电磁场与电磁波 · 第二讲 波的复数与矢量表示,积分形式麦氏方程 · 章献民
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章献民
zhangxm@zju.edu.cn
2012年2月16日星期四
11120010 电磁场与电磁波
波的复数与矢量表示
积分形式麦克斯韦方程
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时谐标量波的复数表示
时谐标量波可表示成
时谐标量波可用复数表示,“表示”的意义是,电压波 u(z, t) 与一个
复数 U 对应,复数 U 的定义是
复数 U 的模 |U| = U0,相位
0 0 0, cos cos ( )u uu z t U t kz U t z
0u uz kz
0jj
0 0e e
uu kzzU U U
0u uz kz
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时谐标量波的复数表示
u(z, t) 与 U 对应的意义是,U 乘 ejt 取实部,就得到u(z, t) ,即
式中,Re[]表示对[ ]中的复量取实部运算。为简化书写,符号
常略去,用复数 U 等效于时谐标量波 u(z, t) ,即
0
j
j j
0
j j
0
, Re e
Re e e
Re e e
u
u
t
z t
kz t
u z t U
U
U
0jj0 0, e e uu
kz
u z t U U U
jRe e t
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时谐标量波复数表示的加法运算规则
如果
很容易
证明
住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问
与复数(U+V)对应,即
因为
0 0, cos vv z t V t kz
j0, e vv z t V V
0v vkz
0 0, cos uu z t U t kz
j0, e uu z t U U
, ,u z t v z t
, ,u z t v z t U V
j, , Re e tu z t v z t U V
0u ukz
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时谐标量波复数表示的微分、积分运算规则
因为
对于随时间变化的量,上式积分中的常数可不予考虑。所以时谐标量
波用复数表示后,对时间的微分、积分运算简化为乘与除 jω 的代数
运算。
j j0 0 0
,
sin Re j e eu tu
u z t
U t kz U
t
j j0 0 0sin e e, d Re
j
u t
uU t kz U
u z t t
, ju z t U
t
, d
j
U
u z t t
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两时谐变量乘积的时间平均值运算规则
时谐变量的时间平均值总是等于零的。
但是两个时谐变量乘积的平均值并不总是等于零的,例如
与u(t)、i(t)对应的复数 U、I 分别为
因为
所以,引入 u(t)、i(t) 的复数表示 U、I 后,u(t)与i(t)乘积的时间平均值计算
可简化为
0
0
1
cos d 0
T
uu t U t t
T
0 0cos cosu iu t U t i t I t
0 0 0 0
0
1 1
cos cos d cos
2
T
u i u iu t i t U t I t t U I
T
j j0 0e eu iu t U U i t I I
jj j* 0 0 0 0 0 0Re Re e e Re e cosu iu i u iUI U I U I U I
*
1
Re
2
u t i t VI
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时谐标量波的复数表示解电路方程
如果工作频率很低,在电路元件占据的空间范围内, 随 z
的变化可忽略不计,那么电压波 (u 可认为与 z 无关)
当简谐变化的电压u(t)、i(t)用复数表示时,即
2π
z
kz
0 0 0, cos cosu uu z t U t kz U t u t
dd
d
i t ti t
L Ri t u t
t C
j j
0 0
j
j 0
0
e e
d e
j e j d
jd j
u i
i
i
u t U U i t I I
i t I II I i t t
t
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时谐标量波的复数表示解电路方程
微分方程可简化为代数方程
所以 式中
而
j
j
I
LI RI U
C
I U Z
1
j
j
Z R L
C
j j
j 0e eRe e Re
j 1 j
u t
t Ui t I
R L C
dd
d
i t ti t
L Ri t u t
t C
u (t)作用于RLC回路
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时谐矢量的复矢量表示
设随时间作简谐变化的电场强度为
其x 分量Ex (x, y, z, t)表示为
这是一个时谐标量,与其对应的复数表示是
于是
所以时谐标量 与复数 对应。
0 0 0, , , , , , , , , , , ,x y zx y z t E x y z t E x y z t E x y z t E x y z
1 1( , , , ) ( , , )cos( )xE x y z t E x y z t
1j
1( , , ) ( , , )exE x y z E x y z
j( , , , ) Re ( , , )e tx xE x y z t E x y z
),,,( tzyxEx ),,( zyxEx
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时谐矢量的复矢量表示
同样
可表示成
式中
同样
可表示成
式中
0 0 0, , , , , , , , , , , ,x y zx y z t E x y z t E x y z t E x y z t E x y z
2 2( , , , ) ( , , )cos( )yE x y z t E x y z t
j( , , , ) Re ( , , )e ty yE x y z t E x y z
2j
2( , , ) ( , , )eyE x y z E x y z
3 3( , , , ) ( , , )cos( )zE x y z t E x y z t
j( , , , ) Re ( , , )e tz zE x y z t E x y z
3j
3( , , ) ( , , )ezE x y z E x y z
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时谐矢量的复矢量表示
称 E(x, y, z) 为复矢量。
复矢量是矢量,每一个分量是复数,它不是时间的函数。
0 0 0, , , , , , , , , , , ,x y zx y z t E x y z t E x y z t E x y z t E x y z
j( , , , ) Re ( , , )e tx xE x y z t E x y z
j( , , , ) Re ( , , )e ty yE x y z t E x y z
j( , , , ) Re ( , , )e tz zE x y z t E x y z
j0 0 0( , , , ) Re [ ( , , ) ( , , ) ( , , )]e tx y zx y z t E x y z E x y z E x y z E x y z
0 0 0( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )x y zx y z E x y z E x y z E x y z E x y z
j( , , , ) Re ( , , )e tx y z t x y z E E
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两时谐矢量叉积的时间平均值
设复矢量
与复矢量对应的时谐矢量 为
所以 的时间平均值是
, , r i r ij j E r E E H r H H
, , ,t tE r H r
j
j
, Re e cos sin
, Re e cos sin
t
r i
t
r i
t t t
t t t
E r E r E E
H r H r H H
, ,t tE r H r
0
1 1
, , , , d
2
T
r r i it t t t t
T
E r H r E r H r E H E H
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两时谐矢量叉积的时间平均值
如果我们取复矢量 E(r) 与 H(r) 的共轭复矢量 的叉积
因此 的时间平均值又可表示为
两时谐矢量叉积的时间平均值计算可简化为取实部运算。
( )H r
0
1 1
, , , ,
2
T
r r i it t t t dt
T
E r H r E r H r E H E H
r r i i i r r ij E r H r E H E H E H E H
, r i r ij j E r E E H r H H
, ,t tE r H r
*
1
, , Re
2
t t E r H r E r H r
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电磁运动规律的实验总结——高斯定理或库仑定理
电场线从正电荷出发终止于负电荷,电场
线有头有尾,不自行闭合。
穿出闭曲面S电通量密度线数等于闭曲面
S包围的体积V中的电荷Q
V为体电荷密度。
d dV
S V
Q V D S
V V
S
D
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电磁运动规律的实验总结——磁通连续性原理
磁场线无头无尾,总是一闭合曲线,因此穿出任一闭曲面磁场线数总
是等于零的。
d 0
S
B SB
B
V
S
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电磁运动规律的实验总结——法拉第定理
穿过闭合导线 l 所包围面积的磁通量
m随时间变化,则会感应一个电动势
Eemf的大小等于穿过闭合导线 l 所包围
面积 S 的磁通量随时间变化率的负数
所以
emf
d
l
E E l
d d
l S
B
E l S
t
m
d
S
B S
m
d demf
l S
E
t t
E l B S
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电磁运动规律的实验总结——推广的安培定理
磁场强度沿闭合曲线的线积分等于
穿过闭合曲线所包围的面积的电流
在真空或气体中,
在导体中
位移电流
v v
c c
d d
d
d
d
S
S
S
I
I
I
J S
J S
J S
c v d J J J J
v vJ
c J E
d
t
D
J
d d
l S
I H l J S
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推广的安培定理成功地解释了电容器回路电流连续
推广的安培定理 位移电流
交流电源与平行板电容器相连构成的回路
d d
l S
D
H l J S
t
d
t
D
J
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积分形式的麦克斯韦方程
从这四个方程麦克斯韦预言电磁波的存在。赫兹实验证明电磁波的存
在,因此麦克斯韦引入位移电流概念是正确的。
d d
l S
B
E l S
t
d d
l S
D
H l J S
t
d V
S V
dV D S
d 0
S
B S
电荷是产生电场的源,电场线从正电荷
出发终止于负电荷
磁场线总是闭合的
电流产生磁场,随时间变化的电场产生
磁场
随时间变化的磁场产生电场
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随时间变化的电场、磁场耦合在一起
随时间变化的电场产生磁场,随时间变化的磁场产生电场
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怎么产生电磁波?
从闪电想到电磁波的产生
从电焊想到电磁波的产生
从开关合上或拉断时冒火花想到电磁波的产生
赫兹实验的原理
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赫兹偶极子产生电磁辐射的数值模拟
模型
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赫兹偶极子产生电磁辐射的数值模拟
表面电流
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赫兹偶极子产生电磁辐射的数值模拟
电场
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赫兹偶极子产生电磁辐射的数值模拟
电场
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赫兹偶极子产生电磁辐射的数值模拟
磁场
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赫兹偶极子产生电磁辐射的数值模拟
电场 磁场
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从麦克斯韦方程到基尔霍夫电压、电流定理
麦克斯韦方程(积分形式)
麦克斯韦方程包含电流连续与电荷守恒定律
d d
l S t
B
E l S
d d
l S t
D
H l J S
d dv
S V
V D S
d 0
S
B S
d dV
S V
Q
V
t t
J S
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从麦克斯韦方程到基尔霍夫电压、电流定理
当
或所研究对象线度比波长小得多时
这就是基尔霍夫定律,它是我们分析低
频电路的理论基础。
0
t
d d 0 0
l S
U
B
E l S
t
Ui +
d d 0 0V
S V
Q
V I
t t
J S
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基尔霍夫定理适用范围
频率低时(如1MHz)
基尔霍夫定律是适用的
频率高时(如1GHz)
基尔霍夫定律不再适用 U
UA
-UA
U
Us
U
A B
Rs
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第2讲复习
复习要点:
– 时谐矢量波用复矢量表示的意义及其优点。
– 复矢量是矢量,每一个分量是复数,它不是时间的函数。电磁运动规律—
—麦克斯韦所依据的四个从实验研究得出的定理
• 髙斯定理或库仑定理
• 磁通连续性原理
• 法拉第电磁感应定理
• 推广的安培定理
– 基尔霍夫电压、电流定理是麦克斯韦方程当 的极限。
复习内容:1.3, 1.4, 3.1.1~ 3.1.4
帮助理解的多媒体演示:MMS6, MMS7
0
t
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作业题
1.2、1.3、1.4、1.5、1.6
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章献民
zhangxm@zju.edu.cn
The End.