下载

2下载券

加入VIP
  • 专属下载特权
  • 现金文档折扣购买
  • VIP免费专区
  • 千万文档免费下载

上传资料

关闭

关闭

关闭

封号提示

内容

首页 韦达定理的若干应用

韦达定理的若干应用.pdf

韦达定理的若干应用

owen
2012-06-24 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《韦达定理的若干应用pdf》,可适用于初中教育领域

周刊年第期例:已知数列{an}满足:a=,a=,且anan!=anan,求该数列的通项公式。解:由递推公式得lg(anan)=lg(anan),由定义知数列{lg(anan)}是公比为,首项为lg(aa)=lg的等比数列,于是lg(anan)=lg·()n=nlg=lgn,anan=n,an=a·aa·aa⋯⋯anan·anan=()n。故所求数列的通项公式an=()n。四、由递推公式采用拆分变换形如an=cand(其中c,d为不等于零的常数),由递推公式可以拆分转化为等比数列。例:已知数列{an}满足:a=,an=an,求an。分析:若令an=y,an=x,则an=an,颇像直线方程的斜截式y=x,它应当可以写成点斜式,而且,由于c≠,则直线y=x必与直线y=x有交点(,)。解:假设an=an可化为an=(an)则an=an()()=an∴an=an即(an)÷(an)=∴由定义知,数列{an}是公比q=的等比数列。则an=(a)·()n,便得到数列{an}的通项公式an=()n。五、由递推公式用待定系数法变换形如pan=qanf(其中p,q为不等于零的常数),由递推公式,可以尝试用待定系数法,变换为等比数列的形式。例:在数列{an}中,a=,an=ann,求an。解:用待定系数法构造新数列{bn}bn=an(BnC)即an=bn(BnC)(其中B、C为待定系数)由an=ann可得bnB(n)C=(bnBnC)n即bn=bn(B)n(CB)令(B)=,CB=,可得B=,C=。这样,bn=bn,即数列{bn}是公比为,首项为b=a(BC)=()的等比数列。∴bn=·n故an=·n()n=(nn)。六、由递推公式巧用累差法如果数列的递推公式可以化为anan=f(n)的形式,而且f()f()⋯⋯f(n)是可求得的,那么可以用“累差法”求得通项公式an。例:在数列{an}中,a=,an=ann(n∈N),求an。解:由an=ann可得anan=n,anan=(n)⋯⋯,aa=,aa=将上面各式相加,得(anan)(anan)⋯⋯(aa)(aa)=n(n)⋯⋯∴ana=n(n)即an=n(n)∴an=n(n)以上几种由递推公式进行各种适当变换,解出数列的通项公式,灵活运用多种处理方法,有利于开发学生的思维,有助于提高解题能力。摘要:韦达定理及其逆定理是初中数学极为重要的基础知识之一,在中学数学中应用较为广泛,在一些数学竞赛中常出现巧用韦达定理来解决问题。本文从六个方面来谈韦达定理及其逆定理的应用。关键词:韦达定理韦达定理的逆定理初中数学竞赛一元二次方程一元二次方程的根与系数关系定理是韦达定理的特殊情况,它的逆命题也是正确的。初中阶段我们不妨称之为韦达定理和逆定理。韦达定理及逆定理是初中数学极为重要的基础知识之一,在解决初中数学的许多问题中,它是有力的工具,在初中数学竞赛中巧用韦达定理及逆定理来解的竞赛题屡见不鲜。本文通过六个方面的应用探讨如何利用韦达定理及逆定理解题目的方法和技巧。一、求值,当所求代数式是某个一元二次方程两根对称时,可应用韦达定理使计算简便。例若α、β为方程x!x=的根,求αβαβαβ的值。说明:求代数式值的问题常规方法是先求出代数式中求知数的值,然后代入。此例如按上述方法解将陷入复杂的计算,没有用韦达定理求解简便。韦达定理的若干应用(雷官初级中学,安徽来安)李恒松○数学教学与研究年第期周刊这种解法必须能熟练地将要求的代数式化为用αβ和αβ表示的形式。这种方法一般适用于求关于方程根的对称式。解:由韦达定理得αβ=!,αβ=则αβ=(αβ)αβ=∴αβαβαβ=(αβ)αβ(αβ)=(αβ)αβαβ(αβ)=例若p、q都是自然数,方程xp(q)x=的两根都是质数,求pq的值。分析:要求pq的值,应先求出p、q的值,而此例中方程的两根都是质数,由韦达定理知两根之积为,故必有一根为偶数,而是唯一的偶质数,则方程两根是和,再结合p、q是自然数可求p、q的值。(解略)二、构造一元二次方程,当问题中出现ab=m、ab=n的形式时,可用韦达定理和逆定理把a、b看作tmtn=的两个根,由△≥可解决不定方程、高次方程和无理方程等问题。例求方程组xy=xyz=$的实数解的情况。解:由原方程组可得xy=,xy=z根据韦达定理的逆定理知x、y是方程tt(z)=的两个实数根,而△=(z)=z≤,显然,当z=时,△=,这时方程有一实数解,否则方程无实数解。故z=,易得x=,y=。仿照此解方程组xxyy=xxyy=$三、求二次函数的解析式,用此方法主要是能掌握一元二次方程与二次函数之间的联系。例m为何值时,抛物线y=x(m)x与x轴两个交点间距离是解:设抛物线与x轴两个交点坐标为(x,)(x,)则方程x(m)x=的两个根为x,x由韦达定理得x·x=,xx=m|xx|=(xx)x·x!=(m)×!=解得m=,m=∴当m=或m=时,抛物线与x轴两个交点间距离是。说明:此类问题利用二次函数图像与x轴交点横坐标是函数值为零时自变量的值,即方程的根,再利用韦达定理把图像与x轴交点的距离与函数解析式联系起来。四、研究一元二次方程的整数解,此法主要是应用韦达定理结合题意把问题转化为不定方程组或不等式,再进一步求不等式的整数解,以达到解决问题的目的。例若k、p为整数,一元二次方程(k)xpxk=有两个正整数根,求kpk(ppkk)的值。解:设方程(k)xpxk=的两个根为x,x由韦达定理得xx=pk,x·x=kk∵方程有两个正整数根∴△≥(x)(x)≥且(x)、(x)为非负整数。x·x≥,xx>$由x·x=kk≥可得k>。令kk=t(t是正整数),则有k=t。∵k为整数∴t=±,k=或k=(舍去,因为k>)∴k=由△=pk(k)=p≥得p≥’或p≤!()xx=pk=p>(x,x为正整数)()(x)(x)=x·x(xx)=kkpk=p≥p≤()p为整数,结合()()()得p=∴kpk(ppkk)=()=说明:此类问题解题思路是利用韦达定理列出不等式组,然后消去x,x,得不等式或不等式组,再利用整数性质,求出未知数p、k的值。五、研究一元二次方程两根之比问题,根据两根之比找出方程系数与一个根之间的关系以达解决问题的目的。例如果一元二次方程axbxc=的两根之比为∶,求证:b=ac。证明:设方程两根为x,x,由韦达定理得xx=x=ba()x·x=x=ca()由()、()消去x得(ba)=ca整理得b=ac。六、证明不等式。例已知:a、b、c为实数,且abc=,a·b·c=,求证:a、b、c中必有一个大于。分析:已知条件是三个数的和与积,把它转化为两个数的和与积的问题,然后利用韦达定理解决。证明:由abc=a·b·c=$知a·b·c>,且a、b、c中有一个正数两个负数,不妨设a>,b<,c<,那么bc=ab·c=a$,则b、c是方程xaxa=的两个实数根。△=aa≥,a>,则a≥∵a>∴a≥!=!>!=。说明:在此题的证明中用了转化思想,这种思想方法很重要,在解题时根据需要化未知为已知。在由!>!时,我们采用了缩放的手法,这是证明不等关系常用的手法。参考文献:吴志翔中学数学教学参考书证明不等式M年月第版唐耀庭一元二次方程的特殊解法J中学生数理化初中版,年Z期杨茜,郑建平谈韦达定理的应用J成都教育学院学报,年期○数学教学与研究

用户评价(0)

关闭

新课改视野下建构高中语文教学实验成果报告(32KB)

抱歉,积分不足下载失败,请稍后再试!

提示

试读已结束,如需要继续阅读或者下载,敬请购买!

文档小程序码

使用微信“扫一扫”扫码寻找文档

1

打开微信

2

扫描小程序码

3

发布寻找信息

4

等待寻找结果

我知道了
评分:

/2

韦达定理的若干应用

VIP

在线
客服

免费
邮箱

爱问共享资料服务号

扫描关注领取更多福利