2012广州中考数学真题

第 1 页 （共 11 页） 2012 年广州中考数学详细解答 广州智康 1对 1数学教研团队 一、 选择题（本大题共 10小题，每小题 3分，满分 30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的） 1. 实数 3的倒数是（ ） A. 1 3  B. 1 3 C.-3 D.3 【考点】：倒数 【分析】：3的倒数是 1 3 ，因此选 B 2. 将二次函数 2y x 的图像向下平移一个单位，则平移后的二次函数的解析式为（ ） A. 2 1y x  B. 2 1y x  C. 2( 1)y x  D. 2( 1)y x  【考点】：二次函数的平移 【分析】：平移规律：左加右减，上加下减，其中左右是对自变量 x而言，上下是对,函数关系式而言， 因此选 A. 3. 一个几何体的三视图如图 1所示，则这个几何体是（ ） A.四棱锥 B.四棱柱 C.三棱锥 D.三棱柱 【考点】：三视图 【分析】：结合图形，由三棱柱的定义可得答案 D 4. 下面的计算正确的是（ ） A. 6 5 1a a  B. 2 32 3a a a  C. ( )a b a b     D. 2( ) 2a b a b   【考点】：整式的运算，包括合并同类项，去括号 【分析】：合并同类项，所含字母及其指数不变，把系数相加，因此选项 A、B均错，当括号外面是“-“号 时，去掉括号，括号里的每一项都要变号，选项 C正确，由乘法分配率可知选项 D错。因此答案选 C 俯视图 左视图主视图 第 2 页 （共 11 页） 5. 如图 2，在等腰梯形 ABCD 中， / /BC AD ,AD=5，DC=4， / /DE AB交 BC 于点 E，且 3EC  ， 则梯形 ABCD 的周长是（ ） A.26 B.25 C.21 D.20 【考点】：等腰梯形的性质 【分析】：在等腰梯形 ABCD 中，AB=CD,因为 / /AB DE ,所以四边 形 ABED 是平行四边形，DE=DC=AB=4，AD=BE=5，所以梯形 ABCD的周长为（4+4+5+5+3）=21， 答案选 C. 6. 已知 1 7 0a b    ，则a b （ ） A.-8 B.-6 C.6 D.8 【考点】：绝对值及二次根式的非负性. 【分析】：由题意可知， 1 0 7 0 a b      ，则 1 7 a b     ，所以 6a b   ，答案选 B 7. 在 Rt ABC 中， 90C  ，AC=9，BC=12，则点 C 到 AB的距离是（ ） A. 36 5 B. 12 25 C. 9 4 D. 3 3 4 【考点】：勾股定理，等面积法.智康 1对 1提醒您 【分析】：易得 AB=15，由面积相等知，9 12 15h  ， 36 5 h  ，即为 C到 AB 的距离.因此答案 A. 8. 已知a b ，若c是任意实数，则下列不等式中总是成立的是（ ） A.a c b c   B.a c b c   C.ac bc D.ac bc 【考点】：不等式的性质 【分析】：在不等式两边同时加上或减去同一个数，不等号方向不变，所以 B 正确；在不等式两边同 时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；在不等号两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向 改变，由于 c不确定，所以选项 C、D 均错，因此答案选 B. A D B CE 第 3 页 （共 11 页） 9. 在平面中，下列命题为真命题为真命题的是（ ） A.四边相等的四边形是正方形 B.对角线相等的四边形是菱形 C.四个角相等的四边形是矩形 D.对角线互相垂直的四边形是平行四边形 【考点】：平行四边形，正方形，菱形，矩形的性质、判定智康 1对 1提醒您 【分析】：智康 1 对 1 提醒您：四边相等的四边形可能为菱形，选项 A 错；对角线互相垂直平分的四 边形为菱形，选项 B错；四边形的四个角相等，由四边形的内角和为360 知每个内角均为90 ，选项 C 正确；对角线互相平分的四边形为平行四边形，选项 D错，因此答案选 C 10. 如图 3，正比例函数 1 1y k x 和反比例函数 2 2 k y x  的图像交于 A(-1,2)，B（1，-2）两点，若 1 2y y ， 则 x的取值范围是（ ） A. 1 >1x x  或 B. <-1 0< 1x x 或 C. -1< <0 0< 1x x 或 D. -1 0 1x x  或 【考点】：一次函数与反比例函数的图像与性质，数形结合 【分析】：由图可知，当 1 0x   时， 1 2y y ，当 1x  时， 1 2y y ，因 此答案选 D. 二、填空题（共 6小题，每小题 3分，满分 18分） 11.已知 30ABC  ,BD是 ABC 的平分线，则 ABD  度 【考点】：角度。 【分析】：根据角平分线的定义求解． 【解答】： 15 12.不等式 1 10x   的解集是 【考点】：不等式 【分析】：解一元一次不等式． 【解答】： 11x  13.分解因式： 2 8a a  【考点】：因式分解-提公因式法 【分析】：．确定公因式为 a，然后提取公因式 a即可 【解答】： ( 8)a a  第 4 页 （共 11 页） 14.如图 4，在等边 ABC 中， 6,AB  D是 BC上一点，且 3 ,BC BD ABD 绕点 A旋转后得到 ,ACE 则CE的长度为 【考点】：三角形、旋转 【分析】： 2 3 1  BCBD ，根据旋转的性质BD CE ,求出CE的长度 【解答】： 2CE  15．已知关于 x的一元二次方程 2 2 3 0x x k   有两个相等的实数根，则 k的值为 【考点】：一元二次方程 【分析】：利用判别式 2 4 0b ac    求方程根的情况 【解答】：   2 2 3 4 12 4 0,k k      解得 3k   16.如图5，在标有刻度的直线 l上，从点 A开始， 以 1AB  为直径画半圆，记为第1个半圆； 以 2BC  为直径画半圆，记为第2个半圆； 以 4CD  为直径画半圆，记为第3个半圆； 以 8DE  为直径画半圆，记为第4个半圆； ……，按此规律，继续画半圆，则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的 倍，第 n个半圆 的面积为 （结果保留 ） 【考点】：圆、找规律 【分析】： 1 2 3 4 1 1 , , 2 , 8 , 8 2 S S S S       …… 【解答】： 1 2 5 1 (4) 2 8 n nS     E CD B A 第 5 页 （共 11 页） 三、解答题（共 9小题，满分 102分） 17．（本小题满分9分） 解方程组： 8 3 12 x y x y      【考点】：二元一次方程组 【分析】： 代入消元法 【解答】： 5 3 x y     18．（本小题满分9分） 如图 6 ，点 D在 AB上，点 E在 AC 上， , ,AB AC B C    求证： BE CD 【考点】：三角形全等 【分析】： ( )ABE ACD ASA BE CD   求证： ， 【解答】：求证 A A AB AC B C         ，从而推出 ABE ACD   19．（本小题满分9分） 广州市努力改善空气质量，今年来空气质量明显好转，根据广州市环境保护局公布的2006 2010 这 五年各年的全年空气质量优良的天数，绘制折线图如图 7，根据图中信息回答： （1） 这五年的全年空气质量优良天数的中位数是 ，极差是 （2） 这五年的全年空气质量优良天数与它这一年相比较，增加最多的是 年（填写年份） （3） 求这五年的全年空气质量优良天数的平均数。 【考点】：数据 第 6 页 （共 11 页） 【分析】：看图识数据 【解答】： （1）345；24（2）2008（3）343.2 20. （本小题满分 10分） 已知 1 1 5( )a b a b    ，求 ( ) ( ) a b b a b a a b    的值 【考点】：通分、因式分解 【专题】：代数式化简求值 【答案】： ( ) ( ) a b b a b a a b    = 2 2 ( ) a b ab a b   = ( )( ) ( ) a b a b ab a b    = a b ab  = 1 1 a b  = 5 21. （本小题满分 12分） 甲、乙两个袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片。甲袋中的三张卡片上所标的数值数值分别 为-7、-1、3；乙袋中的三张卡片上所标的数值分别为-2、1、6.先从甲袋中随机取出一张卡片，用 x 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示取出的卡片上所标的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片。用 y表示取出的卡片上所标的数值。把 x、 y分别作为点 A的横坐标、纵坐标。 （1）用适当的方法写出点 A（ x、 y）的所有情况； （2）求点 A落在第三象限的概率。 【考点】：概率问题 【分析】用树状图或列表等方法列出所有事件，找出对应事件并求概率 【解答】：甲：-7、-1、3 乙：-2、1、6 ∴A（-7，-2），（-7,1），（-7,6） （-1，-2），（-1,1），（-1,6） （3，-2），（3,1），（3,6） ∴A点落在第三象限， 0, 0x y  ∴只有（-7，-2），（-1，-2） 2 = 9 p 61-2 -7 61-2 -1 61-2 3 第 7 页 （共 11 页） 22. （本小题满分 12分） 如图 8，的圆心为 ( 3,2)P  ，半径为 3，直线MN过点M（5,0）且平行于 y轴，点 N 在点M的上方。 （1） 在图中作出 P 关于 y轴对称的 'P ，根据作图直接写出 'P 与直线MN的位置关系。 （2） 若点 N在（1）中的 'P 上，求 PN 的长。 【考点】：图形的对称，直线与圆的位置关系，垂径定理 【分析】：（1）做出 P 关于 y轴的对称点 'P ，求出相应坐标，然后用点到直线的距离即可判断。 （2）利用垂径定理，构造直角三角形利用勾股定理即可。智康 1对 1提醒您 【解答】： （1）如图所示为所求 （2）P(-3，2)，R=3关于 y轴对称 2 '(3,2), 3 ' , (5,0) 2 5 8 5 69 P R P D MN M PD DN PN           ，作圆，过P'作 ， 23. （本小题满分 12分） 某城市居民用水实行梯度政策，每户每月用水量如果未超过 20吨，按每吨 1.9元收费，每户每月用水 量如果超过 20吨，未超过的部分仍按每吨 1.9元收费，超过的部分则按每吨 2.8元收费。设每户用水 量为 x吨，应收水费为 y元。 （1） 分别写出每月用水量未超过 20吨时和超过 20吨时， y与 x间的函数关系式。 （2） 若该城市某户 5月份水费平均为每吨 2.2元，求该户 5月份用水多少吨？ 【考点】：二元一次方程组应用题 【分析】：本题考察分段函数的应用，两段都为一次函数，智康 1 对 1 提醒您题目难度中等。根据题 意，20 吨为分段点，当0 20x  时，每吨 1.9元收费，所以每吨 1.9 元收费，所以有 y  1.9x。当 超过 20 吨，未超过的部分仍按每吨 1.9 元收费，超过的部分则按每吨 2.8 元收费。所以先计算前 20 吨所用费用为1.9 20 38   ，剩下 ( 20)x  吨，费用为 ( 20) 2.8 2.8 56x x    ，所以总费用 第 8 页 （共 11 页） 2.8 18x  。 由水费平均为每由吨 2.2元可知，用水量一点超过 20吨，所以 2.8 18 2.2 x x   解得 x =30。 【答案】：（1） 2 1.9 (0 20) ( 20).8 18 x x y xx        （2） 2.8 18 2.2 x x   x =30 24.（本小题满分 14分） 如图 9，抛物线 2 3 3 3 8 4 y x x    与 x轴交于 A B、 两点（ A点在B点的左侧），与 y轴交于点C . （1） 求点 A B、 的坐标； （2） 设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当 ACD 的面积等于 ACB 的面积时，求点D的 坐标； （3） 若直线 l过点 (4,0)E ，M 为直线上的动点，当以 A B M、 、 为顶点所作的直角三角形有且只．．． 有．三个时，求直线 l的解析式. 【考点】：二次函数综合题. 【专题】：二次函数的基本性质，三角形的面积，平行线的性质. 【分析】：（1）主要考察二次函数的基本性质； （2）三角形的面积问题，考察平行条件的运用，直线方程的确定 （3）三角形与圆知识的结合，画出相应图形，即可求出相应的直线方程. 解答：（1） 2 3 3 3 3= ( 2)( +4) 8 4 8 y x x x x      ，且 A B、 为抛物线与 x轴的交点， ( 4,0) (2,0)A B  、 . （2）由抛物线的解析式知 (0,3)C ，故 =3, =6, =5OC AB AC ， 1 = 6 3=9 2 ACBS   . 又 = =9ACD ACBS S  ，故 AC边上的高为 18 5 . 由于点D在对称轴 = 1x  ，故设 ( 1, )D y ，设 = 1x  与直线 AC交于点N ， 容易求的直线 AC： 3 = +3 4 y x ，故点 9 1, 4 N       . 过D做DF AC 于点F ，则 18 = 5 DF ，则易知 =CAB FDN  . 第 9 页 （共 11 页） cos =cosCAB FDM   ，即 = OC DF AC DN ， 18 4 5= 5 DN ，故 9 = 2 DN .  9 9 1, 4 2 D        ，即点 9 1, 4 D        或 27 1, 4 D       . （4） 若要求以 A B M、 、 为顶点所作的直角三角形有且只有三个，只需要每一个字母做一次直角 顶点，此时 A B、 为直角顶点的情况只有一种，因此只要点M 为直角顶点时只有一种情况， 此时，直线EM与过 A B M、 、 三点的圆相切，如图： 设圆心为 P ，则 1 = =3 2 PM AB ， =4+1=5PE ，由于 =90PME ，故 =4EM ，则有 3 tan = 4 MEP . 设过E M、 的直线方程为： = ( 4)y k x  ，则 3 = 4 k  ， 直线 l的解析式为 3 = ( 4) 4 y x  或 3 = ( 4) 4 y x  . 第 10 页 （共 11 页） 25.（本小题满分 14分） 如图 10，在平行四边形 ABCD中， =5AB ， =10BC ， F 为 AD的中点，CE AB 于点 E，设 = (60 90 )ABC     . （1） 当 =60 时，求CE的长； （2） 当60 < <90 时， ① 是否存在正整数 k，使得 =EFD k AEF  ？若存在，求出 k的值；若不存在，请说明理由. ② 连接CF ，当 2 2CE CF 取最大值时，求 tan DCF 的值. 【考点】四边形与函数综合题. 【专题】二次函数的基本性质，四边形相关性质. 【分析】 （1）主要考察含特殊角的三角形三边关系的运算； （2）第一问主要考察平行线性质的运用，三角形斜边上的中线，以及菱形的相关性质； 智康一对一提醒您第二问考察二次函数的运用，利用边之间的关系转化为二次函数最大值的问题，最 后的结论考察了三角函数的基本运用。 解：（1）∵在 BCE 中， =10BC ， = =60ABC  ∴ 10 sin60 5 3CE BC Sin     （2）过点F 作 FH//CD 交 BC于 H，交 EC 于 K，连接 EH。 ○1 ∵F为 AD 中点∴H为 BC中点，四边形 FHCD 为菱形。 ∴ 1 5 2 EH HC FH BC    90 / /CEB AB FH FH EC FH EC       ， 为线段 的垂直平分线 EFH HFC  ○1 / /AB FH AEF EFH  ○2 ∵四边形 FHCD 为菱形 HFC DFC  ○3 ∴由○1 ○2 ○3 得 3EFD EFH HFC CFD AEF      即 3K  ○2 设 2 2 2 2 2 , 2 , 5 100 4 25 2 HK x BE x FK x CE BC BE x CE CK x              则 第 11 页 （共 11 页） 在 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (25 ) (5 ) 50 10 5 225 100 4 50 10 4 10 50 4( ) 4 4 Rt CFK CF CK FK x x x CE CF x x x x x                        中 由二次函数性质知： 当 2 2 5 = 4 x CF时，CE 取最大值 此时 5 5 15 , 5 4 4 4 HF FK    2 5 5 15 , 5 2 4 4 5 5 5 , 25 ( ) 5 2 2 4 BE FK BE CK           又∵ / /FH CD DCF CFK  5 15 154tan 15 3 4 CK DCF FK     