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秦汉时期的数学

zhangshulin 2012-06-28 评分 0 浏览量 0 0 0 0 暂无简介 简介 举报

简介:本文档为《秦汉时期的数学doc》,可适用于人文社科领域,主题内容包含秦汉时期的数学随着数学知识的不断积累以及对于零散的材料逐渐加以总结和系统化、理论化于是陆续出现了数学方面的专书。《汉书艺文志》记载有《许商算术》二十符等。

秦汉时期的数学随着数学知识的不断积累以及对于零散的材料逐渐加以总结和系统化、理论化于是陆续出现了数学方面的专书。《汉书艺文志》记载有《许商算术》二十六卷《杜忠算术》十六卷这是最早见于著录的数学专著。这两部书都已失传了。秦汉时期传留至今的数学著作和涉及数学方法较多的著作有著名的《九章算术》和《周髀算经》。此外还有近年出土的简书《算数书》。这些书中包含了算术、代数和几何等丰富的数学内容诸如复杂的整数和分数四则运算比例问题盈不足术开平方和开立方术方程术和正负术面积和体积问题勾股算术和勾股测量术等等其中有不少算法是具有世界意义的先进成就。这些成就表明秦汉时期已经形成了独具特色的中国古典数学体系。  一、“九数”  根据《周礼地官大司徒》记载周朝设有称为“保氏”的官员专门负责向贵族子弟传授所谓“六艺”。数学是六艺中的一门课程共包括九项内容称为“九数”。但什么是“九数”现已难于考证。东汉郑玄注释《周礼》引郑众说“九数”:方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要今有重差、夕桀、勾股。郑众所称“九数”中的“均输”实际上是西汉时的赋税制度不可能是《周礼》九数的内容。但从二郑注释可以了解到西汉数学大致包含方田、粟米等九个方面而重差、夕桀、勾股则是数学上的新的发展。上述九项内容与《九章算术》的篇目基本相同。“旁要”和“夕桀”两项今已不知所指。有人认为“旁要”指简单的勾股问题“夕桀”二字系传抄有误应为“互乘”即解线性方程组的一种方法。东汉一些数学家整理数学著作用“衰分”代替“差分”用“勾股”代替“旁要”于是编写成为著名的《九章算术》。正如刘徽所说“周公制礼而有九数九数之流则《九章》是矣”九章的名称无疑是由《周礼》九数演变而来的。  “赢不足”《九章算术》作“盈不足”后皆依此。又亦有人将“今有重差”断开作“旁要、今有、重差、夕桀、勾股”把“今有”作为一种数学方法。刘徽《九章算术注》原序钱宝琮校点本《算经十书》上册中华书局年版。二、秦汉简牍和《算数书》在居延、武威、临沂银雀山、云梦睡虎地及江陵凤凰山等地出土的大批秦汉简牍中可以找到相当多的与社会生产和生活密切相关的数学计算问题但就数学方法而言仅有九九表整数和分数的算术运算面积、体积和容积的计算等。这些方法一般都很简单尚不足以反映秦汉数学的全貌。年月在湖北江陵张家山出土了一批竹简其中有数学著作《算数书》。据推断《算数书》抄写于西汉初年(约公元前二世纪)成书时间应该更早。这是一部比较完整的也是目前可以见到的中国最早的数学专著。全书采用问题集形式共有六十多个小标题九十多个题目包括整数和分数四则运算各类比例问题各类面积和体积问题等。其中有些内容(如“合分”、“少广”等)与《九章》相近甚至文句都很相似说明二书间可能有某些传承关系有些内容(如“相乘”、“增减分”等)是《九章》所没有的。在张家山简书汉律中还发现有关于“均输律”的简文。过去一般认为汉武帝太初元年(公元前年)郡国始置均输官施行均输法《九章算术》中的均输问题应是在此之后写成的。现在看来这一论断需要进行修改。这部比《九章算术》还早的竹简《算数书》的出土是中国数学史上的一项重大发现具有十分重要的意义。  三、《周髀算经》《周髀算经》是著名的《算经十书》之一主要是一部解释盖天说的天文学著作大约成书于公元前一世纪而其中很多内容可能要早得多。在数学方面《周髀》记述了矩的用途勾股定理及其在测量上的应用其中包含了相似直角三角形对应边成比例的定理。《周髀》开篇就以商高回答周公问题的形式提出“故折矩以为勾广三股修四径隅五”即勾股弦这是勾股定理的一个特例。接着又在陈子回答荣方的问题中提出“以日下为勾日高为股勾股各自乘并而开方除之得邪至日(太阳到观测者的距离)”即ab=磾这是勾股定理的普遍形式。据研究陈子可能是公元前七到六世纪的人。在西方这个定理称为“毕达哥拉斯定理”把勾股定理的发现归功于公元前六世纪的古希腊数学家毕达哥拉斯。《周髀算经》中测量太阳高远的陈子测日法是勾股测量术的发展又是重差术的先驱比起西方“测量之祖”泰勒斯测量金字塔的成就是毫不逊色的。《周髀》中还有开平方和等差级数等以及相当复杂的分数运算用以解决古“四分历”的计算问题。唐代国子监添设算学馆主要学习十部算经《周髀》即是其中之一。对于研究古代天文学史和数学史而言《周髀》是传留至今的最早的宝贵文献。  四、《九章算术》《九章算术》的成书中国古代数学名著《九章算术》是我国最早的传世数学专著。《九章算术》与《周髀算经》一样不是一人一时写成的。它经历了多次的整理、删补和增订是几代数学家共同劳动的结晶。大约成书于东汉初年(公元一世纪)。《九章算术》采用问题集形式列举了个数学问题及其答案并在若干具体问题之后叙述这类问题的解题方法。全书分为下列九章:方田、粟米、衰(磾uī)分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。方田章是关于土地面积的计算包括有正方形、矩形、三角形、梯形、圆、环等面积公式以及弓形面积和球冠表面积的近似公式。后两个公式比较简单但误差很大。刘徽在《九章算术注》中曾提出用类似割圆术的方法推求弓形面积但未能给出更好的结果。在这一章中还有分数的四则运算法则和约分、通分、求最大公约数方法。在《九章》中把最大公约数称为“等数”求两个数的最大公约数要“以少减多更相减损”这种方法与欧几里得的辗转相除法是相同的后来在解决一次同余组等问题上获得了更重要的应用。《九章算术》在世界数学史上的贡献完整的分数运算法则在印度迟至七世纪才出现而欧洲则更晚。粟米章主要讲各种粮食交易折算的比例问题。所用方法称为“今有术”即在成比例的四个数中从三个已知数求第四个数的算法。在欧洲这种算法称为“三率法”。关于比与比例的思想古希腊就已经有了但把比例和三率法联系起来却是迟至十五世纪的事情。衰分章是比例分配问题即按等级分配物资或按一定标准摊派税收。在这一章中还有等差数列和等比数列问题但都用比例方法来解决。少广章讲的是已知正方形面积或正方体体积反求边长即开平方和开立方的方法。其具体运算过程是世界上最早的关于开平方和开立方法则的记载。在运算中要把算筹摆放几层相当于用分离系数法列出与求解二次和三次方程从而发展了筹算的位值制并开辟了求解数字高次方程的途径。少广章中还有从已知球体积求直径的问题给出一个误差很大的球体积公式。刘徽和祖氏父子在此基础上深入研究终于获得了正确的结果。商功章主要是各种立体体积的计算。这些问题大都来源于营筑城垣、开凿沟渠、修造仓窖等土木和水利工程实际。其中包括长方体、棱柱、棱台、圆柱、圆锥、园台、楔形体等都给出了正确的体积计算公式。缺点是圆周率取π=这个数值误差很大。根据刘徽对商功章的注释可以知道这些公式是通过具体模型的分解与合并来证明的这说明中国古代的体积理论有很高的水平和不同于西方数学的独特的处理方法。均输章是平均赋粟和徭役问题计算如何按人口多少、物价高低、路途远近等条件合理摊派税收和民工等。包括正比、反比、复比例、连比例、等差级数等数学方法。盈不足章属于盈亏类问题和算法。盈不足术是通过两次假设取值然后根据公式求出未知数其原理与现在求高次代数方程和超越方程近似解的线性插值法是相同的。在中世纪欧洲这种方法叫做“双设法”或“契丹算法”是欧洲符号代数学产生以前的一种主要代数方法。据考证古代阿拉伯数学文献里“契丹”一般指的是中国。因此不少人认为中国的盈不足术经阿拉伯传入欧洲在西方数学领域起了重要的作用。方程章讲的是多元一次联立方程组(线性方程组)问题及解法。这是中国古代数学的一项重大成就。用算筹表示多元一次联立方程组类似于由方程组各系数构成的矩阵其解法与现在中学代数中的消元法基本相同。古希腊和印度也有过一些特殊的联立方程组解法但没有一般解法远不如方程章的算法完整。而在欧洲提出同类问题要晚一千多年直到十六世纪才有了加减消元法。在这一章中还引入了负数概念并给出了正负数加减运算法则:“同名相除异名相益正无入负之负无入正之其异名相除同名相益正无入正之负无入负之。”负数的出现反映出对意义相反数量的正确理解从而实现了数的范围的一次新扩充。这一项杰出创造也是以中国为最早。印度于七世纪引进负数概念。欧洲十二世纪对负数有所认识而直到十六世纪才有比较深刻的理解这一点甚至影响到线性方程组的求解问题。勾股章主要内容是勾股定理的应用和简单测量问题。其中包括勾股容方和勾股容圆问题以及二次方程x+ax=b(a>b>)的解法。关于勾股数的原术及刘徽注中的有关公式是对整数论的重要贡献也是世界数学史上整数勾股数研究的较早成果之一。《九章算术》及其中一些问题曾经传到日本、朝鲜、越南、印度、阿拉伯和欧洲对世界古代数学发展产生了相当大的影响。《九章算术》已被译成英、俄、德、日等多种文字。《九章算术》对中国古代数学的总结及其对后来的影响《九章算术》系统地总结了西周至秦汉时期我国数学的重大成就是中国古代数学体系形成的显著标志。它的丰富多采的内容大多来自生产和生活实践集中反映了我国古代高度发展的数学水平以及理论密切联系实际和以算法为核心的突出特点并对后世数学发展起了十分重要的作用。《九章算术》对中国数学的影响正像欧几里得《几何原本》对西方数学的影响一样是非常深刻的。中国历史上著名数学家如刘徽、祖冲之、李淳风、贾宪等都曾经深入研究和注释过《九章算术》并通过这种形式提出许多新概念和新方法为推动中国数学发展作出了重大贡献。《九章算术》是中国古代数学流传最久影响最大的一部代表作也是历代进行数学教育的课本之一。唐代国子监算学馆规定十部数学著作作为学生的数学教科书后代称为“算经十书”《九章》就是其中的一部。  第五节数学与天文学在中国古代天、算、农、医是成就卓著的四大学科其中天文学和数学的关系尤为密切。天文历法的进步促进了数学的发展而数学的发展也为天文历法提供了有力的工具。前面提到的《周髀算经》是一部天文学著作其中也包含了勾股定理、勾股测量、开平方和分数运算等数学方面的成就。东汉晚期的天文学家刘洪在《乾象历》中用“强”、“弱”来表示某数的过剩近似值和不足近似值。他的“强弱”概念与“正负”概念是相通的并且明确指出:“强正弱负强弱相并同名相除异名相消其相减也同名相消异名相从无对互之。”这与《九章算术》中的正负数加减运算法则完全一致。刘洪为解决由于月球绕地球运行不等速运动问题提出了一次内插法。根据这种方法通过某日某时前后的两个实际观测值可以比较精确地推算月球在该日该时的实际位置。一次内插法实质上就是盈不足术它使历法精度有所提高并为研究二次和高次内插法、不等间距内插法提供了新方向后世在这一领域获得了很大的进展。在西方古希腊天文学家采用几何方法解决这一问题相当繁琐远不如中国的代数方法简捷明确。此外由于汉代历法中出现了推算上元积年的需要因此也产生了求解一次同余式或简单不定方程的问题后世在这一领域也取得了极其突出的成就。  六、数学家秦汉时期曾涌现出一批数学家和有很高数学造诣的人。如许商、杜忠在当时都有数学专著行世。据文献记载汉北平侯张苍(?前)、大司农耿寿昌皆以善算名世他们都做过修订数学著作的工作。刘歆(?)“数术、方技无所不究”著有《三统历谱》等。著名天文学家张衡()“善机巧尤致力阴阳、天文、历算”著有《灵宪》、《算论》。他所用的圆周率相当于π=优于古圆周率π=是对这一课题较早的研究和改进。刘洪“善算当世无偶”曾创制《乾象历》有的文献还记载他著有《九章算术》。马续“善《九章算术》”。郑玄()“少学书数八九岁能下算乘除。年二十一博极群书兼精算术”曾注释多种重要典籍。蔡邕()好辞章、数术、天文“先治律历以筹算为本天文为验”。他已知道圆周率π>=比古率有所改进。徐岳“素习《九章》能为计数”。据载著有《九章算术》、《算经要用百法》、《大衍算术注》、《数术记遗》等实际上很可能是他对《九章算术》作过注释。另外《数术记遗》一书现有传本但也有人认为是伪托之作。以上这些人都是中国数学史上较早见于史籍记载的数学家和擅长数学的学者遗憾的是由于史料缺乏现尚难以对他们的数学成就做出详细的论述。  刘徽《九章算术注》原序钱宝琮校点本《算经十书》上册中华书局年版。《汉书律历志》、《艺文志》、《楚元王传》。  《后汉书张衡传》。  《后汉书律历志》。  唐释慧琳:《大藏经音义》卷六。  《后汉书马援传》。  刘孝标:《世说新语》“文学”第四引《高士传》。  《后汉书蔡邕传》《四部丛刊》影明刊本《蔡中郎集上汉书十志疏》。李昉:《太平御览》卷七五四。  PAGE

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