近世代数习题拓展

68、设G是一个群，H是G的一个子群，a是G中的一个n阶元素。证明：存在最小正整数m使 且 |n。 证：由于|a|=n，故 从而存在最小正整数m使 。又令 ，则由于 和 ，得 但m是使 的最小正整数，故必r=0,从而 |n。 75、设H，K是群G的两个子群。证明： 证：设 则任取 令 由于 故 从而 又由于 故 即HK中任二元素之积仍属于HK。故 反之，设 任取 则 令 于是 故 同理可证 因此， 57、证明：交换群中所有有限价元素作成子群。对非交换群如何？ 证：设H是由交换群G中所有有限阶元作成的集合。显然 故H非空。又若 设|a|＝m，|b|=n。因G可交换，故 从而 又因| |=|a|,故 因此， 对非交换群一般不成立。例如，Q上全体2阶可逆方阵八成的乘群中，易知 ， 的阶有限，都是２，但易知其乘积 的阶却无限。即其全体有限阶元素不能作成子群。 76、设G是一个阶数大于2的群，且G的每个元素都满足方程 EMBED Equation.3 证明：G必含有4阶子群。 证：证法１.由于G中每个元素都满足方程 而e的阶是1，故G中除e外的元素的阶都是２，从而每个元素的逆元均为自身。 由于G的阶大于２，在G中任取 则由上所述， 是G中4个不同的元素。由于G中每个元素都满足方程 所以G是一个交换群，故 是G的一个4阶子群。 证法2：在G中任取 则由于 故 又因G的阶大于2，故在G中存在元素 而 又因G是交换群，故 106、证明：若群G的 阶子群只有一个，则此 阶子群必是G的正规子群。 证：设H是群G的一个 阶子群，则对G中任意元素 也是G的一个阶子群。事实上，任取 令 则 故 又当 时显然 故 也是G的一个 阶子群。但由 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 设，G的 阶子群只有一个，故 从而 128、证明：对任何固定的正整数 ，互不同构的 阶群只有有限个。 证：由 定理知，任何 阶群都同 次对称群 的一个子群同构，而 是 阶有限群，它只有有限个子群，故互不同构的 阶群只有有限个。 11、设G是群， 且 证明：对每个 都有 证明：由于H是G的正规子群，因此有商群 又因为 所以 的阶为 于是对任意的 EMBED Equation.3 因此 70、设G是一个 阶交换群。证明：如果是 一个奇数，则G有而且只有一个2阶子群。（期中考试题） 证：显然，即要证G有且仅有一个2阶元素。 由于阶数大于2的元素在G中成对出现，而单位元 的阶是1，又G的阶是 ，故G中必有2阶元素，且有奇数个。 设 是G的一个2阶元素，则 便是G的一个2阶子群。如果G另有2阶元素 则 便是一个异于H的子群。由于G是交换群，故 是G的一个4阶子群，于是由 定理知，|HK|︳|G|,即4| .这与 是奇数矛盾。故G只能有一个2阶元素，即只能有一个2阶子群。 69、设H是群G的一个子群， 又 其中 是两个整数。证明：若 ，则 （期中考试题） 证：因为 故存在整数 使 于是有 但是由题设 而H是群G的一个子群，故 58、试求出三次对称群 的所有子群。（期中考试题） 解：易知 的以下六个子集 对置换乘法都是封闭的，因此都是 的子群。 下证 仅有这六个子群。 设H为 的任一非平凡子群，则由于H的阶是 的阶的因数，故只能H的阶为2,3. 当H的阶为2时，H中除单位元 外，另一个元素只能是一个2阶元。但 的2阶元只有三个，即 ，因此，H只能是 当H的阶为3时，由 定理知，H中元素的阶必为3的因数，即只能是1或3，因此，此时H中除单位元外，另两个元素必定都是3阶元。但 中的三阶元有且仅有两个，即 因此，此时只能 综上所述可知， 有且仅有以上六个子群。 _1398628258.unknown _1398714066.unknown _1398716340.unknown _1398717073.unknown _1398800863.unknown _1398801017.unknown _1398801691.unknown _1398802280.unknown _1398802324.unknown _1398802896.unknown _1398803149.unknown _1398803182.unknown _1398802929.unknown _1398802821.unknown _1398802204.unknown _1398801738.unknown _1398802019.unknown _1398801708.unknown _1398801550.unknown _1398801568.unknown _1398801586.unknown _1398801178.unknown _1398801462.unknown _1398801487.unknown _1398801117.unknown _1398800939.unknown _1398800958.unknown _1398800892.unknown _1398717285.unknown _1398800823.unknown _1398800770.unknown _1398800813.unknown _1398717337.unknown _1398800648.unknown _1398717213.unknown _1398717267.unknown _1398717129.unknown _1398717143.unknown _1398716884.unknown _1398717050.unknown _1398716897.unknown _1398716809.unknown _1398716861.unknown _1398716700.unknown _1398716708.unknown _1398716377.unknown _1398715688.unknown _1398716206.unknown _1398716280.unknown _1398716295.unknown _1398716254.unknown _1398715946.unknown _1398716180.unknown _1398715795.unknown _1398714198.unknown _1398715576.unknown _1398715648.unknown _1398714234.unknown _1398714110.unknown _1398714177.unknown _1398714088.unknown _1398630772.unknown _1398631077.unknown _1398713890.unknown _1398714002.unknown _1398713771.unknown _1398713246.unknown _1398713384.unknown _1398630881.unknown _1398630955.unknown _1398630804.unknown _1398630316.unknown _1398630570.unknown _1398630738.unknown _1398630499.unknown _1398629920.unknown _1398630284.unknown _1398628296.unknown _1398627039.unknown _1398627855.unknown _1398628033.unknown _1398628135.unknown _1398628207.unknown _1398628097.unknown _1398627906.unknown _1398628010.unknown _1398627887.unknown _1398627653.unknown _1398627705.unknown _1398627773.unknown _1398627663.unknown _1398627428.unknown _1398627611.unknown _1398627537.unknown _1398627353.unknown _1398626229.unknown _1398626520.unknown _1398626649.unknown _1398626874.unknown _1398626081.unknown