对有质量弹簧的振子系统振动周期的探讨

第 30卷第 5期 大 � 学 � 物 � 理 Vo.l 30 No. 5 2011年 5月 COLLEGE � PHYS ICS M ay 2011 � 收稿日期: 2010- 07- 16;修回日期: 2010- 10- 06 � 作者简介:黄兆梁 ( 1956� ) ,男,江苏无锡人,常州工学院光电工程学院测控技术与仪器系副教授,从事理论与实验教学以及物理、测控等方 面的科研工作. 对有质量弹簧的振子系统振动周期的探讨 黄兆梁 (常州工学院 光电工程学院测控技术与仪器系,江苏 常州 � 213002) 摘要: 分析了典型振动信号频谱的分布特点, 指出了具有弹簧质量的振子系统的振动频谱符合准周期信号的频谱分布特 点, 说明该振子系统不具有严格意义上的周期, 只有近似意义上的准周期,明确了该振子系统的准周期性的概念. 关键词: 弹簧振子;弹簧质量;简谐振动; 准周期性 中图分类号: O 321� � � 文献标识码: A� � � 文章编号: 1000�0712(2011) 05�0032�03 � � 振动作为自然界中最为普遍的运动形式之一,在 物理学的基础理论研究中具有显著地位,正确理解与 掌握振动的客观规律对于深入研究并掌握自然界的 普遍运动规律具有十分重要的理论意义和实践意义. 作为自然界各种振动形式中最简单的一个抽象物理 模型 � � � 简谐振子,由一质量为 m 0的质点和一劲度 系数为 k的无质量理想弹簧所组成,其振动周期为 T = 2� m 0 /k ( 1) 简谐振子是一个理想化的物理模型, 实际上弹 簧的自身质量 m 1相比振子的质量 m 0来说未必可以 忽略不计,而一旦忽略了弹簧质量 m 1的影响,就必 然会造成理论计算值与实际测量值不吻合, 并且这 种误差并非属于随机误差, 而具有明显的系统误差 性质, 应该予以修正.作为振动周期的一级近似,可 以将弹簧质量 m 1的三分之一加到振子的质量 m0上 去,从而将弹簧质量为 m 1、振子质量为 m 0的实际振 动系统等效看作一具有质量为 m0 +m 1 /3的理想质 量 -弹簧振子系统,其振动周期为 [ 1] T = 2� (m 0 +m 1 /3) /k ( 2) 这是一个比较好的近似公式 (一级近似 )而得 到了广泛应用,其精度可以满足一般工程应用领域 的需要.但对于更高精度的应用领域或进行理论分 析就需要考虑更准确的计算公式 [ 2] , 这时可以采用 二级近似公式,或更高级的近似公式,如一阶振动模 态 (基频 )下的振动周期的 4级近似公式 T = 2� m0 + m 1 3 1+ 1 15 m 1 m 0 - 1 63 m1 m0 2 + 11 4725 m1 m0 3 k (3) 该式给出了较高的计算精度. 在这 3个计算公式中, 式 (1)是在弹簧没有质量的理想情况下的简谐振子 的周期计算公式; 式 ( 2)是在弹簧的振动位移沿纵 向呈线性分布的假定下得出的近似公式,并没有考 虑到弹簧中可能存在的弹性波动的情况; 式 ( 3)是 在弹簧中存在弹性波动的假定下通过求解波动方程 而得到的较为精确的一阶振动模态下的 4级近似计 算公式.对于弹簧质量不可忽略的振子系统,其振动 的模式已有许多的讨论, 但是对于其是否仍具有严 格意义上的振动周期似乎并无共识, 还存在分歧意 见 [ 3] , 仍值得作进一步的分析与探讨. 1� 振动信号频谱特点概述 理想的弹簧振子系统是指弹簧的质量为零的振 子系统,其振子的运动形式是筒谐振动. 从时域来 看, 振动是一种最简单的运动形式之一, 即正弦函 数: x ( t) = A sin( 2�f t+ �); 从频域来看, 其频谱分布 很独特,在幅频图上仅仅在其振动频率 f处出现唯 一的一条频谱线. 对于一般的周期信号,根据傅里叶级数理论,其 频谱分布的特点是:频谱分布呈离散型,其幅频图上 除了在其振动周期 T的倒数的频率 (称为基频 f1 ) 处有一高强度谱线之外,在其基频的正整数倍 ( nf 1, 也称 n倍频 )处, 也存在着振幅强度随频率的升高 而逐渐衰减的离散的频谱线 (称为高次谐波 ). 这里 的正整数 n包括了奇数 (奇次谐频 )和偶数 (偶次谐 频 )两种成分, 具体视振动波形对称性的不同, 有可 能频谱中仅含有奇次谐频,或者奇数偶数兼而有之. 周期信号的频谱都有一个最普遍的共同点, 那就是 第 5期 � � � � 黄兆梁:对有质量弹簧的振子系统振动周期的探讨 33��� 周期信号的频谱线的各频率之比必定是一个有理 数,各谱线的频率之间存在着一个最大公约数 � � � 基频 f1,其倒数就是振动周期 T = 1 /f1, 它也是所有 振型中各频率倒数 ( 1 /f i )的最小公倍数. 图 1显示 的是周期信号 f ( t) = sin( t) + 0. 3 sin(2t) ,具有严格 意义上的周期. 图 1� 周期信号示例 如果信号的频谱虽然是呈离散型,但是各频谱 线 f i之间并不存在一个最大公约数 f1, 这就意味着 没有严格意义上的振动周期.换句话说,各谱线的频 率之比 ( fm /fn )不再是有理数, 而是无理数, 各振动 模态的周期之间具有 �不可公度性 �, 也就是说不存 在一个最小公倍数 T 0,这将不再能满足 f ( t) = f ( t+ T 0 )的周期定义.换句话说, f ( t)就不是周期信号,而 是准周期信号.图 2显示的就是准周期信号 f ( t) = sin( t) + 0. 3sin( 3t),它不具有严格周期,只有近似 周期. 准周期信号虽然不具有严格意义上的周期,但 从近似的意义上讲, 准周期信号可以看作是以其频 率最低的振动频率 (也称基频 f 1, 其振幅最大 )的倒 数作为其近似的振动周期 T � 1 /f1,这在工程实践中 是可以被接受的.正因为准周期信号本身不具有严 格的周期而仅具有近似周期,所以希望通过精确的 实验来准确验证有质量弹簧的振子系统的振动周期 与弹簧有效质量之间关系的种种努力也都难以获得 预期的准确结果. 还有其它类型的非周期信号, 比如瞬变非周期 信号, 其频谱分布的特点是频谱不再呈离散型,而是 呈一种连续分布,其振幅强度也将随着频率的升高 而逐渐衰减. 2� 有质量弹簧的振子系统的频谱特点 简谐振动的频谱是最为简单的, 理论上它仅仅 在其振动频率上有一条谱线.正是由于弹簧本身无 质量因而也就没有惯性, 在弹簧的振动过程中就不 图 2� 准周期信号示例 会由于自身的惯性与弹性的相互作用而产生疏密相 间的弹性波动,整个弹簧在振动过程中的同一个瞬 间各处的应变也都是相同的, 而在不同瞬间的应变 则是各不相同、有所变化的, 这与静态拉伸或压缩时 的应变情况相一致. 对于弹簧质量不可忽略的振子系统, 其振动的 频谱就要复杂得多 [ 2] , 理论分析 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明, 各振动角频 率 �i满足本征值方程 (�i m 1 /k tan ( �i m 1 /k ) = m 1 /m 0, 这是一个超越方程, 各频率之比是无理数. 在没有外加激励的自由振荡情况下, 除了在其振动 频率 (基频 f 1 )上出现一条最强的谱线外, 在其更高 的频率 (注意: 这里并不是基频的整数倍 )处也存在 着无穷多的离散频谱线, 这些频谱线随着频率的增 高而快速衰减;在有外加持续激励的情况下,在激励 频率上或其附近将出现一条最强的信号谱线, 随着 离激励频率的远离,其离散分布的谱线强度也将快 速衰减,同样这些谱线的频率之间也是不可公约的. 也就是说弹簧若具有离散分布的集中质量则振动模 式将是有限的,这取决于振动自由度数,譬如在有限 元仿真情况下系统的振动模态数必定是有限的; 弹 簧若具有连续分布质量的振子系统其振动模式就有 无穷多,各模式振动频率之比为无理数,因而各模式 的振动频率之间不存在最大公约数. 没有一个最大 公约数也就意味着没有 � 个最小周期 (这就是通常 意义上的周期概念 ), 这也就注定了有质量弹簧振 子系统不存在严格意义上的振动周期.所有这些频 谱分布特征恰恰符合了非周期信号中的准周期信号 的频谱分布特点, 由此我们可以推断具有质量的弹 簧组成的弹簧振子系统仅仅具有近似意义上的振动 周期,或称为准周期,而不再具有严格意义上的振动 周期.也可以这样简单地理解:准周期信号是在周期 信号 (基频 )的基础上叠加了许许多多小振幅高频 34��� 大 � 学 � 物 � 理 � � 第 30卷 率的 �干扰信号�,并且这些小振幅的 �干扰 �都源于 内在的而非外来的因素. 3� 进一步的讨论 对振子振动问题的研究文献较多,就不加细述 了.文献 [ 3]论述了关于弹簧质量对振动的影响,得 出的结论是弹簧的质量并不影响弹簧振子系统作简 谐振动.但分析该文可发现在论述中存在一点至关 重要的疏漏,即在弹簧振子的动能与势能的积分计 算中所依据的弹簧应变定义关系式: x- x0 x 0 = xi - xi0 xi0 在这里该式是不成立的, 因为它只适用于两种情况 之一才能成立: 1) 在静态拉伸或压缩的初始条件下 ( t= 0), 2) 无质量的弹簧 (m = 0). 不妨反证一下, 假如上式对任何时刻 t能够成立, 那就意味着弹簧 中的弹性恢复力处处相等,根据牛顿第二定律,由于 弹簧中的任何微元 �m i两端的弹性力相等而处于平 衡状态,满足运动方程 �m ia = 0,其中 a为微元的加 速度, 因此 �m i � 0时, a = 0;或者 a� 0时, �m i = 0. 前者微元不具有加速度,也就不可能发生振动,这将 与弹簧作振动相矛盾;后者微元质量为零,虽说可以 作振动,但是又与微元具有质量相矛盾.因此, 无论 如何这都无法避免陷入逻辑矛盾之中, 因而证明了 上述应变关系式是不可能对任意时刻 t都能成立 的.实际上弹簧中存在着由于其自身质量的惯性与 弹性恢复力的相互影响而形成疏密相间的弹性波, 对外表现为弹簧各处的匝距将是不均匀的. 尤其当 采用了长度较长、线径较细、弹簧直径较粗的柔软弹 簧的时候,就更容易看到在振动过程中,弹簧中是存 在疏密相间的弹性波的, 这种弹性波也将随着时间 的推移而沿着弹簧作纵向传播,并且这种波会在传 播介质的突变处,如各连接端面处形成反射波与透 射波, 因此在弹簧中的不同部位其弹簧微元的应变 也将是变化的、不均匀的, 它不可能是一个不变的常 量.因此依据该不能成立的应变关系式所进行的理 论推导实际上已经人为地引入了弹簧本身无质量或 弹簧本身是处于静止状态的假设, 无论是这两条假 定中的任何一条都不符合当前讨论的有质量弹簧的 振动问题,由此而得出的有质量弹簧的振子系统仍 然是作简谐振动的结论就未免不合逻辑或至少可以 说是论证不严,这就缺乏了应有的说服力,其结论显 然也是难以成立的. 文献 [ 4]则给出了另一个典型 示例说明一旦忽视了弹簧中存在弹性波的客观事 实, 认为弹簧中的应变是均匀的, 那就势必陷入类似 的逻辑矛盾之中而难以自圆其说. 4� 结束语 从有质量弹簧振子的振动的频谱分布的特点可 以得出其振动不再是严格的周期运动,而是一种准 周期性运动.但是由于其频谱分布还是以基频为主, 其余频谱成分相对很弱, 通常情况下要小几个数量 级, � 般的检测仪器都难以察觉其对振动的影响,即 使存在对振动的微小影响也往往被认为是测量中的 干扰因素或测量误差而被忽略不计了.因此从实际 情况看,有质量弹簧振子的振动也可以近似被看作 是周期运动,但是从严格的理论意义上来说,它应该 被认定为是作准周期性运动,而不是周期性运动.振 动频谱中较高的频谱成分虽然影响不大,但也不可 认定为属于外来干扰或测量误差, 而是属于其本身 固有的频谱成分,是其频谱中不可分割的一部分.简 而言之,有质量弹簧的振动不存在严格意义上的周 期, 而只有近似意义或实用意义上的准周期,这两者 在概念上是有区别的,不可混淆. 参考文献: [ 1] � 罗蔚茵.关于弹簧振子固有频率的进一步讨论 [ J] .大 学物理, 1985, 4( 11): 9�11. [ 2] � 黄兆梁.弹簧质量对振动的影响 [ J], 大学物理, 1998, 17( 3) : 12�16. [ 3] � 谢利民.弹簧振子运动的实际动力学分析 [ J]. 上海师 范大学学报, 2002, 31( 2): 91�95. [ 4] � 赵强,田蓬勃. 弹簧振子佯谬 [ J]. 物理与工程, 2002, 12( 1) : 12�13. (下转 38页 ) 38��� 大 � 学 � 物 � 理 � � 第 30卷 图 9 v 2 = �2NM 2 ( 15) N为瞬心. 由NM 2 = R 2 + q2 - 2Rqcos�及以上两式得 到旋轮线的曲率半径为 �= v2 an = (R 2 + q 2 - 2Rqcos �) 3 /2 q ( q- R cos �) ( 16) 曲线的最大和最小曲率半径分别为 �m ax = ( q+ R ) 2 q , � �m in = ( q- R ) 2 q 特别地,当 q= R时 �= 4R sin � 2 ( 17) 此时,最大和最小曲率半径分别为 �max = 4R, � �m in = 0 可以证明, 式 ( 16) � ( 17)是普遍成立的, 无论 圆轮在直线上方滚动还是下方滚动, 也与圆轮的转 动方向、M 点的初位置无关. 注意: 当 q < R 时, 式 ( 16)分母应加绝对值符号. 参考文献: [ 1] � 魏国柱,石晓玲, 杜安. 带电粒子在相互垂直的匀强电 场和磁场中的运动轨迹 [ J]. 大学物理, 2008, 27( 6): 15�17. [ 2] � 赵灿东. 摆线性质的物理分析方法 [ J]. 大学物理, 2010, 29( 2) : 12�13. Radius of curvature of trajectory and trajectory of a charged particle moving in a crossed uniform electric andmagnetic field ZHANG Jiu�zhu ( Longm en Schoo l o f Jinchuan G roup LTD, Jinchang, Gansu 737100, China) Abstract: Th is paper d iscusses the cyc lo id trajectory o f a charged particlemoving in a crossed un iform electric and magne tic field and how it is formed by awheel ro lling. In order tom ake themotion of the charged part ic le to be clear, w e also use physical analysis to bring forw ard the formula o f cyclo id rad ius of curvature. Key words: effect ive mass; e lectric field; m agnetic field; cyclo id; rad ius of curvature (上接 34页 ) Exploration of the period ofmass- spring oscillator HUANG Zhao�liang ( Chang zhou Institute o f Techno logy, Changzhou, Jiangsu 213002, Ch ina) Abstract: This paper ana lyzes the frequency spectrum o f typical v ibrat ion signal d istribution and po ints out that the frequency spectrum ofmass- spring oscillator v ibrat ion is consistentw ith the spectrum characterist ics of quasi- period ic signa.l So it no longer has the strict sense of the v ibration cycle, only ex ists the approx imate sense o f quasi - per iodic, and then the quasi- period ic concept ofm ass- spring oscillator is clarified. Key words: spring oscillator; spring mass; simp le harmon ic oscillation; quasi- periodic ity