陈省身先生在南开讲数学分析的讲义Chern_Calculus

2 高等数学研究 STUDIES IN C0LLEGE M ATHEM ATICS Vo1．5。NO．4 Dec．。2002 目图 数学大师的风采。 一 记陈省身先生讲授《微积分及其应用》 白承 铭 (南开数学研究所 天津 300071) 2001年 1O月 l1日下午 ，南开数学研究所大讲演厅内座无虚席，世界著名数学家陈省身先生 要给大家来上基础课了．4时整 ，我们尊敬的陈先生不顾 已经九十高龄，坐着轮椅准时来到讲演厅， 开始给大家讲授《微积分及其应用 》的第一讲． 这 次活 动是在陈先 生本人倡 导下 ，由南开大学 、天津大学 “刘徽 应用 数学 中心”举办 的《应用 数 学 》系列课程 的第一 门课程 ，并 由陈先 生亲 自主讲 ．陈先 生要给大学本科 生上基 础课 的消息传开后 ， 不仅在南开大学和天津大学 ，而且在整个天津地区的高校都产生了很大的震动，许多学校的学生甚 至很 多教师纷纷要求 听课 ．但是 由于演讲厅条件 所限 ，所 以只 能采取 限制 名额 的办法 ，最终 听众是 以南开大学和天津大学两校的大二 ，大三学生为主，并有少量天津市其他高校的学生和青年教师． 即使 这样 ，每次 仍然有很 多没 有报上名的学生站在过道和走廊里 听陈先生 的演讲 ，大家 的热情可见 一 斑．同时 ，陈先 生的 报告 软件系统测试报告下载sgs报告如何下载关于路面塌陷情况报告535n,sgs报告怎么下载竣工报告下载 也 吸 引了很 多教师参 加 ，甚至还 有在 南开 大学访 问 的外籍 学者 ，如美 国 Brown大学的 Bwuno Harris教 授就一次不落地听完 了全部演讲． 陈先生曾经计划讲《微积分及其应用》八次，但是期间因身体不适住院两周 ，到 l1月 3O日的最 后 一次 (12月初 已经先 期安 排 了其他课 程)，共讲 了六次．陈先 生在住 院期 间仍然念念 不忘 他的课 程和学生，他一出院，就赶快备课并准时出现在讲台上 ，他的这种敬业精神使所有人都非常感动，并 且也 给年轻人树立 了 良好 的榜样．大师给学生们上基础课 ，不 仅仅为学生们 带去 了对基础知识更 为 深刻的理解，更为我们的大学教育带来了新鲜风气，教师们也从中学到如何真正地为人师表． 微积分课程本身作为大学生基础课并不是很难 ，难的是如何看待微积分里众多的命题和定理， 以及为什么要有它们．想弄懂这些 ，就必须站在一定的高度来观察分析，这不仅要对微积分本身有 很深的理解，还需要对更深一步的知识有很好的把握 ，陈先生就是这样的一位数学老师．陈先生讲 得深入浅出，引人人胜 ，他用非常简洁的语言，形象的说明给大家讲授 了微积分学的基本定理以及 在微分几何上的应用．同时他那严谨却不枯燥、风趣中又一丝不苟的讲课风格‘，更告诉我们数学大 师是如何授课的．听过陈先生课的人，都领悟到他在谈笑风生之间已经将深奥的数学知识中精辟的 传授给了大家．所有人都感到获益匪浅，这可以从听课的学生们交上来的读 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 报告中清楚地看 出 来．有学生说 ：“大师就是大师，讲得就是好”，“很通俗，很好懂”． 为了使更多的人能够了解陈先生演讲的 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 ，我作为陈先生的助教 ，根据陈先生演讲录音进行 了整理，在下面简要地作一介绍．由于本人水平有限，错误在所难免，仅供大家参考．陈先生认为“微 积分的范围很广”，因为时间关 系，这个课程“只能讲个大概，尤其是介绍整个 的有一些意义的问 题”．“应该提一提微积分整个的影响或者是在哪些方面向前发展了．可以说，微积分向前发展大概 有两个最重要的方面：一个是在几何的应用”，另一个是复数．陈先生着重讲的是微积分学的基本定 理 以及在微分几何上的应用．他的演讲主要包括“微分和积分”(1讲)，“指数与对数函数”(1讲)， · 收稿 日期 ：2002— 07一 ll 维普资讯 http://www.cqvip.com 第 5卷第 4期 白承铭 ：数学大师的风采 3 “曲线论”(1讲)和“曲面论与 Gauss—Bonnet公式”(3讲)．以下介绍的第一讲“微分和积分”，是陈 先生演讲的记录稿． 微分与积分 (I)微积分 的起源 ：牛顿 与莱布尼 兹 讲 到微积分 ，最要 紧的两个人 是牛 顿 (Issac Newton，1642— 1727)跟莱布 尼兹 (Gottpied Leib— niz，1646—1716)，微积分就是他们发现的．关于牛顿，有兴趣的是他做这个工作是在学生的时候， 也许比你们的岁数还要小，那个时候 ，也就是 17世纪那个时候，欧洲瘟疫很厉害，欧洲死了很多人． 他在英国剑桥大学 ，因为瘟疫的关系，学校放假了，他就回家在家里做关于微积分的这些工作．莱布 尼兹是一个各方面都非常优秀的人，数学是他的兴趣的一部分，他的兴趣到宗教、法律各方面都有． 他们两人之间有点争论，是因为争论谁是微积分的发现者．这个争论是不幸的，也没有什么意义．实 质上是莱布尼兹头一个发表关于微积分论文的人，他的论文在 1684年发表．牛顿做这个工作早于 莱布 尼兹．而莱布 尼兹发表论 文早 于牛顿 ，牛顿有 了这个工作 后没有发 表什 么任何 的东西 ．而 莱布 尼兹不但发表了这些东西，同时还引用了一些符号 ，也许我们现在还在用．那么后来两个人有一个 争论 ，大概都是跟数学 没有 关系 的人 在那 里造成的情况 ，这不是一个 什么有意思的事情． (Ⅱ)微积分基本定理 微积分是数学里 头很 重要的方 面，至于什么是微 积分 呢?我想微分的发现跟笛 卡儿发现坐标 非 常有关系，因为笛卡儿发现坐标之后，数学主要的目的就是研究函数，研究两组数的关系，有种种的 关系．我们知道 ，函数有种种，有线性的，非线性的，三角函数等种种函数，那么要怎样地研究函数的 性质?我们都知道，函数可 以用曲线来表示，如 一厂(z)这条曲线．在这条曲线的每点，如果它是可 以微分 的话 ，那 么它在每 点有个 切线．微 分就是 把这个 曲线用它 的切线来 研究 它的性质 ．所 以也等 于说 它是把函数线性化 ，线性 化之后 ，可 以加 、减 、乘除 ，可 以计算 ，因此可 以得 到数 出来 ．数学要 是 能够得 到数出来 ，总是很要 紧的．所以微 分大概是说 用曲线的切线来研究 曲线 的性 质． 积分来得早了，因为积分实际上大致讲起来 ，它是要计算面积．那么假使平面上有一个区域 ，由 曲线来做为边界，它的面积有多大，圆周的面积有多大 ，这里的问题是积分的开始，也是积分重要的 目的．因此，实际上，积分的发展在微分之前．积分当时也没有一定的定义 ，积分就是有个极限的观 念．曲线所围成的区域一般想法子用直线来逼近，使得逼近的曲线趋于你的边界的时候 ，就有个极 限，就是这个区域的面积．所以，总而言之，积分的发展在微分之前，中间这两个问题好象没有关系， 但是其实这关系非常的密切．积分差不多是微分的反运算．比方说，假使你求这条直线跟两条垂线 所成区域的面积，这两条垂线，一个是 —a，一个是 s—z，你要去算这个区域的面积，是个定积分 r I f(x)dx，(读作／’(z)定积分从口一z)．这是当年莱布尼兹的符号，这个积分的符号记成这样，因 为积分总是代表一个和，I代表和(sum)．假设面积一边由 =n的直线作边界，另一边是任意的37， 你把 z这条直线移动的话 ，就得到一个 z的函数，这个函数，我叫它 A(x)，就是我图上的面积(图从 略)，是个积分 ，所以它是一个数 目，与z有关，所以是z的函数．这个函数跟曲线方程Y一 ( )这个 函数有密切关系．为什么有密切的关系呢?很简单地看看，假如求A( )= l f(x)dx的微分，求它 的微分嘛 ，就是说 ，求 s— ，z+ 9x所 围成的这个小 区域的面积．现在 如果你拿 艿 除 的话 ，我想很 容易看 出来 了，这个极 限就是 f(x)．所 以很容易看 出来 A(x)这个 函数 的微 分就是 厂( )，因此 d — A — (x — ) ： 厂(z)． (1．1)d x 。 。 、 ‘ 维普资讯 http://www.cqvip.com 4 高等数学研究 2002年 12月 这就是微分同积分的基本的关系．这个关系说 A(z)是一个积分，求它的微分时候，就得 厂(z)．这个 一 般地，叫做微积分的基本定理．我从前在南开念微积分的时候，始终不懂为什么这是一个微积分 的基本 定理 ，因为一般 地把这 个关系式写成 If(x)dx l：一 I f(x)dx (1．2) 形状．左边积分是个不定积分(indefinite integra1)，不定积分是个函数，左式是函数在 b的值减去函 数在 a的值 ，等于这个定积分(definite integra1)．所以从这个关系知道要求积分的话 ，只需要求一 个 函数 ，它 的微 分是 已知 的，就是 厂( )，即微 分是 已知 的．所 以这样微 分跟 积分连起 来 了．互 相的 ， 积分等于微分的反运算，有了 厂( )，要找一个函数，它的微分等于 厂(z)，是个反运算．因此微、积分 有密切的关系． (Ⅲ)多元微 积分 上面讲的是一个变数的微积分．下面要讲高维的，多变数的．多变数的话，有新的现象，是什么 样的呢?我想对于多变数的，我们先不看别的，先看两个变数的情形 ，z跟 Y，那么我们知道这个时 候微分 的观念 的推广是偏微 分 ，等 于 跟 Y分 开求微分．积分 的观念 推广 是重积分．二重积分 (dou— ble integra1)是在 2维的情形，在高维的情形是多重的．先看 2维，2维的情形就有了区域 ，我们叫它 △，那么它的边界叫它 y．所以积分的一个 自然推广是一个 2重积分，普通积分把 z分成小段，然后 取小段再乘上 这个 函数 ，求一个和．在 2重积分 的时候 ，方法也是把区域分成小块 ，然后取 每一小块 的面积，在其上函数值乘上它的面积，然后求它的和．很不得了的，假使 函数好的话 ，无论你如何圈 你的区域 ，极限是一样的，所以这极限就是 2重积分 一 Ilf(x，y)dxdy． (1．3) 在 2维的时候 ，甚至高维的时候 ，一个重要的现象是，我们现在有 2个变数 z，Y，换变数怎么 样?所以我现在换变数，换变数当然是在微积分里是很重要的一个办法 ，因为很多的问题是看你的 变数是否选择得当，有时换变数，问题就立刻简单化了，就可以解决了．现在我换变数： { 三：： ：； c1．4 其中，(z ，Y )是另外一组坐标．我们发现一个事实，在高维的时候 ，微分的乘法 ，我们写成 dx八 ， 这是一个乘法 ，怎么乘呢?dx八 在微积分上是最微妙的观点．什么叫微分?什么是dx?这个是困 扰了数学家几百年的事．怎么样定微分的定义跟究竟什么是 dx，这个很麻烦 ，可以做到很满意，不 过把它讲清楚需要有一定的时间．所以我马马虎虎说有一个 dx．在 dx， 这种微分之间要建立乘 法 八．什么叫dx人 ?这个问题更复杂了，你如果 dx，dy本身是什么都不清楚 ，乘了以后是什么东 西更是一个很微妙困难的问题．在这方面有一个大的进步，就是引进外代数和外微分．假定 dx八 这个乘法 是反对称 ， dx 八 dy一 一 dy 八 dx (1．5) 这个问题就清楚简单了．因为乘法如果是反对称的话 ，当然 dx八dx 0．事实上 ，因为 dx八dx — dx八dx，所 以 dx八dx=O．在反对称的乘法之下 ，把 dx八 看成变数 ，因为乘法是反对称的 ，dxz 一0，所以就没有高次的东西了．这样得到的代数叫做外代数．这个代数很妙的．有一个立刻的结论： 换变数公式为 dx 八 dy一 dx 八 dy (1．6) 假使我们的微分用的是偏微分 ，所以 (下转第 8页) 维普资讯 http://www.cqvip.com 8 高 等 数学研 究 2002年 12月 数 问题 的需 要 ，更 重要的是它 的几何 背景的需要． (5)加强几何变换和变换群理论的教学． 空间的变换的概念在射影几何学中体现得最显著．射影几何学应该说起源于绘画和建筑学 中 的透视学 ，是人类在 观察世界时把 3维 的物 体用平面 图形 表示的经验和规律 的总结。这里 面蕴涵 着 图形的变换理论．后来，欧拉首先注意到仿射变换的意义．克莱因在 1872年提出了著名的“爱尔兰 根纲领”．他认为每一种几何都由一种变换群所刻画，每一种几何学要做的实际上就是寻求图形在 该变换群的作用下保持不变的性质，一个几何的子几何是在原变换群的子群作用下的不变量．例 如 ：射 影几何学 (射影 变换群 )一 仿射 几何 学 (仿射变换 群)一 欧氏几何 学 (刚体运 动群 )．在 这里 ，箭 头所指的是前者的子几何．虽然并不是所有的几何学都能够纳入克莱因的分类 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 之中，例如现代 的代数几何学和微分几何学，但是克莱因的观点给大部分几何学提供了一个系统的分类方法，而且 提示 了许多 可供研究的 问题．尤其是在 当代 ，李群 的理 论已经广 泛地用 于几何学和物理学 乃至工 程 科学 的研究．许 多几何 空间 的结 构 都容许 一定 的变换 群 的作用 ，它们 的变换理 论是 重要 的研究 课 题 ，这些 问题 的提 出与克莱因 的思想有 关． 群及其子群的结构和分类是代数学中的问题 ，而几何学中的变换群为抽象的群论提供了重要 的例证 ，并且为 群论 的抽象 研究提 出不少课题．另外 ，几何变换 理论与 日常生活 、生产 、科研 都有密 切 的关系．因此 ，在 学几何 的时候 ，必须把几何 变换 理论作为重要 的 内容之一．(未完 ，待续 ) (上接 第 4页) dx=== d + d ，dy一 + (1．7) 现在 用外乘法一乘 ， 八dx ： dy 八dy = 0．而 八 因为乘法 是反对 称的 ，所 以是刚好 乘以 — x(x ，Y )，Y一 ．)，( ，Y )的雅可比 ，这个符号是雅可比，是四个偏微分所成的行 列式 ，所 以 八 一 八 (1．8) 这个刚巧是我们重积分换变数的一个关系．我们知道重积分要是换变数的话，它应该乘上雅可比． 所 以这个结论就是，对重积分的 Integral，即积分下的式子，把积分号丢掉，Integral是一个微分多 项式，乘法是反对称的．所以假使多重积分有 3维 ，4维到 n维的空间，多重积分的 Integral可看成 是外代数的多项式 ，那么换变数就 自然对了．这里头有一点微妙的地方，因为通常，你要证 明换变数 的公式的时候，假定雅可 比是正的，不然的话 ，乘上雅可比的绝对值，使它是正的．这个是高维几何 微妙的东西，就是空间有个向(Orietaion)，你转的时候 ，有 2个相反转的方 向．转的时候 ，假使改 了 方向的话 ，雅可比是负值，因此我们一个结论是多重积分的 Integral应该是一个外代数多项式，是 dx，dy的多项式，乘法是反对称 ，这样换变数完全可以对的，当然我只做了 2维的例子．高维是很明 显的，同样的．外乘法是妙得很呐，是不会有高次的，所以比较简单，平方一下 ，就是 0．(未完，待续) 本刊加入 万方数据一数字化期刊群"和 “中文科技期刊数据 库"的声 明 我刊现已入网“万方数据——数字化期刊群”和“中文科技期刊数据库”，凡向本刊投稿并录用 的稿件文章，将一律由编辑部统一纳入“万方数据～数字化期刊群”和“中文科技期刊数据库”，进入 因特网提供信息服务。凡有不同意者，请别投它刊，本刊所付稿酬包含刊物内容上网服务报酬 ，不再 别付报酬 。 高等数学研究编辑部 2002年 8月 维普资讯 http://www.cqvip.com 2 高等数学研究 STUDIES IN C0LLEGE MATHEM ATICS Vo1．6．No．1 M ar．。2003 目图 数学大师的风采。 — — 记陈省身先生讲授《微积分及其应用》(续一) 白承铭 (南开数学研究所 天津 300071) (IV)外 微 分 上面讲了这么样一种关系，甚至这关系还更要好，我们讲高等微积分的时候 ，一个重要的定理 是格林定理(Green’S Theorem)。就是说 ，假使你有个区域，在边界上的微分是可以变为区域上的微 分，是一个一重积分和二重积分的关系，这是个非常重要的关系。比方龚异教授有一本小书，讲到这 个关系，他认为这是整个微积分的基本定理 ，我是同意的。这样的关系现在通常写格林定理的时候， 往往是 写成有积分 ， 广 a a d l d + Bdy= ( 一 )dxdy． (1．9) j u工 oy 如果有一个 问题，有时候你可以只管 Integral，不要管其它，那么 Integral就是把一个一次微分式变 为两次微分式 ，这怎么变呢?公式定理是这样子：我就引入一个外微分，我们刚才讲 dx^dy是一个 多项式 ，是一个外代数的一个式子，就象我们普通多项式一样 ，不但如此，对于这样的式子，我们还 可以定义它一个微分 ， d(Adx + Bdy)一 dA ^ dx+ dB ^ dy— A，dy ^ dx+ B dx ^ dy (1．1O) 叫外微分(Exterior differential calculus)。外微分很简单，假设有 Adx+Bdy，它的微分就是微分它 的系数，也就是微分函数 。 与 B是 ，Y的函数 ，所以就微分 ，B。 的微分就是 A dx+A dy，B 的微分就是 B dx+B，dy，可是 A dx^dx 0就得到 d ^dx，第二项就得 B dx^d 。但是因为 乘法是反对称的，所 以就得( 一 ，)，这是格林定理里头 2重积分的系数 ，所以格林定理把单次积 分变成两次积分，它的 Integral实际上是个外微分。可以看出外微分是很妙的东西，因此你可以把 积分号丢掉，就说我们拿 d ，d 造一个外代数，对这个外代数有个外微分，外微分很简单，就是假 使微分各项的时候 ，其实是对每项系数微分 ，结果我得到一个多项式 ，这个多项式的次数高一个 。作 为函数就变为一次微分式了，所以次数高一个 ，因此就作为原来是 五次的话 ，得到一个 +1次的微 分式了。这个格林定理 中如何把曲线微分的微分式变为区域微分式 ，一重微分变为二重微分的公 式。这个就很好了，因为这里面有一个外代数 ，所以把这个微分式乘起来 ，用一个外乘法，微分的乘 法是反对称。然后呢，现在我有一个微分，它把 五次的外微分式变为 七+1次的外微分式，这样子就 把这个外微分式中间给了一个新的结构 ，可以微分，这个微分跟普通 的微分不一样，它是把 五次变 为 +1次 ，微分一般 地总是 加一 次 。 这个外微分是最早时候 Frobenius，Dauboux和我的老师 Elie Cartan引进来的。他们最初引进 这个观念是对于一次微分式，是 Frobenius，Dauboux引入的一次微分式。而 Elie Cartan是法国的 教授，是我的老师，他恐怕是二十世纪，也就是上个世纪最伟大的几何学家，法国巴黎大学的教授。 · 收稿 日期：2002—07—11 维普资讯 http://www.cqvip.com 第 6卷第 1期 自承铭 ：数学大师的风采——记陈省身先生讲授《微积分 及其应用》(续一) 3 我想这种教授很是模范，他不做别的活动，专做数学 ，时常功课是完全新的。有一年 ，他给了--r-J课 ， 是《解析力学 ))(Analytical Mechanics)，他把外微分的观念从 Frobenius，Dauboux从一次式的定义 推广到高次式 ，所以整个的外微分是 Elie Cartan引进来的，这是有用的东西。 这个外微分有奇怪的现象 ：是用两次之后等于 0。 d。一 0 (1．11) 即这个外微分用两次等于 0。我们要证明(1．11)，就是对无论一个 正次微分式 ，微分一次就变为 正+ 1次 ，两次就变为 点+2次微分式，它一定是 0。要证明这一点，我证明对于函数对了，就行了。所以我 要证明对于任意的函数 厂，把这个 d，外微分用两次，就等于 0，即dZf=0就行 了。那么为什么呢?因 为显然我要证明 d 一O，只要证明 d 作用在只有一项上对就行了，这是因为它是线性的，所以如果 线性一项有这个性质，那么整个的和就等于 O。那么一项的话 ，都是一个函数乘上一组 d ，我现在选 d ，，就是假定在高维，在 维 ， 就是 到 ，在高维时，如果有一个函数 厂，厂是 “，z 的一个 函数 ，对于这个 函数 ，用外微分两次，一定等于 0。事实上 ，因为外微分一次就得到 口 是 对 的一 个偏微分 ，那么再用一次呢，它的系数就是从 到 微分 口，，口 是 厂的对 的微分 ，所以这是 厂对 从 到 的二阶微分 ： d(aidx．)一蠹 d^x。 (1．12) oz． 这个函数对于 ， 是对称的。事实上我们知道一个 函数微分两次的话跟次序没有关系，是对称的。 如果一个对称的函数是 d ^d 的系数 ，而 dz^d 是反对称的，那么它就等于 0了。 d是一个外微分，是对外代数的多项式的一个运算 ，这个运算运用两次就等于 0了，这是一个 了不得的关系。因为几何上讲 ，假使你有一个 区域，你取这个 区域的边界，再取这个边界的边界，就 没有边界了。假使你取的边界是整个球，那么球没有边界 。所以几何上讲有一个运算求边界，求边 界的话，用两次，就等于 0。有一个区域的求一次边界是一个很好 的区域，即不再有边界了，这个几 何的性质跟外微分的性质是对偶的。求两次边界一定等于 0，这是个几何的性质；求外微分两次等 于 0，是个分析的性质 。这两个东西不是两个互不相关的东西，是完全对偶的，是一回事 。一个边界 通常用符号 a表示 ，边界两次等于 0，即 a 一0。它跟外微分是对偶的。这是一个了不得的几何关系， 了不得的数学上的关系，妙得不得了，因为求边界是一个几何的问题 ，更是一个整体的问题，一定要 拿整个区域乘上边界 ，但是求外微分是个分析的问题，是个局部的问题 。要外微分只要知道这个微 分式在一点附近的性质就有了。这一个局部的运算跟一个整体的运算有这样对偶的关系是很难得 的事情，是一个重要的几何现象，是重要的数学现象 。 为什么对偶呢?其实这就是格林定理的推广，就是 Stokes定理 。Stokes定理讲 ，假使有一个 区 域 ，把它封闭上， 是这样一个 正维的区域 ，所以它的边界就是边界 DA 。那么假使有一个微分式叫 做 口，它的次数是 k一1(dega=k一1)，于是我们就有这么一个关系：口在边界的积分等于 d口在 的 积分 ， ．f a一．f da 这是重要极了的定理 ，通常用 Stokes名义。Stokes是英国的应用数学家，你们大概在这个课中已经 听到 Stokes定理。Stokes定理就把两个普通的运算，一个是等于区域的边界的运算 ，一个是等于外 微分的积分 ，这两个有简单的关系。假使我们把外微分的积分写成这个关系， (DA，口)一 (△，da) (1．14) 这个外微分成一个矢量空间(Vector Space)，可以加减，这个区域也是另外一个矢量空间，也可以 维普资讯 http://www.cqvip.com 4 高等数学研究 2003年 3月 加减。假使这两个矢量空间经过积分 ，因此就有一个所谓的“对”(pair)，这个矢量空间的一点和那 个矢量空间一点连在一起是得到一个正数 ，得到一个数，那么 Stokes定理就是说这个 paring使得 对 △的作用的算子与外微分 d是伴随的(adjoint)，是对偶的“对”，这就是 Stokes定理的意义 。高维 时，及任意维时都是对的。龚异教授在他的小书里说，这个是微积分的基本定理。 从它就给出我们普通微积分的基本定理。因为假使 k----1，那么我们的区域是一个线段 ，从 n到 b的线段 ，这个线段就是 △，它的边界呢，是 b点减 a点。a在这里是一个函数 ，上次讲的 da是个积 分 ，在一维的情形就是用到直线上。因此在一维的情形 △是个线段，它的边界是 6一n，a是一个函数 ，所 以 da是 df，于是 (6一 a， )一 (A，df) (6)一 f(口)一 l df (1．15) J d 这就是说函数在 b点的值减去函数在 n点的值等于 d 在这线段上的积分，这个就是所谓微积分的 基本定理 。也就是说 右边是从 a到 b积分 d ，左边就是 (6)--f(a)，这 就是我们的基本 定理 ，所 以 Stokes定理是微积分的基本定理在高维的推广。因此在多元的微积分里头也是个进步，非常有用 ， 因为外微分包 含很多 材料 关于××同志的政审材料调查表环保先进个人材料国家普通话测试材料农民专业合作社注销四查四问剖析材料 。 有一个公式 很容易证 明的 ，就是 你把两个外微 分的式子 a跟 卢相乘 ，而求 这个的外微分 ， d(口A卢)一 da A 卢+ (一 1) 口A d卢， (1．16) 这 个公式很 容易 证 明 ，因为 简单 地只要 假定 a和 卢都单 项就行 了。这 是 由于对 于 a和 都是线 性 的。假定它们都是单项的，就可以写成 dx “，dx ，⋯，dx ，前头乘个函数一算就可以得到了。所 以 它们这个乘法之间和外微分有这样一种简单的关系。 这个关系不但如此 ，还可以更远的，因为假使有一个运算 ，它的平方等于 0，这是很不得了的， 这个就可以造一个除法 ，有个商(quotient)。这样得到一个除法 ，现在叫做同调(homology)。现在许 多数学的发展都是有个运算 ，加两次等于 0，你就能造一个 quotient，怎么样呢，什么叫 quotient呢? 就是 你把所有 的满足 da一0的 a，被所有 dflA~B来 除 ，即 {口Ida一 0}／d卢 (1．17) 要是 a=dfl的话 ，因为 d。一0，所 以 da=O。因此你取 所有 的所谓 的闭形式 (close form)，被 可 以写 成 d什么的东西来除，就得到在数学里头用一个唬人的名字叫 homology。也就是取所有的 k次的微 分式 ，它们是封闭的(被 d作用为 0)，被所有的d卢的除，造一个商结构，这个商结构就叫做 homolo— gy o 你可以用到这个 d，也可以用到这个边界。用到边界的，历史上，是在拓扑里头 ，先有用边界的， 因为用的是 a的 homology叫上同调(cohomology)。这是 由于历史的关系，名字用掉了，所以叫 co— homology．这个很厉害 ，假使你有一个流形，它是紧致的，它的cohomolgy form是有限维的，这个有 限维的维数叫这个空间的 Betti数(Betti Number)。这是拓扑的内容，单学微积分 ，可以不必去管 ， 不过这个领域整个的有重要的发展，是近来数学的发展基本内容，当然很要紧了。你有一个很大的 空间 ，所有微分式组成的空间大得不得 了，它有结构，你可以加减，也可以求外微分 ，大得不得了，然 后呢，它有些几何的性质 ，取 quotient，这个 quotient是有限的，这个有限有个好处，得到数 目有限， 是说有限维 的维数是多少 。得到一组数，这组数 目就是这个空间的重要性质，因为得知 Betti数是一 个整数，有一群整数很要紧，比方说 ，球面，球面有这种 Betti数 ，环面也有 Betti数 ，它们是不一样 ， 下面搞拓扑的人想法要证明这种 Betti数是拓扑不变量，因此拓扑在数学的运用中就要紧了。(本讲 完) 维普资讯 http://www.cqvip.com Vo1．6．No．2 Jun．，2003 高等数学研究 STUDlES lN C0LLEGE MATHEMATlCS 5 豳 指数与对数 函数’ — — 陈省身先生《微积分及其应用》之第二讲(2001．10．19) 编者按 本刊上两期(总第 94，95期)刊出了白承铭同志“数学大师的风采——记 陈省身先生 讲授《微积 分及 其应用 》”一文的最初 部 分 ：对这 次 系列演讲的 简介 ，以及 陈先 生演讲的“第一讲”。应 读者要求，本期继续刊出“第二讲”，讲稿 由白承铭、宋敏、云保奇、赵志根等同志记录整理，未经陈先 生寓 目。刊 出时只个别作 了文 字性 处理 。 (I)本课 的计 划和 目的 还有几分钟，我想趁这个机会讲一讲我的计划和 目的。我这个课的课时是 8个小时，但微积分 大得不得了，微积分的范围很广 。不要说 8个小时，就是 80个小时也讲不完。所以我当然只能讲个 大概 ，尤其是介绍整个的有一些意义的问题。至于详细的情形我没法去多讲。不详细的定义或者证 明，我想你们 回去看一看 自己的书，大概在书里找得到。也有我讲的范围和内容是书中没有的。 我觉得应该提一提微积分整个的影响或者是在哪些方面向前发展。可以说 ，微积分向前发展大 概有两个最重要的方面。一个是在几何的应用。微积分在微分几何的应用，最早是 Gauss。Gauss也 许 不是最早 的 ，应该还有 别的人 ，如 Euler，Monge等人 。不过 ，我 想 Gauss是 l9世纪世 界最 伟大 的 数学家，数学在那时候，全世界也就数西欧了。因为这个原因，德国数学在 19世纪是全世界最好的。 那 时，不但有 Gauss，还有 Gauss的影 响及其学生。Gauss最要紧的学生就是 Riemann。因为有 Gauss和 Riemann，德国的数学就领先 ，领先的意思就是大家跟着他的方向去发展。 在几何上应用的发展是很多的。当年 Einstein曾说过物理现象就是几何现象 ，以此发展他的广 义相对论。广义相对论然要用坐标，Einstein了解最初的坐标表示几何问题 ，希望坐标(x，y)有几何 的意义。当一个物理学家觉得应该有几何的或物理的意义时，他做起来才比较合理。不过 ，Einskvin 慢慢了解这个做不到，因为空间呢，来得比较复杂，它允许任意坐标 ，允许坐标的任意选择 ，因此也 允许坐标变换 ，这就是我们现在所叫的流形 。流形的概念是空间概念的推广 。本来用的是 Euclid空 间或者非欧空间等只有几个空间，现在推广的流形就整个推广了。推广了以后 ，整个的空问观念在 物理上影响向前发展了。因此几何里头要描写物理现象就需要几何新的概念。除了流形之外 ，还有 纤维丛的观念。在下面的课中，我想稍微跟大家讲一讲几何方面的发展。 微积分还有一个发展，最要紧的是复数。很奇怪的，普通的数 日是实数 ，但在实数域上， + l =0就没有解。在复数域上，我们不但使它有解 ，并且复数有非常巧妙的性质，有很多现象都被放在 复数里头了。复数与实数一样，有运算的规律，你用这个规律之后，复数代表了很多现象。我们以后 会看到在复数里头的这些 内容。所以，数学要应用 ，我们这个课是应用数学，要学会应用。要应用的 话 ，会发现复数很要紧。因此，复变函数论在 19世纪的发展是数学里头最要紧的，是一个比其它方 面的发展来得更要紧一些的发展。最后，我得留点时间讲讲在复数方面的应用。复数不只是使得对 于任一个方程式有解 ，并且利用复数，很多数学问题来得简单。复变函数论比实变函数论简单多了。 实变函数论有许多抽象的问题，其实与实际不大有关系，不过当时也需要罢了。 所以这是两个题目，我要在这个课程里头把它们想办法讲一点，使得大家能了解微积分在它们 上的应用是最重要的两个方向。 - 收稿 日期：2002—07—11 维普资讯 http://www.cqvip.com 6 高 等 数学 研究 2003年 6月 (I)关 于 Stokes公式 的补充 上次讲到了微积分的基本定理 ，有时候就写成这种形状 ： f r l f(x)dx— l厂(z)l：一L(1f(x)dx)=厂(z)， (2．1) J口 J J 即这两个式子相等。很惭愧地，当年我在南开思源堂念微积分，我自己就有一个问题，为什么这就是 基本定理 ，始终不懂 。很不幸地，你们大概现在也还有这个习惯 ，不敢问问题 。我那时也不敢问问题 ， 跟你们现在一样，始终不懂。过了很多年 ，才知道(2．1)的确是基本定理。这是因为(2．1)说明了微 分与积分的关系。 这个式子的两端 ，一边是个定积分，是一个面积 ，右边是微分相反的运算，所以右边的积分是一 个不定积分。换句话 ，是一个函数，它的微分是 厂( )。也就是说，它的左边是积分，右边是微分。那 么这个基本定理就说明了微分与积分的基本关系。大致上说，微分是积分的一个反运算，就是要找 一 个函数，使得它作为已知函数的微分。 现在的问题是，到了高维怎么样?这个基本定理是一个变数的。现在假设多变数，会怎么样?这 就是多变数的微积分。有一个 n维的空间，， 维下来就有许多不同的维。多变数的微积分基本观念 是个重积分 ，在平面上是一个二重积分，在高维的空间是多重积分。我上次讲 了，积分有一个积分的 区域，积分是在一个区域里求积分 ，然后还有一个算子 ，主要讨论积什么东西，这一个函数是什么东 西。我上次讲这个算子是一个外微分 ，外微分就是 dx，dy这些微分乘起来 ，不过这个乘法是反对称 的。反对称妙极了，因为反对称之后 ，一个 dx不能够存在两次，即(d )。=0。一个要紧的问题是什 么叫 dx，这个问题比较复杂 ，讲起来 比较长。这个问题也就是什么是一个函数的微分。我们假定 dx 是确定的，有意义的。以 dx为变数造一个多项式，这个多项式的乘法是反对称，这种反对称乘法的 多项式叫外微分式，外微分式就是指积分的一个对象，在一个区域里积这个外微分 。这也可以看作 一 种配偶(pair)，有一个区域，再有一个积分和，放在一起 ，积分有一个值，这个值是一个数，这两个 是配合的结果 。 有了这个多重积分的观念之后，多变数的微积分基本定理，就是所谓的 Stokes定理。Stokes定 理是一个几何现象与一个分析现象联合的结果。在高维时候 ，例如在 维的空间，假使存在一个 k 维的区域，它可以是低维的任意区域。有这样一个 k维区域，例如平面上一个二维区域，空间中一个 曲面等，很明显，这个低维区域有一个边界。区域有边界的观念是代数拓扑一个基本观念 ，你要研究 它的边界关系，一个深刻的研究就引到所谓 (下)同调群(homolgy)。同调群是代数拓扑研究空间性 质的最基本的一个观念。现在有一个 k维区域 △，它的边界写成 a△。另外有一个( 一1)维外微分 ， 外微分式子是 一1次 ，微分以后为 k次。所谓 Stokes定理，就是说对于 是一个 一1维外微分 式 ，它的外微分 dto在 △上积分等于把 在 △边界上求积分，即 e e l dto— l ， 是外微分式。 (2．2) J J aA 这个就是所谓 Stokes定理。这是多变数微积分的一个基本定理。在龚异先生写的书中，也特别提出 这个观点。这个基本定理的确包括我上面讲的那个基本定理作为特别情形 。假使这个空间是 1维 的，在 1维的情形 ，区域是线段，它的边界就是线段的两个端点，两个点。求 在两端点的值(其中 为那个不定积分)就是我在上面基本定理的公式的右边函数在 b的值减去在 n的值，就是在边界上 的积分，而左边就是在这个线段的积分 ，就是从n到b的定积分 。所以，不难看出来 Stokes定理在 直线(1维)的情形就是微积分的基本定理。 那么 2维的情形呢?2维就是很有名的所谓 Green定理 ： 维普资讯 http://www.cqvip.com 第 6卷第 2期 陈省身 ：指数与对数函数 7 I(P 一Q )dxdy— I Pd +Qd (2．3) J J 2维情形时 ，区域是 2维的，它的边界是曲线 。于是(2．3)就是平常的 Green定理，你们都知道 ，都很 熟悉 。所以Stokes定理在平面上的特别情形就是 Green定理。 Stokes定理有不同的名字，看你用哪一本书。不过现在比较通行叫Stokes定理。那么还有另外 的一个特别情形 ：在三维空间，假设有一个曲面，它是一个三维区域的边界，那么此时 Stokes定理 就写成 r r I(P +Q +R：)dxdydz— IPdydz+Qdxdz+Rdxdy。 (2．4) J J 你们在学高等微积分已经碰到了，一个二次式在边界(曲面)上的重积分等于它的三次式在区域里 头的三重积分 。这 是 Stokes公式 的另外一个情 况 。 整个的情况在高维都对。有一个基本性质，就是外微分 d用两次一定等于 0。假使 是一个外 微 分式 ，那 么 d(d( ))一 0 (2．5) 这个方程非常容易证明。对于 60，外微分式显然是线性的，所以你只需要把 60当成一个单项来证明 就行了，这是因为你每一项的 d 都等于 0。于是对于单项的情况 ，单项是一组 d乘上一个函数。显 然，只要证明一个函数用两次 d，它一定等于 0就可以了。我底下算了一下 ，在一个 ／r／维的空间中， 它 的 坐 标是 ( 一， )。有 一 个 函数 Jr是 的 函数 ，d一 次 的 话 ，就 是 普 通 的 偏微 分 ，也 就 是 f d 。再微分一次，得N--阶偏微分 ，再乘 dx ^ dx 。这个二阶偏微分 』是对称的，这是因为求偏 W 微分与次序无关。因此这个系数是对称的，而我们这两个 d．r．，dx』的乘法是反对称的 ，显然两次微 分之后就等 于 0了 ，即 d(d厂)一 d(f~dx )一 f,idx，^ dx．一 0 (2．6) 这里，因为固定了 与 ，就得到 dfij—d ，但是因为 厂是对于这个指标是对称的，所 以就是 0了。 因此 上面证 明了对 于函数 的 d。一0，这就可 以了 。 Stokes定理可以说区域与外微分是一个对偶，使得求边界跟算这个 d这两个算子是 adjoint， 是对偶的算子 ，这是个了不得的结果 。因为求边界，是一个几何运算，其实求一个区域的边界是一个 完全的几何运算 ，是整个的区域的一个性质。求外微分 d是一个局部的分析的运算 ，是完全局部的， 只与这一点的附近有关系，所以一个是整体的几何算子 ，一个是局部的分析算子，它们是对偶的。 Stokes定理说它们是对偶的，所以这是一个重要极了的定理。 我可以下面稍微讲得多一点。空间不一定是普通的 Euclid空间，也许空间拿 做坐标为所谓 的流形 。假设空间是一个流形的话 ，也可以讨论它的外微分式，例如 k次的外微分式。一个五次的外 微分式加另外一个 k次外微分式还是一个 k次的外微分式 ，于是所有的 k次的外微分式成为一个 我们所谓的矢量空间(vector space)，在其中可以进行加减。现在我就讨论所有 d一0的这种外微分 式，即外微分为 0的那些外微分式 。在数学上，我们称这种外微分式是封闭(close)的。这些封闭的 外微分式构成矢量空间，因为两个 close外微分相加仍为封闭的。设 一 { I 是 七次外微分式 }，C 一 {tOl ∈ F ，dw一 0} (2．7) 那么我取 60，60是一个封闭的外微分式。现在我把 C 当成一个群，这个群有个子群，这个子群是什 么呢?它就是所有的k一1维的外微分式子用 d来作用。因为 d 2—0，所以它就一定是 close的。因 此在所有的封闭的k次外微分式构成的 C 中，所有 d乘上一个 一1次外微分式成为一个子群。于 是整个群用子群一除，在群论里头说它是一个商群(quotient)。这个群有个名字叫de Pd~am groctp： 维普资讯 http://www.cqvip.com 8 高等数学研究 2003年 6月 H 一 C ／d (2．8) 这在拓扑上非常重要。就是说 ，外微分式多得不得了，甚至于 close的外微分式也多得不得了，而在 你除 d卢之后，在很多情形之下 ，就变成一个有限维的矢量空间。那么这个有限维空间的维数是这 空间的一个重要的性质 ，通常叫做 Betti number，这是代数拓扑中最浅的一个基本观念，也就是我 们讨论外微分式可以决定它的有些拓扑的不变式。 (I)指数和对数 函数 我现在讲另外一个问题。上次有人讲 ，对于跟这个课有些困难。我讲的这些题 目不一定都有关 系，你如果对某一个题 目有困难的话 ，就听我讲一个别的题 目，所 以不一定受多少影响。现在我换个 题 目。微积分既然是研究函数的性质，用微积分来表示它的性质 ，那么函数是多得不得了的。函数 有种种的性质，而有一些函数，比较简单 ，因此也比较重要 ，并且许多应用上总碰到。 有两个特别重要的函数是指数函数(exponetial function)与对数函数(1ogarithm function)。这 两个函数有什么性质呢?这是非常重要的函数，我们都晓得头一个的微分式。而 的微分是等于 1 ( +1)．z”。因此 丁 的积分是等于 ，这里假设 +1≠0，即 ，l T 1 ，| 广 1 、 — 丁 一 (”+ 1) — I dx一 —÷ ， + 1≠ 0 (2．9) u l』 J 月 'r- 1 如果 不等于一1，普通人到这个时候就结束了。因为你知道这个公式是什么时候成立，这个公式在 =一1时不对 ，这就够了。这是很 自然的。不过，如果这时候要停止的话，你就没有用到函数积分的 重要的定理，因为 一一1时，这个积分才有意思 !所以，假设 一一1，我就取对 dx／x的积分。因为 我不取 一0，所以我这个积分假定它从 1积到 ，这个积分是要紧极了，有意义极了。这个积分，叫 它 logx： rx ，l— I 一 logx， (2．10) J l 51： 这就是对数函数。下面我讨论对数 函数的最重要的性质 。假使我把 z乘常数 口对 logax求微分 。由 于 logx的微分等于 a／x，于是 logax也是等于 a／x，所以这两个函数差一个常数 C： ，I 1 1 log(口z)一壶口=土．aT logax—logx+C· (2·11) 假使我将 一1代入(2．11)，此时 log1—0，这是因为积分是从 1到 z所以从 1到 1积分当然是 0。 于是我就证到常数 c就是 loga，因此就得到 log这个函数的基本性质 ：log函数用到 口z的话等于 logx+ loga： log(ax)一 loga+ logx (2．12) 换句话说 ，对数是使得乘法变为加法 ，这是从前用对数表计算的一个基本性质。现在因为有计算机 了，大概不大用了。不过 log这个函数非常要紧，因为用到了我们这个基本的性质(2．12)。 那么由这个对数的函数立刻就引进指数的函数，指数函数是对数函数的反函数。假使 y==logx 的话，就按定义， —e ，即 Y — logx,--*x — P (2．13) 因此它们互相是相反的函数，e 是个指数函数，其与 logx一起有加法与乘法关系的公式 ：logx把乘 法变为加法，指数函数也就把加法变为乘法了。一个把乘法变为加法，一个倒了过来，它就把加法变 为乘法，这是一个简单的公式 ：． 一 t?'re (2．14) 我这 里有个证 明 ： 维普资讯 http://www.cqvip.com 第 6卷第 2期 陈省身 ：指数与对数函数 9 e + = elOKⅣ+ ogv = Iog帅 = ， = ex， = e (2．15) 这些都是很容易的计算。我现在要证明指数函数它的微分就是它 自己，即e 对 Y求微分就等于 ． 这个证 明为 d 一誓 一 一z—exP ， (2．16)d z dV V 一 这里把指数函数写成 expy，当然也可写成 e ．这时假定所有的数都是正的，所以没有什么 log存在 与否的问题 。于是 ，指数函数的微分就是它 自己，上面就给出了一个证明。大家也许记得 ，两个函数 的图是这个样子，一个是 log在 的区域中在 一0的附近越来越小起来 ，趋于负无穷。对数函数也 是一个增长的函数(increasing function)，不过它增长得非常慢。指数函数就增长得很快 ，它永远是 正的。这是我画的两个简单的图(graph)(略)，我想你们在任何微积分的书上都看到过这两个函数 的图。 指数 函数与对数函数是统一的函数 ，一个是另外一个的反函数 ，这个性质是非常要紧的，有奇 妙的性质。第一 ，指数函数的微分是它自己，因此 ，它有一个很简单的无穷级数，这个无穷极数是用 Taylor公式 展开的 。我 把 Taylor公式写一下 ： ／’( )一厂(“)十 (6一口)+ 鲁 (6一口) +⋯+R ， (2．17) 一 )(f) dR dt． (2．18) 一 l (f) _二 l一 ． (2． J u 、，‘ ▲ ， ： 我想这些你们都念过了。这个 Taylor公式把任意的函数展成一个无穷级数，a是一点 ，b是另外一 点 ，那么它可以展成(6一n)的一个多项式，后面有一个余项．这个余项是由积分(2．18)给出。Taylor 公式在一个余项的时候就是这个所谓中值定理(Mean Valne Theorem)．Tayloy公式就是中值定 理的高次的一个推广 。由Taylor公式，现在我们这个指数函数简单得不得了，因为微分下去都是它 自己，所以有一个无穷级数，很简单，我写为 e．r一1+ +者z。+⋯+者一+⋯， (2·19) 所 以这个指数 函数有一个很简单的展开，它有一个重要的性质，你这个数 目当然是正数，至少是实 数，我想有的时候你用一下复数的话，有很巧妙的性质! 同样的，我们知道 sinx与 COSX有另外这两个展开： sinx—z一寺 。+吉 。一⋯； (2．20) COSX一1一寺z +者一一⋯； (2·21) 你会发现，假使对 e ，将 改为 妇，其中 一一1。那么 就有个式子 ： ，= COSX + isinx (2．22) 我想很容易由(2．19)一(2．21)看出来有这样的公式。允许变数取复数的值，那么假使你用这个公式 的话 ，取 ．-r一丌，于是 eitr=一1。你们都知道这个公式。不过这是个很有意思的式子。因为这里头有 几个常数。大家注意的一个是 丌，另外一个就是 r。 是因为 Euler。Eulcr在 18世纪的那个时候 ，时跟现在不太一样 ，那时世界就是西欧。世界有 科学的发展 ，就是在西欧。大家承认有一个最伟大的数学家，Euler是那时被承认的最伟大的数学 家。所以有人做了国王之后 ，在他的朝廷里愿意有个伟大的数学家，于是 Euler就被请到圣彼得堡。 他就写了很多书。这个 Euler是很有意思的，大概写的文章是没有人超过的。他写了几百本 。他有 维普资讯 http://www.cqvip.com 10 高等数学研究 2003年 6月 好多小孩，所以他是抱着小孩子，孩子坐在他腿上 ，做他的数学。我跟他曾经发生一个关系，就是我 们这个南开图书馆要不要他的全集。他的全集要几千块美金，几百本 ，很抱歉的，后来我决定不买 了，太贵了并且恐怕没有人看了，文章都是拉丁文的，