隐函数的微分法

隐函数的微分法null第五节第五节第十一章一、由一个方程确定的隐函数的微分法二、由方程组确定的隐函数的微分法隐函数的微分法一、由一个方程确定的隐函数的微分法一、由一个方程确定的隐函数的微分法问题的提出：例如, 方程当 C 0 时, 不能确定隐函数;null在方程（或方程组）能确定隐函数时, 即问题2. 在何种条件下，求导方法？求导公式？null定理11.7 设函数则方程确定一个函数 y = f (x) ,并有连续导数—— 隐函数求导公式① 具有连续偏导数;的某邻域内能唯一在点的...

null第五节第五节第十一章一、由一个方程确定的隐函数的微分法二、由方程组确定的隐函数的微分法隐函数的微分法一、由一个方程确定的隐函数的微分法一、由一个方程确定的隐函数的微分法问题的提出：例如, 方程当 C < 0 时, 能确定隐函数;当 C > 0 时, 不能确定隐函数;null在方程（或方程组）能确定隐函数时, 即问题2. 在何种条件下，求导方法？求导公式？null定理11.7 设函数则方程确定一个函数 y = f (x) ,并有连续导数—— 隐函数求导公式① 具有连续偏导数;的某邻域内能唯一在点的某邻域内满足②③满足条件null两边对 x 求导则uxxy求导公式推导如下：例1解法1 (公式法)令则例1null解法2 (复合函数求导法)解法2 (复合函数求导法)解法3 (全微分法)解法3 (全微分法)一阶全微分形式不变性，定理11.8定理11.8的某邻域内具有连续偏导数 ,则方程在点并有连续偏导数一确定一个函数 z = f (x , y) , 满足① 在点满足:②③的某一邻域内可唯null两边对 x 求偏导数同样可得则求导公式推导如下：注.注.例2 设例2 设解法1 ( 复合函数求导法)再对 x 求导解法2 (公式法)解法2 (公式法)设则两端关于 x 求偏导数，得用公式法求Fx时, 先不将z看作x与 y 的函数！应暂视 y, z为常数求二阶导数时，要视z是x, y的函数！例3例3证法1(1)(1)则(公式法)nullnull证法2 (复合函数链导法)证法2 (复合函数链导法)Fuvxyzxyzxyxy证法3 (全微分形式不变性)证法3 (全微分形式不变性)nulldx+dy二、由方程组确定的隐函数微分法二、由方程组确定的隐函数微分法由 F、G 的偏导数组成的行列式称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例 ,即定理11.9定理11.9的某一邻域内具有连续偏设函数则方程组③① 在点②的某一邻域内能唯一确定满足:导数；一对满足条件null具有连续偏导数的函数例4例4解法1直接代入公式；解法2运用公式推导的方法，将所给方程的两边对 x 求偏导数，并移项null将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得例5例5分析函数个数=方程个数;自变量个数=方程组所含变量个数–方程个数解null例6例6解uyxzxxyxnull于是可得,例7例7解法1nullnull解法2 (全微分形式不变性)null解法3 (复合函数求导法)fxtxyx故null故内容小结内容小结1. 隐函数存在定理2. 隐函数求导（偏导数）方法方法一利用复合函数求导法则直接计算 ;方法二全微分法 ;方法三公式法思考与练习设求解解解法2. 全微分法解法2. 全微分法d y, d z 的系数分别是将d z进行整理，其中 d x的系数就是问题如何用全微分法求？备用题备用题分别由下列两式确定 :又函数有连续的一阶偏导数 ,1. 设解: 每个方程两边都对 x 求导, 得(2001考研)解得因此例1-1例1-1解null下面求这函数的一阶及二阶导数.方法一（公式法）求二阶导数时，要注意y是x的函数！null方法二（复合函数求导法）注意本方法中，始终将y看作x的函数方法三（全微分法）方法三（全微分法）根据全微分形式不变性，这里不将y看作x的函数例1-2 验证方程例1-2 验证方程在 (0,0)点某邻域可确定一个单值可导隐函数解令连续 ,由定理1 可知,①导的隐函数则②③在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可且并求null导数的另一求法导数的另一求法两边对 x 求导两边再对 x 求导令 x = 0 , 注意此时— 复合函数求导法例2-1例2-1解例3-1例3-1设F( x , y)具有连续偏导数,解法1 (求偏导数)确定的隐函数,则已知方程故null对方程两边求全微分:方法二（全微分法）例4-1例4-1解法1（公式法）略.解法 2（复合函数求导法）对每一个方程两边关于x求偏导数,得.解法3（全微分法）解法3（全微分法）类似地对每个方程的两边关于y求偏导数, 可得解得解得于是例4-2例4-2解法1null解法2null例5-1 设例5-1 设是由方程和所确定的函数 , 求解方法一分别在各方程两端对 x 求导, 得(99考研)方法二全微分法.方法二全微分法.对各方程两边分别求全微分:化简得消去可得5.设函数5.设函数在点(u,v) 的某一1) 证明函数组( x, y) 的某一邻域内2) 求解: 1) 令对 x , y 的偏导数.在与点 (u, v) 对应的点邻域内有连续的偏导数,且唯一确定一组单值、连续且具有连续偏导数的反函数null①式两边对 x 求导, 得则有由定理 3 可知结论 1) 成立.2) 求反函数的偏导数. ①②null从方程组②解得同理, ①式两边对 y 求导, 可得本题的应用: 计算极坐标变换本题的应用: 计算极坐标变换的反变换的导数 .同样有所以由于二元线性代数方程组解的公式二元线性代数方程组解的公式解:雅可比(1804 – 1851)雅可比(1804 – 1851)德国数学家. 他在数学方面最主要的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独地奠定了椭圆函数论的基础. 他对行列式理论也作了奠基性的工作. 在偏微分方程的研究中引进了“雅可比行列式”, 并应用在微积分中.他的工作还包括代数学, 变分法, 复变函数和微分方程, 在分析力学, 动力学及数学物理方面也有贡献 . 他在柯尼斯堡大学任教18年, 形成了以他为首的学派.

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