1.3条件概率及事件的独立性

null§1.3 条件概率与事件的独立性§1.3 条件概率与事件的独立性1.3.1 条件概率 1.3.2 独立性§1.3.1 条件概率§1.3.1 条件概率 实际中，会遇到在某一事件A已经发生的条件下，求另一事件B发生的概率，称这种概率为A发生的条件下B发生的条件概率。 例1 一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，问另一是男孩的概率是多大（假定一个小孩是男还是女是等可能的） ？ 解 观察两个小孩性别的随机试验所构成的样本空间 ={(男,男)、(男, 女)、(女, 男)、(女, 女)}． 则 A={(男,男), (男,女), (女,男)} 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示“两个小孩中至少有一个男孩”， B={(女,女), (男,女), (女,男)} 表示“两个小孩中至少有一个女孩}”. 显然，P(A)=P(B)=3/4．现在B已经发生，排除了有两个男孩的可能性，相当于样本空间由原来的缩小到现在的 B=B，而事件相应地缩小到={(男, 女)，(女, 男)}，因此null 定义1 设A，B为随机试验E 的两个事件，且P(B)＞0，则称一、条件概率为在事件A已发生的条件下，事件B发生的条件概率.注：条件概率与普通概率有相类似的性质：如： 若 BC＝，则P((B∪C)|A)= P(B|A)+ P(C|A). 例2 设某种动物由出生而活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，求现龄为20岁的这种动物活到25岁的概率？ 例2 设某种动物由出生而活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，求现龄为20岁的这种动物活到25岁的概率？ 解 设A={活到20岁}，B={活到25岁}， 则 P(A)=0.8, P(B)=0.4. 于是所求概率为 由于AB，有AB=B，因此P(AB)= P(B)=0.4， 关于条件概率的计算， 往往采用如下两种方法： (1) 在缩减的样本空间上直接计算。 (2) 利用公式计算。null 例3 甲、乙两城市都位于长江下游，根据一百余年气象记录，知道甲、乙两市一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，求： （1）乙市为雨天时，甲市也为雨天的概率； （2）甲市为雨天时，乙市也为雨天的概率. 解 设A={甲市是雨天}，B={乙市是雨天}， 则null二、乘法公式若Ｐ(B)>0, 则P(AB) = P(B)·P(A |B) 定理1 若P(A1 A2… An-1)>0，则 P(A1 A2… An)＝ P(A1 ) P(A2| A1) P(A3| A1 A2) … P(An ｜A1 A2… An-1).证 反复应用两个事件的乘法公式，得到null 例4 今有一张足球票，n个人都想得到，故采用抽签的办法分配这张票，试利用乘法公式说明每人得到足球票的概率都是1/n． 解 将外形相同的个标签让个人依次抽取，事先将足球票放在某标签中．记Ai={第i人抽到足球票} ，则 ．由公式得 null 例5 一袋中装有a只白球，b只黑球，每次任取一球，取后放回，并且再往袋中加进c只与取到的球同色的球，如此连续取三次，试求三次均为黑球的概率． 解 设A={三次取出的均为黑球}，Ai={第i次取出的是黑球}，i=1,2,3，则有 A=A1A2A3．由 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 意得故 null 该摸球模型称为卜里耶（Poloya）模型．上述概率显然满足不等式 P(A1)＜P(A2|A1)＜P(A3|A1A2) . 这说明当黑球越来越多时，黑球被抽到的可能性也就越来越大，这犹如某种传染病在某地流行时，如不及时控制，则波及范围必将越来越大；地震也是如此，若某地频繁地发生地震，从而被认为再次爆发地震的可能性就比较大．所以，卜里耶模型常常被用作描述传染病传播或地震发生的数学模型．1.3.2 事件的独立性1.3.2 事件的独立性事件的独立性 一般地 P(A|B)≠P(A), 即B的发生，会对A的发生产生影响，但在某些情况下有Ｐ(A|B)＝P(A)，如： 设盒中3个白球，2个红球，从中取球两次，每次一个，就 a)不放回取样; b)放回取样; 求下列事件的概率： (1) 第二次取得红球的概率； (2) 在第一次取得白球的条件下，第二次取得红球的概率 解 设A＝{第一次取得白球}，B＝{第二次取得红球}, a)不放回取样 b)放回取样 (1) P(B)=2/5, (2) P(B|A)= 2/5 , P(B)＝P(B|A) . null一、两个事件的独立性 1. 定义 设A、B二事件，如果满足等式 P(AB) = P(A)P(B), 则称A、B为相互独立的事件。由定义得：必然事件及不可能事件与Φ任何事件都相互独立。2. 性质 1) 若P(A)>0, P(B)>0, 则A和B独立P(B|A)=P(B); P(A|B)=P(A)。所以和B相互独立．null 例6 分别掷两枚均匀的硬币，令A={硬币甲出现正面H }，B ={硬币乙出现反面T}，试验证A、B相互独立． 解 样本空间={HH, HT, TH, TT}共含有4个基本事件，它们发生的概率均为1/4．而A={HH, HT}，B={HT, TT}，AB={HT}，故有P(A)=P(B)=1/2，P(AB)=1/4，P(AB)=P(A) P(B) ，所以A、B相互独立．null 从直观上看，例6中的事件A与B显然是相互独立的，因为硬币甲出现正面与否对硬币乙是否出现反面毫无影响．在实际应用中，人们常常根据事件的实际意义去判断事件的独立性．一般地，若由实际情况分析，A、B两事件之间没有关联或关联很微弱，就认为它们是相互独立的．例如A、B分别表示甲、乙两人患感冒, 如果甲在上海，乙在重庆，就认为A、B相互独立，若甲、乙两人同住一个房间，那就不能认为A、B相互独立了． 下面的定理2是显然的。null定理2 设A、B是两事件，且 P(B)＞0，则A、B相互独立的充分必要条件是P(A|B)=P(A)． 定理3 若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立．null证 由于 ， ，且A与B独立，所以 故 与B独立．由A与B的对称性，可见A与 也相互独立．对于A与 重复应用上述证明方法，可得 与 亦相互独立． 事实上，在四对事件A与B 、 与B、A与 、 与 中，只要有一对相互独立，则其余三对也必定相互独立． 值得注意的是，事件A、B相互独立与A、B互不相容有着本质的区别。不相容意味着A发生就不能B发生，或B发生就不能A发生，因此A发生与否跟B发生与否不是无关的，恰恰是极其有关；当P(A)＞0，P(B)＞0时，互不相容一定不相互独立，相互独立一定不互不相容；只有当P(A)和P(B)中至少有一个为0时，A和B才可能既相互独立又互不相容．null 例7 甲、乙两人各向一架敌机炮击一次。已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5。求敌机被击中的概率。 解 设A={甲击中敌机}，B={乙击中敌机}，C=目标被击中。由于 C=A＋B，且A，B独立得 或P(C)=P(A＋B)=P(A)+P(B)－P(AB) =P(A)+P(B)－P(A)P(B) =0.6+0.5-0.6×0.5 =0.8null 例8 有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，从两批种子中各随机地抽取一粒，求： （1）两粒都能发芽的概率； （2）至少有一粒种子能发芽的概率； （3）恰好有一粒种子能发芽的概率 。 解 设以A、B分别表示取自甲、乙两批种子中的某粒种子发芽这一事件，则所求的概率为 由于P(A)=0.8，P(B)=0.7，且A、B相互独立，故有 P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.7=0.56， 三个事件A、B、C，如果满足下面四个等式二、多个事件的独立性 1. 3个事件的独立性的定义三个事件A、B、C，如果满足下面四个等式则称三事件A、B、C相互独立。 如果A、B、C仅满足上式中的前三个等式，则称三事件A、B、C两两相互独立。 ( 事件两两独立，不一定相互独)。null2. n个事件的独立性的定义 定义3 n个事件A1, A2, …, An，如果对于任意k（1＜k≤n）， 任意1≤i1＜i2＜…ik≤n，满足等式则称A1，A2，…An是相互独立的事件。要说明A1，A2，…，An相互独立，需验证上述多个等式成立。注：(1)若n个事件A1, A2, …, An独立，则其部分事件组也独立； (2)若n个事件A1，A2，…，An独立，则将其中部分事件换为对立事件所得的事件组也独立． (3) 若A1，A2，…An是相互独立的，则P(A1A2…An)= P(A1)P(A2)…P(An)，null 例9 设有4个相互独立的元件组成的系统，每个元件的可靠性都为r，（元件的可靠性是指元件能正常工作的概率），今对4个元件按如下两种方式组成系统，试比较两个系统可靠性的大小。 系统一：先串联后并联 系统二：先并联后串联null 解 用Ai，Bi表示如图中诸元件可靠的事件，i=1,2，用C1、C2分别表示系统一和系统二可靠的事件， 则 于是 易知，当0＜r＜1时，有P（C2）＞P（C1），即两者相比，后者的可靠性更高。 null作业P20 1. 9.P29 1. 2. 4. 7