13.第十三讲： 等比数列的概念、通项及前n项和

nullnull第十三讲 等比数列的概念、 通项及前n项和null一、引言 等比数列是数列家族中的又一类重要的数列，《考试大纲》对等比数列的考试要求是：理解等比数列的概念，掌握通项 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 （包括通项的一般公式）等比中项与前 项和的公式，能在具体的问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 情境中识别数列的等比关系，并能熟练、灵活地运用这些知识解决相关问题． null 从历年的高考情况看，围绕等比数列 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 考查的试题，选择题、填空题、解答题三种题型都有所涉及，重点考查等比数列的定义、通项公式及前 项和的公式及其应用．null二、主要考点梳理 1．等比数列定义 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做公比．null2．等比中项如果 成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且 ，或 ． 在一个等比数列中，任意相邻的三项，中间一项一定是两头两项的等比中项．即，或 .null3．等比数列的通项公式在等比数列 中， ．通项公式的一般形式为 ．null4．等比数列的前 项和公式若 为等比数列，则前 项和null三、典型问题选讲例1（2007重庆理）设 为公比 的等比数列，若 和 是方程 的两根，则 ____________．null 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ：这是等比数列中求指定项的值 的问题，可以通过解方程组来求解．nullnull归纳小结：此题考查了等比数列通项的一般公式以及韦达定理的应用，考查了等比数列的基本运算．求解中如果未能关注等比数列通项的一般公式，而是利用韦达定理建立关于首项 和公比 的方程组，解出 和 ，然后再求 ，那么常常因为运算繁琐而出错较多．显然巧用等比数列通项的一般公式，常常可以起到简化运算的作用．null例2 （2009浙江）设等比数列 的公 比 ，前n项和为 ，则 ． nullnull归纳小结：此题主要考查了等比数列通项公 式以及前n项和公式的应用．难度不大，只需直接利用公式认真计算即可获得结果．null例3（2009重庆）设 ， ， ， ，则数列 的通项公式 = ． null分析：利用递推关系直接代入计算，然后确定数列 的类型，再写出通项公式．null所以数列 是首项为4，公比为2的等比数列，所以 ．null归纳小结：此题是根据递推关系求数列通项的问题，考查了等比数列的判定及其通项公式．求解中利用递推关系作代换时，容易弄错下标，此外繁分式的化简也容易出错． 递推关系是 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达数列的重要方式之一，因此，复习时应当熟练这类问题的求解训练.null例4 设等比数列 的前 项和为 , 若 求 ．null分析：利用“等比数列依次连续的k项和（各个和均不为零）仍成等比数列”这一性质来求．null 解法一：由 是等比数列，知 ， ， （它们均 不为零）也是等比数列．由 得故 ，因此 ．null解法二：由于 是等比数列，故 ， ， （它们均不为零）也是等比数列．null由解法一知，公比 ．于是 ， ， ， ， ， ， ．把上述7个式子左右两边分别相加，得 ．null归纳小结：在求 的过程中，解法一用了等比数列的通项公式，解法二采用了叠加法．本题中的条件 可用可不用（解法一用了，解法二未用），这种条件的给出，对于培养学生的信息处理能力以及择优解法、发展思维都是十分有益的．本题求解中所用的性质是等比数列的重要性质之一．这一性质可表述为：null设等比数列 的公比为 ，若 ，则 中依次连续的k项和 仍成等比数列，且公比为 .null这里，条件 是不可或缺的．这是因为只有在条件 下，才能保证上述每一个 项和不为零．此时， 中依次连续的k项和才成等比数列，否则结论不成立．null取 ，则依次连续的2项和组成的数列为：0，0，0，…，0，…，这个数列显然不是等比数列．例如，数列 是等比数列．null等比数列除了上述性质以外，还有如下常用性质： 在等比数列 中， （ ），则 ．特别地，若 ．null例5 设数列 的首项 ， 且 记.null（1）求 ； （2）判断数列 是否为等比数列，并证明你的结论； （3）求数列 的前 项和．null分析：对于第（1）问，只要分清n的奇偶性，便可利用相应的表达式求出 ．问题（2）是一个探究性问题，可沿用求 的方法，计算出 进而求出 ， ， null并分析它们的特点，猜想出数列 的一般形式，再进行一般证明即可．至于第（3）问，可根据数列 的类型选择相关的求和方法．null解：（1） ， ．null（2）由于 ， 所以 ，因此 ， ， ．null猜想： 是首项为 ，公比为 的等比数列．证明如下：因为 ， 所以 是首项为 ，公比为 的等比数列．null （3） .null归纳小结：这是一道数列章内知识纵向发展的试题．此题有两处亮点．一是数列 以分段形式呈现了递推关系式，二是第（2）小题的设问方式有别于常规，体现了探究性与开放性．null此题考查的知识顺次为：求数列的指定项——等比数列的定义——等比数列的通项（以递推形式给出）——等比数列的前n项和，章内知识的纵向发展与综合跃然纸上．此题考查的方法思路是：个别试验——归纳猜想——科学证明，体现了特殊与一般的思想及有限与无限的思想，这是探求真理的有效途径． null对n的奇偶分析，是对分类与整合思想的考查，而正确迭代在此题的求解中起着奠基的作用．所有这些,充分体现了求解中对知识综合发展与纵向延伸的要求，通过对问题本身中蕴涵着的数学思想的提炼和应用，有力地检测了学生的理性思维水平．null例6（2009陕西）已知数列 满足 ．（1）令 ,证明： 是等比数列; （2）求 的通项公式．null分析：对于（1），要证明 是等比数列，只需利用定义来衡量．对于（2），由于所给条件式不易判断数列 类型，因此加工条件式是当务之急．null 证明（1） 当 时， ，所以 是以1为首项， 为公比的等比 数列． null 解：（2）由（1）知 ．所以 是等比数列，且首项为1，公比为 ， 因此．null 于是，当 时，．null.又当 时， ，所以 ．null.归纳小结：本题涉及等比数列的判定、通项公式、前 项和公式及其应用，着意考查了作差叠加法．等比数列的定义是判断一个数列成等比数列的首选工具，作差叠加法是数列运算的基本技能之一，必须认真训练.null求解中容易因为漏掉 时 是否适合的验证 而使解答不完整．事实上，叠加过程中，我们用 到的一般式是“ ”而不是“ ”，因此n应从2开始而不是从1开始． null例7（2007山东卷）设数列 满足 ， ． （1）求数列 的通项； （2）设 ，求数列 的前n项和 ．null分析：先考虑第（1）问．根据已知式递推，可得 的表达式，再与已知式相减，即可获得 的表达式．第（2）问可以用错位相减法来求．null解：（1） ， ① 当 时， ．② ①-②得 ， ． 在①中，令 ，得 ．.null （2） ， ，③ ．④④-③得 ,.．null归纳小结：本题涉及了递推关系与等比数列求和.求解时容易出错的是：第一问不易想到利用递推关系,并且容易漏掉 时的情况讨论；第二问求解中利用错位相减法求和，两式相减时容易弄错符号．null 递推关系是表达数列的重要方式之一，应当灵活掌握递推关系的应用；错位相减法是数列运算的重要技能，理应熟练掌握．一般地，由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得的新数列的求和，常用错位相减法．null例8（2008全国卷）设数列 的前n项和为 ．已知 ， ， ． （1）设 ，求数列 的通 项公式； （2）若 ， ，求a的取值 范围．null分析：对于第（1）问，只需通过适当配凑，便可以判断 是等比数列，进而即得通项公式．对于第（2）问，所求的 a 的取值范围取决于不等式 即 的结果．因此求出 的通项公式是解决问题的前提，而这可以通过通项与前n项和的关系而得到．nullnull（2）由①知 ， ， 于是，当 时，①．null所以 .null当 时， ．又 ．综上，所求 a 的取值范围是 ．null归纳小结：此题着重考查了数列通项与前 项和的关系、等比数列的判定及其通项公式、不等式的求解、指数运算以及指数函数的性质． null 求解时，由于对条件式的结构特征未能作深入的观察和分析，缺乏配凑技能，因而使得第（1）问的求解显得比较困难，进而直接影响第（2）问的求解．此外第（2）问的运算出错也较多．显然，此题对观察分析能力、逻辑思维能力、运算求解能力、推理论证能力都有着较高的要求，应当认真关注．null四、本专题总结 在本专题中,我们着重介绍了等比数列的定义、通项公式（包括通项的一般公式）及前 项和的公式、等比数列的简单性质及其应用.复习中建议抓住如下四个方面：null①理解基本概念，掌握基本运算．一般地，在等比数列的通项公式及前n项和公式中，共含 五个量，其中 和q是基本量.若已知五个量中任意三个量的值,通常可以利用方程的思想求出另外两个量的值． ②训练基本技能.本专题中我们着重介绍的代数式的配凑、作差叠加法、错位相减法是数列的基本运算技能,必须落实到位.null③提炼数学思想．本专题所涉及的方程思想、特殊与一般的思想及有限与无限的思想在解题中的作用是巨大的，要善于应用它们解决相关问题． ④提高数学能力．等比数列常常和不等式综合考查，这类问题通常较难．求解时除了需要综合运用等比数列的有关知识以外，还必须具备观察分析、逻辑思辨、运算求解和推理论证等数学能力．这需要通过具体问题的求解训练，才能逐步提高．