矩阵集合上定义了乘法。以向量内积为基础的矩阵乘法非常成功。但它是不可交换的。即，通常有 AB ≠ BA，那怕在 n 阶方阵子集中也这样。
矩阵的乘法有“单位元”E（n阶方阵）。即在可乘的条件下，AE = A 或 BE = B，E在乘法中的作用，就象数 1那样。
若n 阶方阵A满秩，它就应该有逆元。即“右逆”AB = E 或“左逆”CA = E
由于矩阵乘法不可易，按理“右逆”与“左逆”可能不同。但是《线性代数》中，满秩方阵A的逆阵B 的定义就是 AB = BA = E
之所以有这个特殊性，原因在于A有伴随阵A*
基本恒等式 A*A = A A* =|A| E
在A满秩时，它告诉我们，A* /|A| 就既是A的“右逆”，又是A的“左逆”。且按照矩阵相等的定义，满秩方阵A的逆阵唯一。
有趣的是，如果n 阶方阵A 的“列向量组”是
标准
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正交组（单位正交组），则A′A = E
你只能先说A′ 是A的“左逆”。 A′ 的行，就是A的列。左行右列作内积，恰好用上已知条件。但是，逆阵唯一，“左逆”就是“右逆”。A A′ = E
这样一来，A的行向量组必定也是标准正交组。
同样，如果 n 阶方阵 A 的“行向量组”是标准正交组，那它的列向量组必定也是标准正交组。
实际上，很简单，A A′ = E，则 |A|=±1
满秩方阵A的的逆阵唯一，A′ = ±A*
只有两类正交阵 —— 要么A的每一元就等于自己的代数余子式，要么A的每一元等于自己的代数余子式的相反数。
另有一个应用逆阵唯一性的好例。
例 A和B都是n阶方阵，且 AB =A−B，试证明，A+E 可逆，且 AB = BA
分析 要先生成 A+ E ，只有在 AB =A−B 上想办法。
AB+B = A+E−E ，进而有 E =（A+E）（E−B）
这
表
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明 A+ E可逆， 且它的（右逆）为 E−B
如何证第二问？好象没条件了。如果你能想到，右逆就是左逆。那就动笔试乘一下
（E−B）（A+E）= E =（A+E）（E−B）整理后恰好有 AB = BA
真妙啊，研考
题
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会不会这样做文章呢？！
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