换将差分方程变换为代数方程去求解。设有离散序列)(kx),,,(L=k则)(kx的Z变换定义为===)()()(kkzkxkxZzX()其中z是复变量。显然上式右端的级数收敛域是某个圆的外部。)(zX的Z反变换记作)()(zXZkx=几个常用离散函数的Z变换(i)单位冲激函数)(kδ的Z变换=====)()(kkkkzzkkZδδ即单位冲激函数的Z变换为。(ii)单位阶跃函数)(kU的Z变换====)()(kkkkzzkUkUZ即)|(|)(>=zzzkUZ(iii)单边指数函数kakf=)(的Z变换(a为不等于的正常数)=>==)|(|kkkkazazzzaaZZ变换的性质(i)线性性质设)()(zFkfZ=)()(zFkfZ=则)()()()(zbFzaFkbfkafZ=其中ba,为常数。收敛域为)(zF和)(zF的公共区域。(ii)平移性设)()(zFkfZ=则)()()(fzFzkfZ=)()()(==NkkNzkfzFzNkfZ)()()(zfzFzkfZ=)()()(==NkkNzkfzFzNkfZ例求齐次差分方程)()()(=kxkxkx)(=x)(=x的解。解令)()(zXkxZ=对差分方程取Z变换得)()()(=zXzzXzzXz)(==zzzzzzzzX对上式取z反变换便得差分方程的解为kkkx)()()(=。蛛网模型问题提出在自由竞争的社会中很多领域会出现循环波动的现象。在经济领域中可以从自由集市上某种商品的价格变化看到如下现象:在某一时期商品的上市量大于需求引起价格下跌生产者觉得该商品无利可图转而经营其它商品一段时间之后随着产量的下降带来的供不应求又会导致价格上升又有很多生产商会进行该商品的生产随之而来的又会出现商品过剩价格下降。在没有外界干扰的情况下这种现象将会反复出现。如何从数学的角度来描述上述现象呢?模型假设(i)设k时段商品数量为kx其价格为ky。这里把时间离散化为时段一个时期相当于商品的一个生产周期。(ii)同一时段的商品的价格取决于该时段商品的数量把)(kkxfy=()称之为需求函数。出于对自由经济的理解商品的数量越多其价格就越低故可以假设:需求函数为一个单调下降函数。(iii)下一时段商品数量由上一个时段的商品的价格决定把)(kkygx=()称之为供应函数。由于价格越高可以导致产量越大故可假设供应函数是一个单调上升的函数。模型求解在同一个坐标系中做出需求函数与供应函数的图形设两条曲线相交于),(yxP则P为平衡点。因为此时)(ygx=)(xfy=若某个k有xxk=则可推出yyl=xxl=),,(L=kkl即商品的数量保持在x价格保持在y不妨设xx下面考虑kkyx,在图上的变化),,(L=k。如下图所示当x给定后价格y由f上的P点决定下一时段的数量x由g上的P点决定y又可由f上的P点决定。依此类推可得一系列的点),(yxP),(yxP),(yxP),(yxP图上的箭头表示求出kP的次序由图知:),(),(limyxPyxPkk=即市场经济将趋于稳定。并不是所有的需求函数和供应函数都趋于稳定若给定的f与g的图形如下图所示得出的L,,PP就不趋于P此时市场经济趋向不稳定。上两图中的折线L,,,PPPPPP形似蛛网故把这种模型称为蛛网模型。在进行市场经济分析中f取决于消费者对某种商品的需要程度及其消费水平g取决于生产者的生产、管理等能力。当已经知道需求函数和供应函数之后可以根据f和g的性质判断平衡点P的稳定性。利用结论:当||xx较小时P点的稳定性取决于f与g在P点的斜率即当|)('||)('|ygxf<()时P点稳定当|)('||)('|ygxf>()时P点不稳定。这一结论的直观解释是:需求曲线越平供应曲线越陡越有利于经济稳定。设|)('|xf=α|)('|yg=β在P点附近取f与g的线性近似由()()式得)(xxyykk=α())(yyxxkk=β()上两式中消去ky得)(xxxkkαβαβ=()()式对L,,=k均成立有)(xxxkkαβαβ=))(()()(xxxkkαβαβαβαβ=)()()()(xxxkkαβαβαβαβ=………………………………………………)()()()(xxxkkkαβαβαβαβ=)()()()(xxxkkkαβαβαβαβ=以上k个式子相加有)()()()()()(xxxxxkkkkkαβαβαβαβαβαβ==L()此为()式的解。若P是稳定点则应有:limxxkk=结合()式考虑P点稳定的条件是<αβ()即βα<同理P点不稳定的条件是>αβ()即βα>此时=limkkx。这与()()式是一致的。模型的修正在上面模型假设的第(iii)点中引进了供应函数并且知道g取决于管理者的生产、管理水平。如果生产者的管理水平更高一些他们在决定该商品生产数量kx时不仅考虑了前一时期的价格ky而且也考虑了价格ky。为了简化起见不妨设kx由)(kkyy决定则供应函数可写成=)(kkkyygx在P附近取线性近似则有)(yyyxxkkk=β()由()式有)(xxyykk=α)(xxyykk=α将上两式代入()式整理得)(xxxxkkkαβαβαβ=),,(L=k这是一个二阶线性差分方程其特征方程为=αβαβλλ经计算可得其特征根)(,αβαβαβλ=()结论:若方程的特征根均在单位圆内即||<λ||<λ则P为稳定点。当>αβ时()式有两个实根因)(αβαβαβαβλ<=则有||>λ故此时P不是稳定点。当<αβ时()式有两个共轭复根此时)(||,αβαβαβαβλ==要使P为稳定点只需<αβ与()式相比α与β的范围扩大了。这是由于经营者经营管理水平的提高带来的结果。商品销售量预测在利用差分方程建模研究实际问题时常常需要根据统计数据并用最小二乘法来拟合出差分方程的系数。其系统稳定性讨论要用到代数方程的求根。对问题的进一步研究又常需考虑到随机因素的影响从而用到相应的概率统计知识。例某商品前年的销售量见表。现希望根据前年的统计数据预测第年起该商品在各季度中的销售量。年份季度第一年第二年第三年第四年第五年从表中可以看出该商品在前年相同季节里的销售量呈增长趋势而在同一年中销售量先增后减第一季度的销售量最小而第三季度的销售量最大。预测该商品以后的销售情况根据本例中数据的特征可以用回归分析方法按季度建立四个经验公式分别用来预测以后各年同一季度的销售量。例如如认为第一季度的销售量大体按线性增长可设销售量batyt=)(由x=:',ones(,)y='z=xy求得)(==za)(==zb。根据)(=tyt预测第六年起第一季度的销售量为)(=y)(=y…。由于数据少用回归分析效果不一定好。如认为销售量并非逐年等量增长而是按前一年或前几年同期销售量的一定比例增长的则可建立相应的差分方程模型。仍以第一季度为例为简单起见不再引入上标以ty表示第t年第一季度的销售量建立形式如下的差分公式:ayaytt=或ayayayttt=等等。上述差分方程中的系数不一定能使所有统计数据吻合较为合理的办法是用最小二乘法求一组总体吻合较好的数据。以建立二阶差分方程ayayayttt=为例选取,,aaa使=)(ttttayayay最小。编写Matlab程序如下:y='y=y(:)x=y(:),y(:),ones(,)z=xy求得)(==za)(==za)(==za。即所求二阶差分方程为=tttyyy。虽然这一差分方程恰好使所有统计数据吻合但这只是一个巧合。根据这一方程可迭代求出以后各年第一季度销售量的预测值=y=y…等。上述为预测各年第一季度销售量而建立的二阶差分方程虽然其系数与前年第一季度的统计数据完全吻合但用于预测时预测值与事实不符。凭直觉第六年估计值明显偏高第七年销售量预测值甚至小于第六年。稍作分析不难看出如分别对每一季度建立一差分方程则根据统计数据拟合出的系数可能会相差甚大但对同一种商品这种差异应当是微小的故应根据统计数据建立一个共用于各个季度的差分方程。为此将季度编号为,,,L=t令ayaytt=或ayayayttt=等利用全体数据来拟合求拟合得最好的系数。以二阶差分方程为例为求,,aaa使得==)(),,(ttttayayayaaaQ最小编写Matlab程序如下:y='y=y(:)x=y(:),y(:),ones(,)z=xy求得)(==za)(==za)(==za故求得二阶差分方程=tttyyy)(t根据此式迭代可求得第六年和第七年第一季度销售量的预测值为=y=y还是较为可信的。遗传模型随着人类的进化人们为了揭示生命的奥妙越来越重视遗传学的研究特别是遗传特征的逐代传播引起人们更多的注意。无论是人还是动植物都会将本身的特征遗传给下一代这主要是因为后代继承了双亲的基因形成自己的基因对基因对将确定后代所表现的特征。下面我们来研究两种类型的遗传:常染色体遗传和x链遗传。根据亲体基因遗传给后代的方式建立模型利用这些模型可以逐代研究一个总体基因型的分布。常染色体遗传模型常染色体遗传中后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因形成自己的基因对基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基因A和a控制的那么就有三种基因对记为aaAaAA,,。例如金鱼草由两个遗传基因决定花的颜色基因型是AA的金鱼草开红花Aa型的开粉红色花而aa型的开白花。又如人类眼睛的颜色也是通过常染色体遗传控制的。基因型是AA或Aa的人眼睛为棕色基因型是aa的人眼睛为蓝色。这里因为AA和Aa都表示了同一外部特征我们认为基因A支配基因a也可以认为基因a对于A来说是隐性的。当一个亲体的基因型为Aa而另一个亲体的基因型是aa时那么后代可以从aa型中得到基因a从Aa型中或得到基因A或得到基因a。这样后代基因型为Aa或aa的可能性相等。下面给出双亲体基因型的所有可能的结合以及其后代形成每种基因型的概率如下表所示。父体母体的基因型AAAAAaAAaaAAAaAaaaAaaaaaAAAa后代基因型aa例农场的植物园中某种植物的基因型为AaAA,和aa。农场计划采用AA型的植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后这种植物的任一代的三种基因型分布如何?(a)假设令L,,,=n。(i)设nnba,和nc分别表示第n代植物中基因型为AaAA,和aa的植物占植物总数的百分率。令)(nx为第n代植物的基因型分布:Tnnnncbax=)(当=n时Tcbax)(=表示植物基因的初始分布(即培育开始时的分布)显然有=cba(ii)第n代的分布与第n代的分布之间的关系是通过上面的表格确定的。(b)建模根据假设(ii)先考虑第n代中的AA型。由于第n代的AA型与AA型结合后代全部是AA型第n代的Aa型与AA型结合后代是AA型的可能性为而第n代的aa型与AA型结合后代不可能是AA型。因此当L,,=n时=nnnncbaa即=nnnbaa()类似可推出=nnncbb()=nc()将()()()式相加得=nnnnnncbacba根据假设(i)有==cbacbannn对于()()()式我们采用矩阵形式简记为)()(=nnMxxL,,=n()其中=M由()式递推得)()()()(xMxMMxxnnnn====L()()式给出第n代基因型的分布与初始分布的关系。编写如下Matlab程序:symsnabcM=sym(',,,,,,')p,lamda=eig(M)x=p*lamda^n*p^()*abcx=simple(x)求得===nnnnnnnccbbcba()当n时n所以从()式得到nanb=nc即在极限的情况下培育的植物都是AA型。(c)模型的讨论若在上述问题中不选用基因AA型的植物与每一植物结合而是将具有相同基因型植物相结合那么后代具有三种基因型的概率如下表所示。父体母体的基因型AAAAAaAaaaaaAAAa后代基因型aa并且)()(xMxnn=其中=M编写如下Matlab程序:symsnabcM=sym(',,,,,,')p,lamda=eig(M)x=p*lamda^n*p^()*abcx=simple(x)求得===bccbbbaannnnnn()当n时baannbbccn。因此如果用基因型相同的植物培育后代在极限情况下后代仅具有基因AA和aa。常染色体隐性病模型现在世界上已经发现的遗传病有将近种。在一般情况下遗传病与特殊的种族、部落及群体有关。例如遗传病库利氏贫血症的患者以居住在地中海沿岸为多镰状网性贫血症一般流行在黑人中家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间。患者经常未到成年就痛苦地死去而他们的父母则是疾病的病源。假若我们能识别这些疾病的隐性患者并且规定两个隐性患者不能结合(因为两个隐性患者结合他们的后代就可能成为显性患者)那么未来的儿童虽然有可能是隐性患者但决不会出现显性特征不会受到疾病的折磨。现在我们考虑在控制结合的情况下如何确定后代中隐性患者的概率。(a)假设(i)常染色体遗传的正常基因记为A不正常基因记为a并以aaAaAA,,分别表示正常人隐性患者显性患者的基因型。(ii)设nnba,分别表示第n代中基因型为AaAA,的人占总人数的百分比记=nnnbax)(L,,=n(iii)为使每个儿童至少有一个正常的父亲或母亲因此隐性患者必须与正常人结合其后代的基因型概率由下表给出:父母的基因型AAAAAaAAAA后代基因型Aa(b)建模由假设(iii)从第n代到第n代基因型分布的变化取决于方程=nnnbaa=nnnbab所以)()(=nnMxxL,,=n其中=M如果初始分布)(x已知那么第n代基因型分布为)()(xMxnn=L,,=n。易知==bbbannnnL,,=n()当n时nanb隐性患者逐渐消失。从()式中可知=nnbb这说明每代隐性患者的概率是前一代隐性患者概率的。(c)模型讨论研究在随机结合的情况下隐性患者的变化是很有意思的但随机结合导致了非线性化问题超出了本章范围然而用其它技巧在随机结合的情况下可以把()式改写为=nnnbbb()下面给出数值的例子:某地区有的黑人是镰状网性贫血症隐性患者如果控制结合根据()式可知下一代(大约年)的隐性患者将减少到如果随机结合根据()式可以预言下一代人中有是隐性患者并且可计算出大约每出生个黑人孩子其中有一个是显性患者。X链遗传模型X链遗传是指雄性具有一个基因A或a雌性具有两个基因AA或Aa或aa。其遗传规律是雄性后代以相等概率得到母体两个基因中的一个雌性后代从父体中得到一个基因并从母体的两个基因中等可能地得到一个。下面研究与X链遗传有关的近亲繁殖过程。(a)假设(i)从一对雌雄结合开始在它们的后代中任选雌雄各一个成配偶然后在它们产生的后代中任选两个结成配偶。如此继续下去。(ii)父体与母体的基因型组成同胞对同胞对的形式有),(AAA),(AaA),(aaA),(AAa),(Aaa),(aaa六种。初始一对雌雄的同胞对是这六种类型中的任一种其后代的基因型如下表所示。父体母体的基因型),(AAA),(AaA),(aaA),(AAa),(Aaa),(aaaAaAAAa后代基因型aa(iii)在每一代中配偶的同胞对也是六种类型之一并有确定的概率。为计算这些概率设nnnnnnfedcba,,,,,分别是第n代中配偶的同胞对为),(AAA),(AaA),(aaA),(AAa),(Aaa),(aaa型的概率L,,=n。令Tnnnnnnnfedcbax=)(L,,=n(iv)如果第n代配偶的同胞对是),(AaA型那么它们的雄性后代将等可能地得到基因A和a它们的雌性后代的基因型将等可能地是AA或Aa。又由于第n代雌雄结合是随机的那么第n代配偶的同胞对将等可能地为四种类型),(AAA),(AaA),(AAa),(Aaa之一。对于其它类型的同胞对我们可以进行同样分析因此有)()(=nnMxxL,,=n()其中=M从()式中易得)()(xMxnn=L,,=n编写如下Matlab程序:symsnabcdefM=M=sym(M)p,lamda=eig(M)x=p*lamda^n*p^()*abcdefx=simple(x)由上述程序计算结果可以看出当n时)(fedcbedcbaxn因此在极限情况下所有同胞对或者是),(AAA型或者是),(aaa型。如果初始的父母体同胞对是),(AaA型即=b而=====fedca于是当n时Tnx)(即同胞对是),(AAA型的概率是是),(aaa型的概率是。习题十六(汉诺塔问题)n个大小不同的圆盘依其半径大小依次套在桩A上大的在下小的在上。现要将此n个盘移到空桩B或C上但要求一次只能移动一个盘且移动过程中始终保持大盘在下小盘在上。移动过程中桩A也可利用。设移动n个盘的次数为na试建立关于na的差分方程并求na的通项公式。设第一月初有雌雄各一的一对小兔。假定两月后长成成兔同时(即第三月)开始每月初产雌雄各一的一对小兔新增小兔也按此规律繁殖。设第n月末共有nF对兔子试建立关于nF的差分方程并求nF的通项公式。在常染色体遗传的问题中假设植物总是和基因型是Aa的植物结合。求在第n代中基因型为AaAA,和aa的植物的百分率并求当n趋于无穷大时基因型分布的极限。

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