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第06章 排队论.pdf

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上传者: Gingerjin 2012-07-26 评分 0 0 0 0 0 0 暂无简介 简介 举报

简介:本文档为《第06章 排队论pdf》,可适用于工程科技领域,主题内容包含第六章排队论模型排队论起源于年丹麦电话工程师AK.爱尔朗的工作他对电话通话拥挤问题进行了研究。年爱尔朗发表了他的著名的文章“自动电话交换中的概率理论符等。

第六章排队论模型排队论起源于年丹麦电话工程师AK.爱尔朗的工作他对电话通话拥挤问题进行了研究。年爱尔朗发表了他的著名的文章“自动电话交换中的概率理论的几个问题的解决”。排队论已广泛应用于解决军事、运输、维修、生产、服务、库存、医疗卫生、教育、水利灌溉之类的排队系统的问题显示了强大的生命力。排队是在日常生活中经常遇到的现象如顾客到商店购买物品、病人到医院看病常常要排队。此时要求服务的数量超过服务机构(服务台、服务员等)的容量。也就是说到达的顾客不能立即得到服务因而出现了排队现象。这种现象不仅在个人日常生活中出现电话局的占线问题车站、码头等交通枢纽的车船堵塞和疏导故障机器的停机待修水库的存贮调节等都是有形或无形的排队现象。由于顾客到达和服务时间的随机性。可以说排队现象几乎是不可避免的。排队论(QueuingTheory)也称随机服务系统理论就是为解决上述问题而发展的一门学科。它研究的内容有下列三部分:(i)性态问题即研究各种排队系统的概率规律性主要是研究队长分布、等待时间分布和忙期分布等包括了瞬态和稳态两种情形。(ii)最优化问题又分静态最优和动态最优前者指最优设计。后者指现有排队系统的最优运营。(iii)排队系统的统计推断即判断一个给定的排队系统符合于哪种模型以便根据排队理论进行分析研究。这里将介绍排队论的一些基本知识分析几个常见的排队模型。基本概念排队过程的一般表示下图是排队论的一般模型。图排队模型图中虚线所包含的部分为排队系统。各个顾客从顾客源出发随机地来到服务机构按一定的排队规则等待服务直到按一定的服务规则接受完服务后离开排队系统。凡要求服务的对象统称为顾客为顾客服务的人或物称为服务员由顾客和服务员组成服务系统。对于一个服务系统来说如果服务机构过小以致不能满足要求服务的众多顾客的需要那么就会产生拥挤现象而使服务质量降低。因此顾客总希望服务机构越大越好但是如果服务机构过大人力和物力方面的开支也就相应增加从而会造成浪费因此研究排队模型的目的就是要在顾客需要和服务机构的规模之间进行权衡决策使其达到合理的平衡。排队系统的组成和特征一般的排队过程都由输入过程、排队规则、服务过程三部分组成现分述如下:输入过程输入过程是指顾客到来时间的规律性可能有下列不同情况:(i)顾客的组成可能是有限的也可能是无限的。(ii)顾客到达的方式可能是一个个的也可能是成批的。(iii)顾客到达可以是相互独立的即以前的到达情况对以后的到达没有影响否则是相关的。(iv)输入过程可以是平稳的即相继到达的间隔时间分布及其数学期望、方差等数字特征都与时间无关否则是非平稳的。排队规则排队规则指到达排队系统的顾客按怎样的规则排队等待可分为损失制等待制和混合制三种。(i)损失制(消失制)。当顾客到达时所有的服务台均被占用顾客随即离去。(ii)等待制。当顾客到达时所有的服务台均被占用顾客就排队等待直到接受完服务才离去。例如出故障的机器排队等待维修就是这种情况。(iii)混合制。介于损失制和等待制之间的是混合制即既有等待又有损失。有队列长度有限和排队等待时间有限两种情况在限度以内就排队等待超过一定限度就离去。排队方式还分为单列、多列和循环队列。服务过程(i)服务机构。主要有以下几种类型:单服务台多服务台并联(每个服务台同时为不同顾客服务)多服务台串联(多服务台依次为同一顾客服务)混合型。(ii)服务规则。按为顾客服务的次序采用以下几种规则:先到先服务这是通常的情形。后到先服务如情报系统中最后到的情报信息往往最有价值因而常被优先处理。随机服务服务台从等待的顾客中随机地取其一进行服务而不管到达的先后。优先服务如医疗系统对病情严重的病人给予优先治疗。排队模型的符号表示排队模型用六个符号表示在符号之间用斜线隔开即CBAZYX。第一个符号X表示顾客到达流或顾客到达间隔时间的分布第二个符号Y表示服务时间的分布第三个符号Z表示服务台数目第四个符号A是系统容量限制第五个符号B是顾客源数目第六个符号C是服务规则如先到先服务FCFS后到先服务LCFS等。并约定如略去后三项即指FCFSZYX的情形。我们只讨论先到先服务FCFS的情形所以略去第六项。表示顾客到达间隔时间和服务时间的分布的约定符号为:M指数分布(M是Markov的字头因为指数分布具有无记忆性即Markov性)D确定型(Deterministic)kEk阶爱尔朗(Erlang)分布G一般(general)服务时间的分布GI一般相互独立(GeneralIndependent)的时间间隔的分布。例如MM表示相继到达间隔时间为指数分布、服务时间为指数分布、单服务台、等待制系统。cMD表示确定的到达时间、服务时间为指数分布、c个平行服务台(但顾客是一队)的模型。排队系统的运行指标为了研究排队系统运行的效率估计其服务质量确定系统的最优参数评价系统的结构是否合理并研究其改进的措施必须确定用以判断系统运行优劣的基本数量指标这些数量指标通常是:(i)平均队长:指系统内顾客数(包括正被服务的顾客与排队等待服务的顾客)的数学期望记作sL。(ii)平均排队长:指系统内等待服务的顾客数的数学期望记作qL。(iii)平均逗留时间:顾客在系统内逗留时间(包括排队等待的时间和接受服务的时间)的数学期望记作sW。(iv)平均等待时间:指一个顾客在排队系统中排队等待时间的数学期望记作qW。(v)平均忙期:指服务机构连续繁忙时间(顾客到达空闲服务机构起到服务机构再次空闲止的时间)长度的数学期望记为bT。还有由于顾客被拒绝而使企业受到损失的损失率以及以后经常遇到的服务强度等这些都是很重要的指标。计算这些指标的基础是表达系统状态的概率。所谓系统的状态即指系统中顾客数如果系统中有n个顾客就说系统的状态是n它的可能值是(i)队长没有限制时L,,,=n(ii)队长有限制最大数为N时Nn,,,L=(iii)损失制服务台个数是c时cn,,,L=。这些状态的概率一般是随时刻t而变化所以在时刻t、系统状态为n的概率用)(tPn表示。稳态时系统状态为n的概率用nP表示。输入过程与服务时间的分布排队系统中的事件流包括顾客到达流和服务时间流。由于顾客到达的间隔时间和服务时间不可能是负值因此它的分布是非负随机变量的分布。最常用的分布有泊松分布、确定型分布指数分布和爱尔朗分布。泊松流与指数分布设)(tN表示在时间区间),t内到达的顾客数(>t)令),(ttPn表示在时间区间))(,tttt>内有)(n个顾客到达的概率即),(})()({),(>==nttntNtNPttPn当),(ttPn合于下列三个条件时我们说顾客的到达形成泊松流。这三个条件是:o在不相重叠的时间区间内顾客到达数是相互独立的我们称这性质为无后效性。o对充分小的tΔ在时间区间),tttΔ内有一个顾客到达的概率与t无关而约与区间长tΔ成正比即)(),(tottttPΔΔ=Δλ()其中)(toΔ当Δt时是关于tΔ的高阶无穷小。>λ是常数它表示单位时间有一个顾客到达的概率称为概率强度。o对于充分小的tΔ在时间区间),tttΔ内有两个或两个以上顾客到达的概率极小以致可以忽略即=Δ=Δ)(),(nntotttP()在上述条件下我们研究顾客到达数n的概率分布。由条件o我们总可以取时间由算起并简记)(),(tPtPnn=。由条件o和o有)()()(tPtPttPΔ=Δ==Δ=ΔnkkknnntPtPttP,,),()()(L由条件o和o得)()(tottPΔΔ=Δλ因而有ttotPttPttPΔΔ=ΔΔ)()()()(λttotPtPttPttPnnnnΔΔ=ΔΔ)()()()()(λλ在以上两式中取tΔ趋于零的极限当假设所涉及的函数可导时得到以下微分方程组:)()(tPdttdPλ=L,,),()()(==ntPtPdttdPnnnλλ取初值)(=P),,()(L==nPn容易解出tetPλ=)(再令tnnetUtPλ=)()(可以得到)(tU及其它)(tUn所满足的微分方程组即,,,),()(L==ntUdttdUnnλ)(=tU)(=tUn由此容易解得L,,,!)()(==nenttPtnnλλ正如在概率论中所学过的我们说随机变量)}()()({sNtsNtN=服从泊松分布。它的数学期望和方差分别是ttNEλ=)(ttNλ=)(Var。当输入过程是泊松流时那么顾客相继到达的时间间隔T必服从指数分布。这是由于),{}{tPtTP=>内呼叫次数为零tetPλ==)(}那么以)(tF表示T的分布函数则有<==,,)(}{ttetFtTPtλ而分布密度函数为,)(>=tetftλλ对于泊松流,λ表示单位时间平均到达的顾客数,所以λ就表示相继顾客到达平均间隔时间而这正和ET的意义相符。对一顾客的服务时间也就是在忙期相继离开系统的两顾客的间隔时间有时也服从指数分布。这时设它的分布函数和密度函数分别是tetGμ=)(tetgμμ=)(我们得到μ=>ΔΔ<=Δ>ΔΔΔ}{}{lim}|{limtTtPttTtPttTttTPtt这表明在任何小的时间间隔),tttΔ内一个顾客被服务完了(离去)的概率是)(totΔΔμ。μ表示单位时间能被服务完成的顾客数称为平均服务率而μ表示一个顾客的平均服务时间。常用的几种概率分布及其产生常用的连续型概率分布我们只给出这些分布的参数、记号和通常的应用范围更详细的内容参看专门的概率论书籍。(i)均匀分布区间),(ba内的均匀分布记作),(baU。服从),(U分布的随机变量又称为随机数它是产生其它随机变量的基础。如若X为),(U分布则XabaY)(=服从),(baU。(ii)正态分布以μ为期望σ为方差的正态分布记作),(σμN。正态分布的应用十分广泛。正态分布还可以作为二项分布一定条件下的近似。(iii)指数分布指数分布是单参数λ的非对称分布记作)(Expλ概率密度函数为:<=,,)(ttetftλλ它的数学期望为λ方差为λ。指数分布是唯一具有无记忆性的连续型随机变量即有)()|(sXPtXstXP>=>>在排队论、可靠性分析中有广泛应用。(iv)Gamma分布Gamma分布是双参数βα,的非对称分布记作),(βαG期望是αβ。=α时蜕化为指数分布。n个相互独立、同分布(参数λ)的指数分布之和是Gamma分布(),λβα==n。Gamma分布可用于服务时间零件寿命等。Gamma分布又称爱尔朗分布。(v)Weibull分布Weibull分布是双参数βα,的非对称分布记作),(βαW。=α时蜕化为指数分布。作为设备、零件的寿命分布在可靠性分析中有着非常广泛的应用。(vi)Beta分布Beta分布是区间),(内的双参数、非均匀分布记作),(βαB。常用的离散型概率分布(i)离散均匀分布(ii)Bernoulli分布(两点分布)Bernoulli分布是,=x处取值的概率分别是p和p的两点分布记作)(Bernp。用于基本的离散模型。(iii)泊松(Poisson)分布泊松分布与指数分布有密切的关系。当顾客平均到达率为常数λ的到达间隔服从指数分布时单位时间内到达的顾客数K服从泊松分布即单位时间内到达k位顾客的概率为L,,,,!==kkePkkλλ记作)(Poissonλ。泊松分布在排队服务、产品检验、生物与医学统计、天文、物理等领域都有广泛应用。(iv)二项分布在独立进行的每次试验中某事件发生的概率为p则n次试验中该事件发生的次数K服从二项分布即发生k次的概率为nkppCPknkknk,,,,)(L==记作),(pnB。二项分布是n个独立的Bernoulli分布之和。它在产品检验、保险、生物和医学统计等领域有着广泛的应用。当kn,很大时),(pnB近似于正态分布))(,(pnpnpN当n很大、p很小且np约为常数λ时),(pnB近似于)(Poissonλ。生灭过程一类非常重要且广泛存在的排队系统是生灭过程排队系统。生灭过程是一类特殊的随机过程在生物学、物理学、运筹学中有广泛的应用。在排队论中如果)(tN表示时刻t系统中的顾客数则}),({ttN就构成了一个随机过程。如果用“生”表示顾客的到达“灭”表示顾客的离去则对许多排队过程来说}),({ttN就是一类特殊的随机过程-生灭过程。下面结合排队论的术语给出生灭过程的定义。定义设}),({ttN为一个随机过程。若)(tN的概率分布具有以下性质:()假设ntN=)(则从时刻t起到下一个顾客到达时刻止的时间服从参数为nλ的负指数分布L,,,=n。()假设ntN=)(则从时刻t起到下一个顾客离去时刻止的时间服从参数为nμ的负指数分别L,,,=n。()同一时刻只有一个顾客到达或离去。则称}),({ttN为一个生灭过程。一般来说得到)(tN的分布})({)(ntNPtpn==(L,,,=n)是比较困难的因此通常是求当系统到达平衡后的状态分布记为L,,,,=npn。为求平稳分布考虑系统可能处的任一状态n。假设记录了一段时间内系统进入状态n和离开状态n的次数则因为“进入”和“离开”是交替发生的所以这两个数要么相等要么相差为。但就这两种事件的平均发生率来说可以认为是相等的。即当系统运行相当时间而到达平衡状态后对任一状态n来说单位时间内进入该状态的平均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应该相等这就是系统在统计平衡下的“流入=流出”原理。根据这一原理可得到任一状态下的平衡方程如下:MMMMnnnnnnnpppppppppppn)()()(μλμλμλμλμλμλλμ====()由上述平衡方程可求得:ppμλ=:)(ppppppμμλλμλλμμμλ===:)(ppppppμμμλλλμλλμμμλ===MMn:)(ppppppnnnnnnnnnnnnnnnnμμμλλλμλλμμμλLL===MM记μμμλλλLL=nnnnnCL,,=n()则平稳状态的分布为pCpnn=L,,=n()由概率分布的要求==nnp有==pCnn于是==nnCp()注意:()只有当级数=nnC收敛时才有意义即当<=nnC时才能由上述公式得到平稳状态的概率分布。sMM等待制排队模型单服务台模型单服务台等待制模型MM是指:顾客的相继到达时间服从参数为λ的负指数分布服务台个数为服务时间V服从参数为μ的负指数分布系统空间无限允许无限排队这是一类最简单的排队系统。队长的分布记}{nNPpn==(L,,,=n)为系统达到平衡状态后队长N的概率分布则由式()~()并注意到L,,,,==nnλλ和L,,,,==nnμμ。记μλρ=并设<ρ(否则队列将排至无限远)则nnC=μλL,,=n故ppnnρ=L,,=n其中ρρρρ======nnnnp()因此nnpρρ)(=L,,=n()公式()和()给出了在平衡条件下系统中顾客数为n的概率。由式()不难看出ρ是系统中至少有一个顾客的概率也就是服务台处于忙的状态的概率因而也称ρ为服务强度它反映了系统繁忙的程度。此外()式只有在<=μλρ的条件下才能得到即要求顾客的平均到达率小于系统的平均服务率才能使系统达到统计平衡。几个主要数量指标对单服务台等待制排队系统由已得到的平稳状态下队长的分布可以得到平均队长λμλρρρρρρρρρρρρρ========)()()(LLLnnnnsnnpL()平均排队长qL为)()()(λμμλρ=====LpLpnLnnq()关于顾客在系统中的逗留时间T可说明它服从参数为λμ的复指数分布即tetTP)(}{λμ=>t因此平均逗留时间λμ=sW()因为顾客在系统中的逗留时间为等待时间qT和接受服务时间V之和即VTTq=故由μ)()()(===qqsWVETETEW()可得平均等待时间qW为)(λμμλμ==sqWW()从式()和式()可发现平均队长sL与平均逗留时间sW具有关系ssWLλ=()同样从式()和式()可发现平均排队长qL与平均等待时间qW具有关系qqWLλ=()式()和式()通常称为Little公式是排队论中一个非常重要的公式。忙期和闲期在平衡状态下忙期B和闲期I一般均为随机变量求它们的分布是比较麻烦的。因此我们来求一下平均忙期B和平均闲期I。由于忙期和闲期出现的概率分别为ρ和ρ所以在一段时间内可以认为忙期和闲期的总长度之比为)(:ρρ。又因为忙期和闲期是交替出现的所以在充分长的时间里它们出现的平均次数应是相同的。于是忙期的平均长度B和闲期的平均长度I之比也应是)(:ρρ即ρρ=IB()又因为在到达为Poisson流时根据负指数分布的无记忆性和到达与服务相互独立的假设容易证明从系统空闲时刻起到下一个顾客到达时刻止(即闲期)的时间间隔仍服从参数为λ的负指数分布且与到达时间间隔相互独立。因此平均闲期应为λ这样便求得平均忙期为λμλρρ==B()与式()比较发现平均逗留时间(sW)=平均忙期(B)。这一结果直观看上去是显然的顾客在系统中逗留的时间越长服务员连续繁忙的时间也就越长。因此一个顾客在系统内的平均逗留时间应等于服务员平均连续忙的时间。与排队论模型有关的LINGO函数()peb(load,S)该函数的返回值是当到达负荷为load服务系统中有S个服务台且允许排队时系统繁忙的概率也就是顾客等待的概率。()pel(load,S)该函数的返回值是当到达负荷为load服务系统中有S个服务台且不允许排队时系统损失概率也就是顾客得不到服务离开的概率。()pfs(load,S,K)该函数的返回值是当到达负荷为load顾客数为K平行服务台数量为S时有限源的Poisson服务系统等待或返修顾客数的期望值。例某修理店只有一个修理工来修理的顾客到达过程为Poisson流平均人h修理时间服从负指数分布平均需要min。试求:()修理店空闲的概率()店内恰有个顾客的概率()店内至少有个顾客的概率()在店内的平均顾客数()每位顾客在店内的平均逗留时间()等待服务的平均顾客数()每位顾客平均等待服务时间()顾客在店内等待时间超过min的概率。解本例可看成一个MM排队问题其中=λ==μ==μλρ()修理店空闲的概率===ρp()店内恰有个顾客的概率)()(===ρρp()店内至少有个顾客的概率}{===ρpNP()在店内的平均顾客数==ρρsL(人)()每位顾客在店内的平均逗留时间(min))h(===λssLW()等待服务的平均顾客数====ρρρsqLL(人)()每位顾客平均等待服务时间(min))h(===λqqLW()顾客在店内逗留时间超过min的概率}{)(===>eeTP编写LINGO程序如下:model:s=lamda=mu=rho=lamdamuPwait=peb(rho,s)p=PwaitPtgt=exp()end多服务台模型(sMM)设顾客单个到达相继到达时间间隔服从参数为λ的负指数分布系统中共有s个服务台每个服务台的服务时间相互独立且服从参数为μ的负指数分布。当顾客到达时若有空闲的服务台则马上接受服务否则便排成一个队列等待等待时间为无限。下面来讨论这个排队系统的平稳分布。记}{nNPpn==(L,,,=n)为系统达到平稳状态后队长N的概率分布注意到对个数为s的多服务台系统有λλ=nL,,,=n和===LL,,,,,,,ssnssnnnμμμ记μλρρsss==则当<sρ时由式()式()和式()有===snsssssnnCsnnnsnn,!)(!)(,,,,!)(μλμλμλμλL()故==snpsssnpnpsnnnn,!,,,,!ρρL()其中)(!!==snssnsnpρρρ()公式()和式()给出了在平衡条件下系统中顾客数为n的概率当sn时即系统中顾客数大于或等于服务台个数这时再来的顾客必须等待因此记)(!),(pspscsssnnρρρ===()式()称为Erlang等待公式它给出了顾客到达系统时需要等待的概率。对多服务台等待制排队系统由已得到的平稳分布可得平均排队长qL为:====snsnsssnnqsnsppsnLρρ)(!)()(!!sssnnsssspddspρρρρρρ===()或ssqscLρρρ=),(()记系统中正在接受服务的顾客的平均数为s显然s也是正在忙的服务台的平均数故)(!!psspnnpsnpssssnnsnnsnnρρρ=====ρρρρρ===)()!()!(sssnnsnp()式()说明平均在忙的服务台个数不依赖于服务台个数s这是一个有趣的结果。由式()可得到平均队长sL为=sL平均排队长正在接受服务的顾客的平均数ρ=qL()对多服务台系统Little公式依然成立即有λssLW=μλ==sqqWLW()例某售票处有个窗口顾客的到达为Poisson流平均到达率为min人=λ服务(售票)时间服从负指数分布平均服务率min人=μ。现设顾客到达后排成一个队列依次向空闲的窗口购票这一排队系统可看成是一个sMM系统其中=s==μλρ<==μλρss由多服务台等待制系统的有关公式可得到()整个售票处空闲的概率)(!)(!)(!)(!)(==p()平均排队长)(!)(==qL(人)平均队长===ρqLL(人)()平均等待时间===λqqLW(min)平均逗留时间===λssLW(min)()顾客到达时必须排队等待的概率)(!)(),(==c在本例中如果顾客的排队方式变为到达售票处后可到任一窗口前排队且入队后不再换队即可形成个队列。这时原来的MM系统实际上变成了由个MM子系统组成的排队系统且每个系统的平均到达率为====λλλ(人min)下表给出了MM和个MM的比较不难看出一个MM系统比由个MM系统组成的排队系统具有显著的优越性。即在服务台个数和服务率都不变的条件下单队排队方式比多队排队方式要优越这是在对排队系统进行设计和管理的时候应注意的地方。表排队系统的指标值项目MM个MM空闲的概率顾客必须等待的概率平均队长平均排队长平均逗留时间平均等待时间(min)(每个子系统).(整个系统)(每个子系统)(min)(min)求解的LINGO程序如下:model:s=lamda=mu=rho=lamdamurhos=rhosPwait=peb(rho,s)p=*(rhos)rho^*PwaitLq=Pwait*rhos(rhos)Ls=LqrhoWq=LqlamdaWs=LslamdaendssMM损失制排队模型当s个服务台被占用后顾客自动离去。这里我们着重介绍如何使用LINGO软件中的相关函数。损失制排队模型的基本参数对于损失制排队模型其模型的基本参数与等待制排队模型有些不同我们关心如下指标。()系统损失的概率lostP=pel(rho,s)其中rho是系统到达负荷μλs是服务台或服务员的个数。()单位时间内平均进入系统的顾客数(eλ))(lostPe=λλ()系统的相对通过能力(Q)与绝对通过能力(A)lostPQ=lost)(PQAe==λλ()系统在单位时间内占用服务台(或服务员)的均值(即sL)μλesL=注意:在损失制排队系统中=qL即等待队长为。()系统服务台(或服务员)的效率sLs=η()顾客在系统内平均逗留时间(即sW)μ=sW注意:在损失制排队系统中=qW即等待时间为。在上述公式中引入eλ是十分重要的因为尽管顾客以平均λ的速率到达服务系统但当系统被占满后有一部分顾客会自动离去因此真正进入系统的顾客输入率是eλ它小于λ。损失制排队模型计算实例=s的情况(MM)例设某条电话线平均每分钟有次呼唤若每次通话时间平均为min求系统相应的参数指标。解其参数为S==λ=μ。编写LINGO程序如下:model:s=lamda=mu=rho=lamdamuPlost=pel(rho,s)Q=Plostlamdae=Q*lamdaA=Q*lamdaeLs=lamdaemueta=Lssend求得系统的顾客损失率为%即%的电话没有接通有%的电话得到了服务通话率为平均每分钟有次系统的服务效率为%。对于一个服务台的损失制系统系统的服务效率等于系统的顾客损失率这一点在理论上也是正确的。>s的情况(ssMM)例某单位电话交换台有一台门内线的总机已知在上班h的时间内有%的内线分机平均每min要一次外线电话%的分机平均隔min要一次外线。又知外线打入内线的电话平均每分钟次。假设与外线通话的时间平均为min并且上述时间均服从负指数分布如果要求电话的通话率为%问该交换台应设置多少条外线?解()电话交换台的服务分成两类第一类内线打外线其强度为==λ第二类是外线打内线其强度为==λ因此总强度为===λλλ()这是损失制服务系统按题目要求系统损失的概率不能超过%即lostP()外线是整数在满足条件下条数越小越好。由上述三条写出相应的LINGO程序如下:model:lamda=mu=rho=lamdamuPlost=pel(rho,s)Plost<Q=Plostlamdae=Q*lamdaA=Q*lamdaeLs=lamdaemueta=Lssmin=sgin(s)end求得需要条外线。在此条件下交换台的顾客损失率为%有%的电话得到了服务通话率为平均每小时次交换台每条外线的服务效率为%。求解时尽量选用简单的模型让LINGO软件求解而上述程序是解非线性整数规划(尽管是一维的)但计算时间可能会较长因此我们选用下面的处理方法分两步处理。第一步求出概率为%的服务台的个数尽管要求服务台的个数是整数但pel给出的是实数解。编写LINGO程序:model:lamda=mu=rho=lamdamupel(rho,s)=end求得=s。第二步注意到pel(rho,s)是s的单调递减函数因此对s取整数(采用只入不舍原则)就是满足条件的最小服务台数然后再计算出其它的参数指标。编写LINGO程序如下:model:lamda=mu=rho=lamdamus=Plost=pel(rho,s)Q=Plostlamdae=Q*lamdaA=Q*lamdaeLs=lamdaemueta=Lssend比较上面两种方法的计算结果其答案是相同的但第二种方法比第一种方法在计算时间上要少许多。sMM混合制排队模型单服务台混合制模型单服务台混合制模型KMM是指:顾客的相继到达时间服从参数为λ的负指数分布服务台个数为服务时间V服从参数为μ的负指数分布系统的空间为K当K个位置已被顾客占用时新到的顾客自动离去当系统中有空位置时新到的顾客进入系统排队等待。首先仍来求平稳状态下队长N的分布}{nNPpn==L,,,=n。由于所考虑的排队系统中最多只能容纳K个顾客(等待位置只有K个)因而有==KnKnn,,,,,,Lλλμμ=nKn,,,L=由式()式()和式()有>===KnKnCnnn,,,,,Lρμλ()故ppnnρ=Kn,,,L=其中====,,ρρρρρKpKKnn()由已得到的单服务台混合制排队系统平稳状态下队长的分布可知当ρ时平均队长sL为:====KnnKnnsnpnpLρρ)()()(==KKKKKKpρρρρρρρρρ()当=ρ时KnKpnnpLKnKnnKnns=======ρ()类似地可得到平均排队长qL为)()(pLpnLsKnnq===()或==,)()(,)(ρρρρρρρKKKKLKKq()由于排队系统的容量有限只有K个排队位置因此当系统空间被占满时再来的顾客将不能进入系统排队也就是说不能保证所有到达的顾客都能进入系统等待服务。假设顾客的到达率(单位时间内来到系统的顾客的平均数)为λ则当系统处于状态K时顾客不能进入系统即顾客可进入系统的概率是Kp。因此单位时间内实际可进入系统的顾客的平均数为:)()(ppKe==μλλ()称eλ为有效到达率而Kp也被称为顾客损失率它表示了在来到系统的所有顾客中不能进入系统的顾客的比例。下面根据Little公式可得平均逗留时间)(ksesspLLW==λλ()平均等待时间)(KqeqqpLLW==λλ()且仍有μ=qsWW()注意:这里的平均逗留时间和平均等待时间都是针对能够进入系统的顾客而言的。特别当=K时MM为单服务台损失系统在上述有关结果中令=K可得到:ρ=pρρ=p()ρρ==pLs()ρλλλλ===)(ppe()μλρλ===essLW()=qL=qW()例某修理站只有一个修理工且站内最多只能停放台待修的机器。设待修机器按Poisson流到达修理站平均每分钟到达台修理时间服从负指数分布平均每分钟可修理台试求该系统的有关指标。解该系统可看成是一个MM排队系统其中=λ,==μ,==μλρ,=K由式()===ρρp因而顾客损失率为:===ppρ有效到达率为:)()(===peλλ平均队

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