常用放缩
方法
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技巧⑴添加或舍去一些项，如：；⑵将分子或分母放大（或缩小）⑶利用基本不等式，如：；⑷二项式放缩:,,(5)利用常用结论：Ⅰ.的放缩：Ⅱ.的放缩(1)：（程度大）Ⅲ.的放缩(2)：（程度小）Ⅳ.的放缩(3)：（程度更小）Ⅴ.分式放缩还可利用真（假）分数的性质:和记忆口诀“小者小,大者大”。解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之亦然.Ⅵ.构造函数法构造单调函数实现放缩。例：，从而实现利用函数单调性质的放缩：。一．先求和再放缩例1.,前n项和为Sn，求证：例2.,前n项和为Sn，求证：二．先放缩再求和（一）放缩后裂项相消例3．数列，，其前项和为，求证：解：令，的前项和为当时，点评:本题是放缩后迭加。放缩的方法是加上或减去一个常数，也是常用的放缩手法。值得注意的是若从第二项开始放大，得不到证题结论，前三项不变，从第四项开始放大，命题才得证，这就需要尝试和创新的精神。（二）放缩后转化为等比数列。例4.满足：（1）用
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归纳法证明：（2），求证：解：(1)略(2)又，迭乘得：点评：把握“”这一特征对“”进行变形，然后去掉一个正项，递推关系放缩，这是不等式证明放缩的常用手法。这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法，似乎是不可能的,为什么？值得体味！三、裂项放缩例5.(1)求的值; (2)求证:.解析:(1)因为,所以(2)因为,所以奇巧积累：(1) (2) (3)(4)(5) (6)(7) (8)(9)(10) (11)(12)(13)(14)(15) (16)(17)例6.(1)求证:(2)求证:(3)求证:(4)求证：解析:(1)因为,所以(2)(3)先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先,所以容易经过裂项得到再证而由均值不等式知道这是显然成立的，所以例7.求证:解析:一方面:因为,所以另一方面:当时,,当时,,当时,,所以综上有例8.已知,,求证:.解析:所以从而四、分式放缩姐妹不等式:和记忆口诀”小者小,大者大”解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之亦然.例9.姐妹不等式:和也可以
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示成为和解析:利用假分数的一个性质可得即例10.证明:解析:运用两次次分式放缩:(加1)(加2)相乘,可以得到:所以有五、均值不等式放缩例11.设求证解析:此数列的通项为，，即注：应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过“度”了！根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里其中，等的各式及其变式公式均可供选用。例11.已知函数，a>0,ba.0,若，且在[0，1]上的最大值为，求证：解析:例12.求证:解析:一方面:(法二)另一方面:六、二项式放缩,,例13.设，求证.解析:观察的结构，注意到，展开得，即，得证.例14., 试证明：.解析:,从而,一方面,另一方面所以,所以,综上有.例15.求证：简证如下：利用二项展开式进行部分放缩：只取前两项有对通项作如下放缩：故有例16.求证:. 解析:参见上面的方法,希望读者自己尝试!)七、部分放缩(尾式放缩)例17.求证:解析:例18.设求证：解析:又（只将其中一个变成，进行部分放缩），，于是例19.设数列满足，当时证明对所有有；解析:用数学归纳法：当时显然成立，假设当时成立即，则当时，成立。利用上述部分放缩的结论来放缩通项，可得注：上述证明用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：；证明就直接使用了部分放缩的结论八、数列递推关系放缩例20.若,求证:解析:所以就有例21.求证:解析:设则,从而,相加后就可以得到所以例22.求证:解析:设则,从而,相加后就可以得到九、函数放缩例23.求证：.解析:先构造函数有,从而因为所以例24.求证:(1)解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案函数构造形式:,例7.求证:解析:提示:函数构造形式:例25.证明:解析:构造函数,求导,可以得到:,令有,令有,所以,所以,令有,所以,所以十、分类放缩例26.求证:解析:例27.已知函数，若的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0].若数列满足，记数列的前项和为，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数都有？并证明你的结论。解析:首先求出,∵∴,∵,,…,故当时,,因此，对任何常数A，设是不小于A的最小正整数，则当时,必有.故不存在常数A使对所有的正整数恒成立.练习：1、添加或舍弃一些正项（或负项）例1、已知求证：证明：若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了，从而是使和式得到化简.2、先放缩再求和（或先求和再放缩）例2、函数f（x）=，求证：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+.证明：由f(n)==1-得f（1）+f（2）+…+f（n）>.此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征,先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和.若分子,分母如果同时存在变量时,要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）例3、已知an=n，求证：＜3．证明：=＜1＋＜１＋==1＋(－)=1＋1＋－－＜2＋＜3．本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标.4、放大或缩小“因式”；例4、已知数列满足求证：证明本题通过对因式放大，而得到一个容易求和的式子，最终得出证明.5、逐项放大或缩小例5、设求证：证明：∵∴∴，∴本题利用，对中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简的目的。6、固定一部分项，放缩另外的项；例6、求证：证明：此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。1、设为大于1的自然数，求证2、设为自然数，求证3、若是自然数，求证证明：==注意：实际上，我们在证明的过程中，已经得到一个更强的结论，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。4、求证：证明：由（是大于2的自然数）得5、若a,b,c,dR+，求证：证：记m=∵a,b,c,dR+ ∴∴1
2时，求证：证：∵n>2 ∴∴∴n>2时, 7、思路
分析
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：对于学生来说，他们非常清楚证明此题的方向，即先放缩再求和，但是学生的问题就是放缩的误差过大，而不能判断是什么原因导致的误差过大.学生解法：提出以下改进
方案
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.方案1：通项放缩不变，减少放缩的项数尝试1：第一项不放缩，从第二项开始放缩仍然失败，不过离成功更近了.尝试3：前三项不放缩，从第四项开始放缩终于成功了！方案2：减小通项的放缩误差反思：对于改进1，尽管最后没有成功，但从上面方案1的最终成功可以得到启发，改进为在求和时第一项不放缩，从第二项开始放缩。不等式得证.解题要在已有的知识基础上，探索解题思路的发现过程。
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