第3讲 基本初等函数
一．【基础知识】
指数函数 对数函数 幂函数
基础：概念 性质 图像 公式
二．【能力提升】
能力：运算 推理 变形 复合
三．【要点精讲】
1．指数与对数运算
（1）根式的概念：
①定义：若一个数的
次方等于
，则这个数称
的
次方根。即若
，则
称
的
次方根
，
1）当
为奇数时，
次方根记作
；
2）当
为偶数时，负数
没有
次方根，而正数
有两个
次方根且互为相反数，记作
②性质：1）
；2）当
为奇数时，
；
3）当
为偶数时，
。
（2）．幂的有关概念
①规定：1）
N*；2）
；
n个
3）
Q，4）
、
N* 且
②性质：1）
、
Q）；
2）
、
Q）；
3）
Q）。
（注）上述性质对r、
R均适用。
（3）．对数的概念
①定义：如果
的b次幂等于N，就是
，那么数
称以
为底N的对数，记作
其中
称对数的底，N称真数
1）以10为底的对数称常用对数，
记作
；
2）以无理数
为底的对数称自然对数，
，记作
；
②基本性质：
1）真数N为正数（负数和零无对数）；2）
；
3）
；4）对数恒等式：
。
③运算性质：如果
则
1）
；
2）
；
3）
R）
④换底公式：
1）
；2）
。
2．指数函数与对数函数
（1）指数函数：
①定义：函数
称指数函数，
1）函数的定义域为R；2）函数的值域为
；
3）当
时函数为减函数，当
时函数为增函数。
②函数图像：
1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；
2）指数函数都以
轴为渐近线（当
时，图象向左无限接近
轴，当
时，图象向右无限接近
轴）；
3）对于相同的
，函数
的图象关于
轴对称
③函数值的变化特征：
（2）对数函数：
①定义：函数
称对数函数，
1）函数的定义域为
；2）函数的值域为R；
3）当
时函数为减函数，当
时函数为增函数；
4）对数函数
与指数函数
互为反函数
②函数图像：
1）对数函数的图象都经过点（1，0），且图象都在第一、四象限；
2）对数函数都以
轴为渐近线（当
时，图象向上无限接近
轴；当
时，图象向下无限接近
轴）；
4）对于相同的
，函数
的图象关于
轴对称。
③函数值的变化特征：
（3）幂函数
1）掌握5个幂函数的图像特点
2）a>0时，幂函数在第一象限内恒为增函数，a<0时在第一象限恒为减函数
3）过定点（1，1）当幂函数为偶函数过（-1,1）,当幂函数为奇函数时过（-1，-1）
当a>0时过（0，0）
4）幂函数一定不经过第四象限
四．【典例解析】
题型1：指数运算
例1．（1）计算：
；
（2）化简：
。
解：（1）原式=
；
（2）原式=
。
点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。
例2．（1）已知
，求
的值
解：∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
。
点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。
题型2：对数运算
（2）.(江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)幂函数的图象经过点，则满足＝27的x的值是 .
答案 EQ \f(1,3)
例3．计算
（1）
；（2）
；
（3）
解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）分子=
；
分母=
；
原式=
。
点评：这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧
例4．设
、
、
为正数，且满足
（1）求证：
；
（2）若
，
，求
、
、
的值。
证明：（1）左边
；
解：（2）由
得
，
∴
……………①
由
得
………… ……………②
由①
②得
……………………………………③
由①得
，代入
得
，
∵
， ∴
………………………………④
由③、④解得
，
，从而
。
点评：对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法则为主，将代数式化简到最见形式再来处理即可。
题型3：指数、对数方程
例5．(江西师大附中2009届高三数学上学期期中)
已知定义域为R的函数是奇函数.
（1）求a,b的值；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围.
解 （1） 因为是R上的奇函数，所以
从而有 又由，解得
（2）解法一：由（1）知
由上式易知在R上为减函数，又因是奇函数，从而不等式
等价于
因是R上的减函数，由上式推得
即对一切从而
解法二：由（1）知
又由题设条件得
即
整理得，因底数2>1，故
上式对一切均成立，从而判别式
例6．（2008广东 理7）
设
，若函数
，
有大于零的极值点，则（ B ）
A．
B．
C．
D．
【解析】
，若函数在
上有大于零的极值点，即
有正根。当有
成立时,显然有
,此时
，由
我们马上就能得到参数
的范围为
.
点评：上面两例是关于含指数式、对数式等式的形式，解题思路是转化为不含指数、对数因式的普通等式或方程的形式，再来求解。
题型4：指数函数的概念与性质
例7．设
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
解：C；
，
。
点评：利用指数函数、对数函数的概念，求解函数的值
例8．已知试求函数f(x)的单调区间。
解：令，则x=
，t∈R。
所以即，（x∈R）。
因为f(－x)=f(x)，所以f(x)为偶函数，故只需讨论f(x)在[0，+∞）上的单调性。
任取，，且使，则
（1）当a>1时，由，有，，所以，即f(x)在[0，+∞]上单调递增。
（2）当0
1时，函数y=logax和y=(1－a)x的图象只可能是( )
解：当a>1时，函数y=logax的图象只能在A和C中选，
又a>1时，y=(1－a)x为减函数。
答案：B
点评：要正确识别函数图像，一是熟悉各种基本函数的图像，二是把握图像的性质，根据图像的性质去判断，如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性
例14．设A、B是函数y= log2x图象上两点, 其横坐标分别为a和a+4, 直线l: x=a+2与函数y= log2x图象交于点C, 与直线AB交于点D。
（1）求点D的坐标；
（2）当△ABC的面积大于1时, 求实数a的取值范围
解：（1）易知D为线段AB的中点, 因A(a, log2a ), B(a+4, log2(a+4))，
所以由中点公式得D(a+2, log2
)。
（2）S△ABC=S梯形AA′CC′+S梯形CC′B′B- S梯形AA′B′B=…= log2
,
其中A′,B′,C′为A,B,C在x轴上的射影。
由S△ABC= log2
>1, 得0< a<2
－2。
点评：解题过程中用到了对数函数性质，注意底数分类来处理，根据函数的性质来处理复杂问题。
题型8：指数函数、对数函数综合问题
例15．在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…，对每个自然数n点Pn位于函数y=2000(
)x(0bn+1>bn+2。
则以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn+1>bn，
即(
)2+(
)－1>0，
解得a<－5(1+
)或a>5(
－1)。
∴5(
－1)
总结
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】
1．
（其中
）是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同应化为同底；
2．要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经验；
3．解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识；
4．指数、对数函数值的变化特点（上面知识结构表中的12个小点）是解决含指数、对数式的问题时使用频繁的关键知识，要达到滚瓜烂熟，运用自如的水平，在使用时常常还要结合指数、对数的特殊值共同分析；
5．含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题的最基本的分类
方案
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是以“底”大于1或小于1分类；
6．在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现，如与其它函数（特别是二次函数）形成的复合函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要努力提高综合能力
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