Maple微分方程的求解

数理方程与逻辑函数期中考试论文 题目：微分方程的求解 ——基于Maple工具 姓名: 学号: 专业: 学科: 老师: 目录 2一、简介 2概况： 2Maple 主要技术特征： 21. 强大的求解器：数学和分析软件的领导者 22. 技术文件环境：重新定义数学的使用性 33. 知识捕捉：不仅是工具，更是知识 34. 外部程序连接：无缝集成到您现有的工具链中 4二、Maple在微分方程中的应用 41、常用函数 41)求解常微分方程的命令dsolve. 42)求解一阶线性常微分方程的命令linearsol. 43)偏微分方程求解命令pdsolve. 52、方法 51)一阶常微分方程的解法 52)二阶线性常微分方程的解法 63、作图 61)常微分方程数值解作图命令odeplot 62)偏微分方程作图命令PDEplot 7三、各种方程的求解 7第一部分:一阶常微分方程 71、可分离变量方程 72、齐次方程 83、线性方程 94、Bernoulli方程 10第二部分:二阶线性常微分方程 101、二阶常系数线性齐次方程 102、二阶常系数线性非齐次方程 113、Euler方程(变系数) 12第三部分:偏微分方程 121、波动方程 122、热传导方程 133、作图 13四、 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 一、简介 概况： Maple是目前世界上最为通用的数学和工程计算软件之一，在数学和科学领域享有盛誉，有“数学家的软件”之称。Maple 在全球拥有数百万用户，被广泛地应用于科学、工程和教育等领域，用户渗透超过96％的世界主要高校和研究所，超过81％的世界财富五百强企业。 Maple系统内置高级技术解决建模和仿真中的数学问题，包括世界上最强大的的符号计算、无限精度数值计算、创新的互联网连接、强大的4GL语言等，内置超过5000个计算命令，数学和分析功能覆盖几乎所有的数学分支，如微积分、微分方程、特殊函数、线性代数、图像声音处理、统计、动力系统等。 Maple不仅仅提供编程工具，更重要的是提供数学知识。Maple是教授、研究员、科学家、工程师、学生们必备的科学计算工具，从简单的数字计算到高度复杂的非线性问题，Maple都可以帮助您快速、高效地解决问题。用户通过Maple产品可以在单一的环境中完成多领域物理系统建模和仿真、符号计算、数值计算、程序 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 、技术文件、 报告 软件系统测试报告下载sgs报告如何下载关于路面塌陷情况报告535n,sgs报告怎么下载竣工报告下载 演示、算法开发、外部程序连接等功能，满足各个层次用户的需要，从高中学生到高级研究人员。 Maple 主要技术特征： 　1. 强大的求解器：数学和分析软件的领导者 　　★ 内置超过5000个符号和数值计算命令，覆盖几乎所有的数学领域，如微积分，线性代数，方程求解，积分和离散变换，概率论和数理统计，物理，图论，张量分析，微分和解析几何，金融数学，矩阵计算，线性规划，组合数学，矢量分析，抽象代数，泛函分析，数论，复分析和实分析，抽象代数，级数和积分变换，特殊函数，编码和密码理论，优化等。 　　★ 各种工程计算：优化，统计过程控制，灵敏度分析，动力系统设计，小波分析，信号处理，控制器设计，集总参数分析和建模，各种工程图形等。 　　★ 提供世界上最强大的符号计算和高性能数值计算引擎，包括世界上最强大的微分方程求解器（ODEs，PDEs，高指数DAEs）。 　　★ 智能自动算法选择。 　　★ 强大、灵活、容易使用的编程语言，让您能够开发更复杂的模型或算法。 　　★ 与多学科复杂系统建模和仿真平台MapleSim紧密集成。 　2. 技术文件环境：重新定义数学的使用性 　　★ 大量易学易用的工具和特征，提供“数学版office”工作环境，用户即使没有任何语法知识也可以完成大量数学问题的计算，戏剧性缩短学习曲线。 　　★ 技术文件界面组合文字、数学、图形、声音、建模、科学计算等您所有的工作。 　　★ 大量的绘图和动画工具，包括超过150种图形类型。基于OpenGL的可视化技术，可定义相机轨迹。图片输出格式包括：BMP、DXF、EPS、GIF、等等。 　　★ 数据输入和输出格式：ASCII、CSV、MATLAB、Excel、等。 　　★ 各种文件处理工具，如页眉页脚、段落、幻灯片等；各种图元件，刻度盘、滑动条、按钮等，可在图元件中添加程序，实现交互式仿真操作。 　3. 知识捕捉：不仅是工具，更是知识 　　★ Maple是您所有数学工作的理想环境，您所想象的数学就是您在Maple中做数学的方式。 　　★ 多种格式（1D、2D）输入数学 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 ，如教科书一样地显示和操作数学和文字。 　　★ 工作过程包括最初的草稿、计算、深度分析、演示报告、共享，以及重用。 　　★ 专业出版工具包括文件处理工具，可输出Maple文件为PDF、HTML、XML、Word、LaTeX、和MathML格式文件。 　　★ 特有的教育功能包，包含特定主题的计算方法信息和Step-by-Step求解步骤。 　　★ 使用MapleNET发布交互式内容到web上，将您的工作交互式呈现给您的同事、学生、和同行。 　4. 外部程序连接：无缝集成到您现有的工具链中 　　★ OpenMaple API - 在外部程序中使用Maple作为计算引擎，或者通过External calling，在Maple中使用外部程序，如C/Java/Fortran。 　　★ Maple - CAD系统双向连接：通过CAD Link为CAD系统增加重要的分析功能，如统计、优化、单位和公差计算等，结果在CAD模型中自动更新，目前支持SolidWorks，NX，和 Autodesk Inventor。 　　★ Excel：Excel数据的输入和输出；通过加载项，在Excel内使用Maple计算命令。 　　★ 专业出版工具包括文件处理工具，可输出Maple文件为PDF、HTML、XML、Word、LaTeX、和MathML格式文件。 　　★ 数据库：对大型数据集完成分析和可视化。 　　★ MATLAB连接：您可以使用MATLAB Link在Maple中调用MATLAB完计算，以及利用MATLAB代码生成和转换的功能；另一个选择是Maple Toolbox for Matlab工具箱，Maple-Matlab双向连接，共享数据、变量等。 ★ Simulink：输入和输出Simulink模块，添加Maple的分析和优化功能到Simulink模块。 二、Maple在微分方程中的应用 1、常用函数 1)求解常微分方程的命令dsolve. dsolve(常微分方程) dsolve(常微分方程，待解函数，选项) dsolve({常微分方程，初值}，待解函数，选项) dsolve({常微分方程组，初值}，{待解函数}，选项) 其中选项设置解得求解方法和解的表示方式。求解方法有type=formal_series(形式幂级数解)、type=formal_solution(形式解)、type=numeric(数值解)、type=series(级数解)、method=fourier(通过Fourier变换求解)、method=laplace(通过Laplace变换求解)等。解的表示方式有explicit(显式)、implicit(隐式)、parametric(参数式)。当方程比较复杂时，要想得到显式解通常十分困难，结果也会相当复杂。这时，方程的隐式解更为有用，一般也要简单得多。dsolve为 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 库函数。 2)求解一阶线性常微分方程的命令linearsol. 在Maple中求解一阶线性方程既可以用dsolve函数求解，也可以用Detools函数包中的linearsol函数求解。linearsol是专门求解线性微分方程的命令，使用格式为: linearsol(线性方程，待解函数) linearsol的返回值为集合形式的解。 3)偏微分方程求解命令pdsolve. pdsolve(偏微分方程，待解变量，选项) pdsolve(偏微分方程，初值或边界条件，选项) pdsolve为标准库函数，可直接使用。 如果求解成功，将得到几种可能结果： 方程的通解； 拟通解(包含有任意函数，但不足以构造通解)； 一些常微分方程的集合； 2、方法 1)一阶常微分方程的解法 a分离变量法 I直接分离变量法。如 ，方程右端是两个分别只含x或y的函数因式乘积，其通解为 。 II换元法之后再用分离变量法。对于以 为中间变量的函数，如 ，令u= ,则原方程变为 ，再用分离变量法可得 。 b常数变易法 I对于线性非齐次方程来说， 线性非齐次方程的通解=它所对应的齐次方程的通解+非齐次方程的一个特解。 如y'+P(x)y=f(x)，若f(x) 0,y'+P(x)y=0为一阶线性齐次方程，其通解为 ，令 代入非齐次方程，求出C(x),再的特解。 II对于伯努利方程(非线性一阶)来说，先将其化为线性。 如 ,两端除以 ，得 ，令z= ,则原方程可化为 。 2)二阶线性常微分方程的解法 a二阶线性齐次方程,y''+p(x)y'+q(x)y=0 若 与 是方程的解，且 (即线性无关)，则 是通解，考虑常系数，即p.q都是常数，y''+py'+qy=0。其特征方程为 。解为 ， 。 I EMBED Equation.DSMT4 >0，两个不等实根，且 常数时， 。 II EMBED Equation.DSMT4 <0，一对共轭复根， ， ， ， 常数， 。 III EMBED Equation.DSMT4 =0，两个相等实根， ， ， 常数， 。 b二阶常系数线性非齐次微分方程，y''+py'+qy=r(x). 非齐次方程的通解=它所对应的齐次方程的通解+非齐次方程的一个特解。 利用常数变异法，令其特解为 ，则 ， 令 =0……①，并求出 ，将 EMBED Equation.DSMT4 并将它们都带入到原方程，得 =r(x)……② 联立①，②式得 。 以上得出了特解，再将其与通解组合可得原方程的解。 c欧拉方程(变系数)， 。 令 ，则 ，代入得 ，可以求解。 3、作图 1)常微分方程数值解作图命令odeplot 要作出常微分方程数值解的图像，要使用odeplot函数。odeplot在函数抱plots中，可通过with(plots)或plots[odeplot]调出。 odeplot(数值解，被绘函数，参数范围，选项) 2)偏微分方程作图命令PDEplot PDEplot(偏微分方程，初值，参数范围，选项) PDEplot位于PDEtools函数包中，使用前必须先调出PDEtools函数包。 三、各种方程的求解 第一部分:一阶常微分方程 1、可分离变量方程 例1: > eq:=diff(y(x),x)=sin(x)/sin(y(x)); > DEtools[odeadvisor](eq); > dsolve(eq); > dsolve(eq,implicit); > dsolve({eq,y(0)=1}); > dsolve({eq,y(0)=1},numeric,range=-2..2); > plots[odeplot](%); 2、齐次方程 例2: > eq:=D(y)(x)=y(x)/x+tan(y(x)/x); > DEtools[odeadvisor](eq); > dsolve(eq); > dsolve({eq,y(1)=1}); > dsolve({eq,y(1)=3}); > dsolve({eq,y(1)=3},numeric,range=1..6); > plots[odeplot](%); 3、线性方程 > eq:=D(y)(x)=(sin(x)-y(x))/x; > DEtools[odeadvisor](eq); > dsolve(eq); > DEtools[linearsol](eq); > dsolve({eq,y(1)=2},numeric,range=-5..5); > plots[odeplot](%); 4、Bernoulli方程 > eq:=D(y)(x)=6*y(x)/x-x*y(x)^2; > > DEtools[odeadvisor](eq); > dsolve(eq); > plots[odeplot](dsolve({eq,y(1)=1},numeric,range=-5..-1)); 第二部分:二阶线性常微分方程 1、二阶常系数线性齐次方程 例5:y"+2y'+y=0 > eq:=diff(y(x),x$2)+2*diff(y(x),x)+y(x)=0; > dsolve(eq); > DEtools[constcoeffsols](eq); > plots[odeplot](dsolve({eq,y(0)=0,D(y)(0)=1},numeric,range=-2..2)); 2、二阶常系数线性非齐次方程 例6: > eq:=diff(y(x),x$2)+diff(y(x),x)=2*x^2-3; > dsolve(eq,y(x)); > plots[odeplot](dsolve({eq,y(0)=0,D(y)(0)=1},numeric,range=-3..3)); 3、Euler方程(变系数) 例7: y"+5xy'+13y=0 > eq:=x^2*diff(y(x),x$2)+5*x*diff(y(x),x)+13*y(x)=0; > DEtools[odeadvisor](eq); > dsolve(eq); > plots[odeplot](dsolve({eq,y(1)=0,D(y)(1)=1},numeric,range=1..5)); 第三部分:偏微分方程 1、波动方程 例8: . > pde:=diff(u(x,t),x$2)=diff(u(x,t),t$2); > pdsolve(pde); 这里给出了通解，其中_F1,_F2是任意两个具有二阶连续导数的一元函数。 2、热传导方程 例9: > pde:=diff(u(x,t),t)=diff(u(x,t),x$2); > pdsolve(pde); 这里只给出了分离变量形式的特解，其中_F1,_F2为满足给定方程的任意解，_C1为常数。 3、作图 例10: > pde:=D[1](z)(x,y)+z(x,y)*D[2](z)(x,y)=0; > PDEtools[PDEplot](pde,[0,y,sech(y)],y=-5..5); 四、总结 1、解微分方程按照不同的标准可以分为很多种类： 按照阶数的不同：一阶，二阶，高阶； 按照是否线性：线性，非线性； 按照未知数个数：常微分，偏微分； 按照是否齐次：齐次，非齐次； 2、各种常微分方程具体的解法： 1)若一阶微分方程具有形式 ，则称为可分离变量方程。一般可以通过对方程 两边分别积分，得到方程的隐式解。 2)若常微分方程具有形式 ，则称为齐次方程。通常用变量代换 将齐次方程转换为可分离变量方程 。 3)形如y'(x)+p(x)y=q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，在Maple中既可以用dsolve函数求解，也可以用Detools函数包中的linearsol函数求解。 4)形如 的微分方程称为Bernoulli方程。当 时，变量代换 将Bernoulli方程转化为线性方程 。 5)形如 ，其中 为常数的微分方程称为n阶常系数线性微分方程。当f(x)=0时，称为齐次方程；当f(x) 0时，称为非齐次方程。 6)齐次Euler方程的一般形式为： ，其中 都是常数。求解方法是做变换 ，求出y(t),然后再将t=lnx代入，即可得到原方程的解y(x)。 3、偏微分方程的形式 1)一维波动方程： 2)二维波动方程： 3)泊松方程： 4)拉氏方程： 5)一维热传导方程： 6)二维热传导方程： 7)三维热传导方程： 在使用Maple解决微分方程的求解与作图时，要分清各种类型的方程分别用什么方法。比如，如果是一阶线性方程，则可以用dsolve或linearsol均可以求解，而如果是偏微分方程，那么必须用pdsolve才能求解，而对于一般的常微分方程通用方法是用dsolve求解。同样地，画图的命令中，odeplot是常微分方程数值解作图命令，PDEplot是偏微分方程数值解作图命令。 PAGE 2 _1335450537.unknown _1335460970.unknown _1335462430.unknown _1335523100.unknown _1335523697.unknown _1335524068.unknown _1335524623.unknown _1335524729.unknown _1335524865.unknown _1335524956.unknown _1335524823.unknown _1335524694.unknown _1335524148.unknown _1335524557.unknown _1335524113.unknown _1335523836.unknown _1335523920.unknown _1335523808.unknown _1335523379.unknown _1335523602.unknown _1335523638.unknown _1335523560.unknown _1335523269.unknown _1335523321.unknown _1335523169.unknown _1335516778.unknown _1335517560.unknown _1335518394.unknown _1335516815.unknown _1335470380.unknown _1335474755.unknown _1335516732.unknown _1335473750.unknown _1335469524.unknown _1335461864.unknown _1335462051.unknown _1335462201.unknown _1335462355.unknown _1335462160.unknown _1335461942.unknown _1335461982.unknown _1335461924.unknown _1335461137.unknown _1335461630.unknown _1335461833.unknown _1335461691.unknown _1335461196.unknown _1335461041.unknown _1335461093.unknown _1335460399.unknown _1335460810.unknown _1335460938.unknown _1335460928.unknown _1335460674.unknown _1335460727.unknown _1335460417.unknown _1335460503.unknown _1335450672.unknown _1335460349.unknown _1335450597.unknown _1335449448.unknown _1335450011.unknown _1335450250.unknown _1335450525.unknown _1335450035.unknown _1335449910.unknown _1335449944.unknown _1335449474.unknown _1335448879.unknown _1335449117.unknown _1335449316.unknown _1335449067.unknown _1335448761.unknown _1335448828.unknown _1335448646.unknown