null第二章 随机变量及其分布第二章 随机变量及其分布随机变量
离散型随机变量
随机变量的分布函数
连续型随机变量
随机变量的函数的分布2.1 随机变量及其类型2.1 随机变量及其类型2.1.2 随机变量的分类2.1.3 离散型随机变量及其分布2.1.4 随机变量的分布函数2.1.1 随机变量null ● 用样本空间的子集，即基本事件的集合来
表
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示随 机试验的各种结果，这种表示方式对全面讨论随机试验的统计规律性及数学工具的运用存在较大局限。为此，我们将随机试验结果量化，即引入随机变量的概念。这样，不仅可以更全面揭示随机试验的客观存在的统计规律性，而且可使我们用（数学分析）微积分的方法来讨论随机试验。 null 在随机试验中，如果把试验中观察的对象与实数对应起来，即建立对应关系X，使其对试验的每个结果e，都有一个实数X(e)与之对应， 试验的结果e实数X(e)对应关系X 则X的取值随着试验的重复而不同， X是一个变量，且在每次试验中，究竟取什么值事先无法预知，也就是说X是一个随机取值的变量。由此，我们很自然地称X为随机变量。 2.1.1随机变量的概念2.1.1随机变量的概念定义2.1 设E是一个随机试验， Ω ={e}是试验E的样本空间，如果对于 Ω 中的每一个样本点e，有一实数X(e)与之对应，这个定义在 Ω 上的实值函数X(e)就称为随机变量。由定义可知，随机变量X(e)是以样本空间Ω为定义域的一个单值实值函数。null有关随机变量定义的几点说明：
(1)随机变量X不是自变量的函数而是样本点e的函数，常用大写字母X、Y、Z 或小写希腊字母、、 等表示。
(2)随机变量X随着试验结果而取不同的值，因而在试验结束之前，只知道其可能的取值范围，而事先不能预知它取什么值，对任意实数区间(a,b)，“a
0，n是正整数，若npn=，则对任一固定的非负整数k，有 即当随机变量X~B(n, p)，(n＝0,1,2,…)，且n很大，p很小时，记=np，则null例2.10可用泊松定理计算。
取 =np=400×0.02＝8, 近似地有
P(X2)＝1－ P(X＝0)－P(X＝1)
≈1－(1＋8)e－8＝0.996981 3、泊松(Poisson)分布 3、泊松(Poisson)分布 若随机变量X所有可能取值为0,1,2,…，且其中>0是常数，则称X服从参数为的泊松分布，记为X~P()。null 泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布，
当n很大，p很小时，二项分布就可近似地看成是参数=np的泊松分布。null例2.11 某商店出售某种商品，具历史记录分析，每月销售量服从参数=5的泊松分布。问在月初进货时，要库存多少件此种商品，才能以0.999的概率充分满足顾客的需要？解 用X表示每月销量，则X~P()= P(5)。由题意，要求k，使得P(X≤k)≥0.999，即这里的计算通过查Poisson分布表(p.333-334)得到，=5 i=k+1=14时,i=k+1=13时,k+1=14，k=13
即月初进货库存要13件。null例2.12 设某国每对夫妇的子女数X服从参数为的泊松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2。求任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率。 解 由题意4、几何分布 4、几何分布 设随机变量X的可能取值是1,2,3,…,且
P(X=k)=(1-p)k-1p=qk-1p，k=1，2，3，… ,
其中01时，X的全部取值为：m,m+1,m+2,…P(X=m+1)=P(第m+1次试验时成功，并且
在前m次试验中成功了m-1次)2.1.4 随机变量的分布函数2.1.4 随机变量的分布函数 离散型随机变量可用分布律来完整地描述，而对于非离散型随机变量则难以实现.由于许多随机变量的概率分布情况不能以其取某个值的概率来表示，因此我们往往关心随机变量X取值落在某区间 (a,b]上的概率(a≤b).
由于{a1000)，所以
不可能事件的概率为零，但概率为零的事件不一定是不可能事件。
同样，必然事件的概率为1，但概率为1的事件不一定是必然事件。null例2.15 设随机变量X具分布律如下表解 试求出X的分布函数。null例2.16 向[0,1]区间随机抛一质点，以X表示质点坐标。假定质点落在[0,1]区间内任一子区间内的概率与区间长成正比，求X的分布函数。
解 F(x)=P(X≤x) 当x<0时,F(x)=0;当x>1时,F(x)=1当0≤x≤1时,特别,F(1)=P(0≤x≤1)=k=1null用分布函数描述随机变量不如分布律直观，
对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？abnull 例1 有一批产品共40件，其中有3件次品. 从中随机抽取5件，以表示取到的次品件数，求X的概率分布及分布函数. 解 随机变量X可能取到的值为0，1，2，3，按古典概率计算事件{X=k}（k=0,1,2,3）的概率，得的概率分布为或写为：当x<0时，当0≤x<1时，null当2≤x<3时，当1≤x<2时，当x≥3时，=0.6624+0.3011=0.9635;null于是得的分布函数为: 函数F(x)是阶梯形右连续函数，其图像如右图， 在处有跳跃点. null课堂练习 设X的分布函数为求(1)常数A, B；(2)解 (1) 由分布函数的性质知故有 解得null三、离散型随机变量的分布函数特点 一般地，设离散型随机变量X的概率分布为
pi = P{X = xi} (i=1, 2, …)
则其分布函数为这里和式是对所有满足xi≤x的i求和。F(x)的图形是阶梯形，在x = xi (i=1,2,…)处具有跳跃，其跳跃值为:null作业P37 2. 4. 5. 6.
浙公网安备 33021202002483