考点跟踪训练4 分式及其运算

考点跟踪训练4　分式及其运算 一、选择题 1．(2010·孝感)化简eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)－\f(y,x)))÷eq \f(x－y,x)的结果是(　　) A. eq \f(1,y) B. eq \f(x＋y,y) C.eq \f(x－y,y) D．y 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 　B 解析　原式＝eq \f(x2－y2,xy)·eq \f(x,x－y)＝eq \f(x＋yx－y,xy)·eq \f(x,x－y)＝eq \f(x＋y,y). 2．(2011·宿迁)方程eq \f(2x,x＋1)－1＝eq \f(1,x＋1)的解是(　　) A．－1 B．2 C．1 D．0 答案　B 解析　把x＝2代入方程，可知方程左边＝eq \f(4,3)－1＝eq \f(1,3)，右边＝eq \f(1,3).∴x＝2是方程的解． 3．(2011·苏州)已知eq \f(1,a)－eq \f(1,b)＝eq \f(1,2)，则eq \f(ab,a－b)的值是(　　) A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C．2 D．－2 答案　D 解析　eq \f(1,a)－eq \f(1,b)＝eq \f(1,2)，2b－2a＝ab，－2(a－b)＝ab，所以eq \f(ab,a－b)＝－2. 4．(2011·威海)计算1÷eq \f(1＋m,1－m)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m2－1))的结果(　　) A．－m2－2m－1 B．－m2＋2m－1 C．m2－2m－1 D．m2－1 答案　B 解析　原式＝1×eq \f(1－m,1＋m)×(m＋1)(m－1)＝－(m－1)2＝－m2＋2m－1. 5．(2011·鸡西)分式方程eq \f(x,x－1)－1＝eq \f(m,x－1x＋2)有增根，则m的值为(　　) A．0和3 B．1　　C．1和－2 D．3 答案　D 解析　去分母，得x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝m，当增根x＝1时，m＝3；当增根x＝－2时，m＝0，经检验，当m＝0时，eq \f(x,x－1)－1＝0.x＝x－1，方程无解，不存在增根，故舍去m＝0.所以m＝3. 二、填空题 6．(2011·嘉兴)当x______时，分式eq \f(1,3－x)有意义． 答案　≠3 解析　因为分式有意义，所以3－x≠0，即x≠3. 7．(2011·内江)如果分式eq \f(3x2－27,x－3)的值为0，那么x的值应为________． 答案　－3 解析　分母x－3≠0，x≠3；分子3x2－27＝0，x2＝9，x＝±3，综上，x＝－3. 8．(2011·杭州)已知分式eq \f(x－3,x2－5x＋a)，当x＝2时，分式无意义，则a＝________；当x<6时，使分式无意义的x的值共有________个． 答案　6,2 解析　当x＝2时，分母x2－5x＋a＝0,22－5×2＋a＝0，a＝6；在x2－5x＋a＝0时，分式无意义，x＝eq \f(5±\r(25－4a),2×1)，当x<6时，25－4a>0，方程有两个不相等的实数根，所以x的值有2个． 9．(2011·呼和浩特)若x2－3x＋1＝0，则eq \f(x2,x4＋x2＋1)的值为________． 答案　eq \f(1,8) 解析　因为x2－3x＋1＝0，所以x＋eq \f(1,x)＝3，而eq \f(x4＋x2＋1,x2)＝x2＋1＋eq \f(1,x2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))2－1＝32－1＝8.故eq \f(x2,x4＋x2＋1)＝eq \f(1,8). 10．(2011·乐山)若m为正实数，且m－eq \f(1,m)＝3，则m2－eq \f(1,m2)＝________. 答案　3 eq \r(13) 解析　因为m>0，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(1,m)))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,m)))2＋4＝32＋4＝13，m＋eq \f(1,m)＝eq \r(13).故m2－eq \f(1,m2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(1,m))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,m)))＝3×eq \r(13)＝3 eq \r(13). 三、解答题 11．(2011·衢州)化简：eq \f(a－3b,a－b)＋eq \f(a＋b,a－b). 解　原式＝eq \f(a－3b＋a＋b,a－b)＝eq \f(2a－2b,a－b)＝eq \f(2a－b,a－b)＝2. 12．(2010·镇江)描述证明 海宝在研究数学问题时发现了一个有趣的现象： 将上图横线处补充完整，并加以证明． 解　如果eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)＋2＝ab，那么a＋b＝ab. 证明：∵eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)＋2＝ab，∴eq \f(a2＋b2＋2ab,ab)＝ab， ∴a2＋b2＋2ab＝(ab)2，∴(a＋b)2＝(ab)2， ∵a>0，b>0，a＋b>0，ab>0， ∴a＋b＝ab. 13．(2011·广安)先化简(eq \f(x,x－5)－eq \f(x,5－x))÷eq \f(2x,x2－25)，然后从不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x－2≤3，,2x<12))的解集中，选取一个你认为符合题意的x的值代入求值． 解　原式＝eq \f(2x,x－5)×eq \f(x＋5x－5,2x)＝x＋5. 解不等式组得：－5≤x＜6. 选取的数字在－5≤x<6的范围内不为5，－5,0即可(答案不唯一)，代入求值略． 14．(2011·重庆)先化简，再求值： (eq \f(x－1,x)－eq \f(x－2,x＋1))÷eq \f(2x2－x,x2＋2x＋1)，其中x满足x2－x－1＝0. 解　原式＝(eq \f(x－1,x)－eq \f(x－2,x＋1))÷eq \f(x2x－1,x2＋2x＋1) ＝eq \f(x－1x＋1－xx－2,xx＋1)÷eq \f(x2x－1,x2＋2x＋1) ＝eq \f(2x－1,xx＋1)×eq \f(x＋12,x2x－1)＝eq \f(x＋1,x2). 当x2－x－1＝0时，x2＝x＋1，原式＝eq \f(x＋1,x＋1)＝1. 15．(1)(2011·盐城) 解方程：eq \f(x,x－1)－eq \f(3,1－x)＝2. 解　去分母，得 x＋3＝2(x－1) . 解之，得x＝5. 经检验，x＝5是原方程的解．∴x＝5. (2)(2011·菏泽)解方程：eq \f(x＋1,2x)＝eq \f(x＋1,3). 解　原方程两边同乘以6x，得3(x＋1)＝2x·(x＋1)， 整理得2x2－x－3＝0， 解得x＝－1或x＝eq \f(3,2)， 经检验：x1＝－1，x2＝eq \f(3,2)都是原方程的解，故原方程的解是x1＝－1，x2＝eq \f(3,2). 四、选做题 16．若abc＝1，求eq \f(a,ab＋a＋1)＋eq \f(b,bc＋b＋1)＋eq \f(c,ca＋c＋1)的值． 分析　本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍两种简单的解法． 解法一　因为abc＝1，所以a，b，c都不为零． 原式＝eq \f(a,ab＋a＋1)＋eq \f(a,a)·eq \f(b,bc＋b＋1)＋eq \f(ab,ab)·eq \f(c,ca＋c＋1) ＝eq \f(a,ab＋a＋1)＋eq \f(ab,abc＋ab＋a)＋eq \f(abc,abca＋abc＋ab) ＝eq \f(a,ab＋a＋1)＋eq \f(ab,1＋ab＋a)＋eq \f(1,a＋1＋ab) ＝eq \f(a＋ab＋1,ab＋a＋1)＝1. 解法二　由abc＝1，得a＝eq \f(1,bc)，将之代入原式． 原式＝eq \f(\f(1,bc),\f(1,bc)·b＋\f(1,bc)＋1)＋eq \f(b,bc＋b＋1)＋eq \f(c,c·\f(1,bc)＋c＋1) ＝eq \f(1,b＋1＋bc)＋eq \f(b,bc＋b＋1)＋eq \f(bc,1＋bc＋b) ＝eq \f(1＋b＋bc,1＋b＋bc)＝1.