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07 空间问题的基本理论.ppt

07 空间问题的基本理论

我是影子的影子
2012-06-30 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《07 空间问题的基本理论ppt》,可适用于高等教育领域

第七章空间问题的基本理论*TheoryofElasticity弹性力学目录§平衡微分方程§物体内任一点的应力状态§主应力最大与最小的应力§几何方程及物理方程§轴对称物体的基本方程在空间问题中应力、形变和位移等基本知函数共有个且均为x,y,z的函数。空间问题的基本方程边界条件以及按位移求解和按应力求解的方法都是与平面问题相似的。因此许多问题可以从平面问题推广得到。在点P附近取一微元体如图所示P点的应力为:体力分量为:由微元体的平衡条件建立平衡微分方程。将上式同除以dxdydz化简得:同理可得另两个方程一并写为简记为()另外由三个方向轴的力矩平衡:剪应力互等定理可得到:一、任意斜截面上的应力对P点取如图所示的四面体(微元体)平面PBC、PAC、PAB分别与x、y、z坐标平面平行斜截面ABC的外法线方向为n'其方向余弦分别为:P点的应力:斜截面的应力按坐标分解设斜截面ABC的面积为dS四面体的体积为dVPBC的面积为ldSPAC的面积为mdSPAB的面积为ndS。由四面体的平衡得等式两边同除以dS有因为为高阶无穷小可略去。得()此即任意斜截面应力在坐标方向的分量的柯西公式,可简记为。斜截面的正应力和切应力()同理可得另两式一并写作:用矩阵表示:斜截面上的剪应力n:因为斜面上全应力p:()结论:则可确定过该点任意斜截面上的正应力n和剪应力n。在物体内任一点如果已知其六个应力分量:表明:六个应力分量完全确定了一点的应力状态。二、空间问题的应力边界条件()将()式中的应力分量改为面力分量成为应力边界条件:假设n’面(l,m,n)为主面则此斜面上斜面上沿坐标向的应力分量为:一、主应力的大小因为可将式(a)改写为:上式是求解l,m,n的齐次代数方程。由于l,m,n不全为所以其系数行列式必须为得展开即得求主应力的方程,二、主应力方向设主应力的主向为。代入式(a)中的前两式整理后得再求出及。由上两式解出。然后由式得出同理可求出:l、m、nl、m、n。可以证明三个主应力方向互相垂直。三、应力不变量主应力公式为:主应力公式为:根据高等代数上式各项的系数不随坐标变化称为应力不变量:式(g)中的各式左边是不随坐标选择而变的而右边各项虽与坐标的选择有关但其和也应与坐标选择无关。所以分别称  为第一、二、三应力不变量。这些不变量常用于塑性力学之中。四、关于一点应力状态的结论个坐标面上的应力分量完全确定一点的应力状态。只要个坐标面上的应力分量确定了则通过此点的任何面上的应力也完全确定并可求出。()一点存在着个互相垂直的应力主面及主应力。()个主应力包含了此点的最大和最小正应力。()一点存在个应力不变量()最大和最小切应力作用于通过中间主应力、并且“平分最大和最小正应力的夹角”的平面上。空间问题的几何方程可以从平面问题推广得出:一、几何方程()二、位移边界条件若在边界上给定了约束位移分量则空间问题的位移边界条件为()()其中由于小变形假定略去了形变的、次幂。三、体积应变()四、空间问题的物理方程应变用应力表示用于按应力求解方法:()其中称为体积应力。称为体积模量。将上式第一列三式相加得称为体积应变。()应力用应变表示用于按位移求解方法:()空间问题的应力形变位移等个未知函数它们都是坐标(x,y,z)的函数。这些函数在区域V内必须满足个平衡微分方程个几何方程及个物理方程并在边界上满足个应力或位移的边界条件。结论:结论在空间问题中若弹性体的几何形状、约束情况以及所受的外来因素都对称于某一轴(通过这个轴的任一平面都是对称面)则所有的应力、形变和位移也对称于这一轴。这种问题称为空间轴对称问题。不为零的量:为零的量:一平衡微分方程()二、几何方程:三、物理方程:()将上式第一列三式相加得其中体积应变为:()体积应力为:()用应变表示应力则为:边界条件:一般用柱坐标表示时边界面均为坐标面。所以边界条件也十分简单。在柱坐标中坐标分量的量纲、方向性、坐标线的性质不是完全相同的。因此相应的方程不具有对等性。例题试求图示空间弹性体中的应力分量。(a)正六面体弹性体置于刚体中上边界受均布压力q作用设刚性体与弹性体之间无摩擦力。(b)半无限大空间体其表面受均布压力q的作用。解:图示的(a),(b)两问题是相同的应力状态:x向与y向的应力、应变和位移都是相同的即    等。  对于(a)有约束条件    对于(b)有对称条件    。则可解出:而两者的    因此由物理方程:例题 图示的弹性体为一长柱形体在顶面z=上有一集中力F作用于角点试写出z=表面上的边界条件。

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