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韦达定理应用的三个层次.pdf

韦达定理应用的三个层次

owen
2012-06-24 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

简介:本文档为《韦达定理应用的三个层次pdf》,可适用于初中教育领域

©ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouseAllrightsreservedhttp:wwwcnkinet韦达定理应用的三个层次张水华(安徽省太湖县职教中心初中部,)  韦达定理揭示了一元二次方程的根与系数间的关系,应用十分广泛,我们在学习中应领悟定理的本质意义,由浅入深地掌握运用此定理进行解题的三个层次一、根据题目条件,直接用定理若问题要求一元二次方程中字母系数的值,或求与一元二次方程的根有关的代数式的值,或求作符合条件的一元二次方程等,可直接运用韦达定理例 已知方程xkx=的一个根是,求方程的另一根及k的值解析 设方程的另一根为x,由韦达定理:x=,∴x=又=k,∴k=例 求作一个一元二次方程,使它的两根分别是方程xx=的各根的倒数解析 设方程xx=的两根为x、x,则有:xx=,xx=设所求方程为xpxq=,由题意知,该方程的两根分别为x、x由韦达定理得:xx=p,即xxxx=p,∴p=x·x=q,即xx=q,∴q=故所求作的方程为xx=例 若a、b为实数,关于x的一元二次方程(xa)(xab)=,求证:()该方程一定有两个不相等的实数根()该方程的一根大于a,另一根小于a解析 ()将原方程整理成一般形式,得:x(ab)x(aab)=由Δ=(ab)(aab)=b>,可知结论成立()设方程的两根分别为x、x∵xx=ab,xx=aab,∴(xa)(xa)=xxa(xx)a=aaba(ab)a=<,∴方程的一根大于a,另一根小于a二、注意前提条件,准确运用定理韦达定理运用的前提条件是一元二次方程有实数根,即Δ≥,解题时必须注意这一前提条件,以免造成错解例 已知关于x的方程x(m)xm=的两实根为x、x,且(xx)(xx)=,求m的值解析 由(xx)(xx)=得xx=,或xx=又根据韦达定理知xx=(m)当(m)=时,解得m=当(m)=时,解得m=把m=代入原方程,得xx=,Δ=<,不含题意,应舍去把m=代入原方程,得xx=,Δ=×>,符合题意综上所述,m的值为三、构造方程,巧妙运用定理例 已知实数a≠b,且满足(a)=··第期                            初中数学教与学©ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouseAllrightsreservedhttp:wwwcnkinet○解题思路与方法○巧用“覆盖法”求阴影部分面积卢定波(江苏省大丰市第七中学,)  有关阴影部分面积问题,可以用“覆盖法”求解,这里举例加以说明例 如图,在边长为的正方形ABCD中,以B和D为圆心,为半径作两条弧,求图中阴影部分的面积分析 本题中的阴影部分可以看作是由两个全等的扇形即扇形ABC和扇形ADC去覆盖正方形ABCD而形成的重叠部分的图形为了表述的方便,不妨将图看作是三部分图形面积之和,各部分面积分别用S,S,S来表示∵S扇形ABC=SS,S扇形ADC=SS,S正方形ABCD=SSS,∴S扇形ABCS扇形ADCS正方形ABCD   =SSS(SSS) =S=S阴影可见,问题只需求出扇形ABC、扇形ADC和正方形的面积即可解 由分析可知:S阴影=S扇形ABCS扇形ADCS正方形ABCD=π·×=π例 如图,在RtABC中,∠C=°,AC=,AB=,分别以AC,BC为直径作半圆,求图中阴影部分的面积分析 本题中的图形可以看作是由弓形ADC和弓形CDB去覆盖RtABC而形成的图形(a),(b)=(b),求bbaaab的值解析 由题设知:(a)(a)=,(b)(b)=,且a≠b,可见(a)、(b)是一元二次方程xx=的两个实数根,则有:(a)(b)=,(a)(b)=整理得ab=,ab=由此可知a<,b<∴bbaaab=baababab=baabab=ababab=(ab)ababab=··初中数学教与学                            年

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