解析几何—直线和圆复习

解析几何—直线和圆复习专讲 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 型一 两直线的位置关系 例1、直线 和 互相垂直,那么 等于 ( C ) A.1    B.  C. 1或    D. 3或4 例2、（福建卷）已知两条直线 和 互相垂直，则 等于 （A）2　　　　（B）1　　　　（C）0　　　　（D） 解析：两条直线 和 互相垂直，则 ，∴ a=－1，选D. 例3、（上海理2）已知 与 ，若两直线平行，则 的值为 【 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】 【解析】 题型二 求直线、圆的方程问题 例1、如图，直角三角形 的顶点坐标 ，直角顶点 ，顶点 在 轴上，点 为线段 的中点．（1）求直线BC的斜率及点C的坐标；（2）求 边所在直线方程； （3） 为直角三角形 外接圆的圆心，求圆 的方程。 解：（1）∵ ， ，∴ （3分） 由两点间距离公式得 ， 由△OAB∽△OBC，得 ，可求得 , 于是在Rt△OBC中可求得 ，∴ （7分） （2），由点斜式或两点式可求得 .（11分） （3）在上式中，令 ，得 ，∴圆心 又∵ ，∴外接圆的方程为 . 例2、过点（２，３）的直线Ｌ被两平行直线Ｌ１：２ｘ－５ｙ＋９＝０与Ｌ２：２ｘ－５ｙ－７＝０所截 线段ＡＢ的中点恰在直线ｘ－４ｙ－１＝０上，求直线Ｌ的方程. 解：设线段ＡＢ的中点P的坐标（a，b），由P到L1，、L2的距离相等， 得 EMBED Equation.3 经整理得， ，又点P在直线ｘ－４ｙ－１＝０上，所以 解方程组 得 即点P的坐标（-3，-1），又直线L过点（２，３） 所以直线Ｌ的方程为 ，即 例3、已知关于x,y的方程C: .（1）当m为何值时，方程C表示圆。 （2）若圆C与直线l:x+2y-4=0相交于M,N两点，且 = ,求m的值。 解：（1）方程C可化为 显然 时方程C表示圆。（2）圆的方程化为 圆心 C（1，2），半径 则圆心C（1，2）到直线l:x+2y-4=0的距离为 ，有 得 例4、已知圆C经过A（1， ），B（5，3），并且被直线 ： 平分圆的面积.（Ⅰ）求圆C的方程； （Ⅱ）若过点D（0， ），且斜率为 的直线 与圆C有两个不同的公共点，求实数 的取值范围. 解：（Ⅰ）线段AB的中点E（3，1）， 故线段AB中垂线的方程为 ，即 ……2分 由圆C经过A、B两点，故圆心在线段AB的中垂线上 又直线 平分圆的面积，所以直线 经过圆心 由 解得 即圆心的坐标为C(1，3), ……4分 而圆的半径 |AC|= 故圆C的方程为 ……6分 （Ⅱ）由直线 的斜率为 ，故可设其方程为 ……8分 由 消去 得 由已知直线 与圆C有两个不同的公共点 故 ，即 解得： 或 ……12分 练习 1、（2010年高考山东卷理科16）已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线 ： 被圆C所截得的弦长为 ，则过圆心且与直线 垂直的直线的方程为 ． 【答案】 【解析】由题意，设所求的直线方程为 ，设圆心坐标为 ，则由题意知： ，解得 或-1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以 ，故圆心坐标为 （3，0），因为圆心（3，0）在所求的直线上，所以有 ，即 ，故所求的直线方程为 。 【命题意图】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了同学们解决直线与圆问题的能力。 2、（2010广东理12）已知圆心在x轴上，半径为 的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是 【答案】 【解析】设圆心为 ，则 ，解得 ． 4、(2010宁夏15）过点A(4,1)的圆C与直线x-y=0相切于点B（2,1），则圆C的方程为____ 【答案】 解析：设圆的方程为 ，则根据已知条件得 ． 3、已知曲线C：x2+y2-2x-4y+m=0（1）当m为何值时，曲线C表示圆；（2）若曲线C与直线x+2y-4=0交于M、N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值。 解 （1）由D2+E2-4F=4+16-4m=20-4m>0，得m<5。 （2）设M(x1,y1),N(x2,y2)，由OM⊥ON得x1x2+ y1y2=0。 将直线方程x+2y-4=0与曲线C：x2+y2-2x-4y+m=0联立并消去y得 5x2-8x+4m-16=0，由韦达定理得x1+x2= ①,x1x2= ②，又由x+2y-4=0得y= (4-x), ∴x1x2+y1y2=x1x2+ (4-x1)· (4-x2)= x1x2-( x1+x2)+4=0。将①、②代入得m= . 4、已知直线 经过两点 ， .（1）求直线 的方程；（2）圆 的圆心在直线 上，并且与 轴相切于 点，求圆 的方程. 解：（1）由已知，直线 的斜率 所以，直线 的方程为 . （2）因为圆 的圆心在直线 上，可设圆心坐标为 ，因为圆 与 轴相切于 点，所以圆心在直线 上，所以 ， 所以圆心坐标为 ，半径为1， 所以，圆 的方程为 . 5、已知 的顶点 ， 边上的中线 所在的直线方程为 ， 边上的高 所在直线的方程为 .（1）求 的顶点 、 的坐标；（2）若圆 经过不同的三点 、 、 ，且斜率为 的直线与圆 相切于点 ，求圆 的方程. 解：（1） 边上的高 所在直线的方程为 ，所以， ， 又 ，所以， ， 设 ，则 的中点 ，代入方程 ， 解得 ，所以 . （2）由 ， 可得，圆 的弦 的中垂线方程为 ， 注意到 也是圆 的弦，所以，圆心在直线 上， 设圆心 坐标为 ， 因为圆心 在直线 上，所以 …………①， 又因为斜率为 的直线与圆 相切于点 ，所以 ， 即 ，整理得 …………②， 由①②解得 ， ， 所以， ，半径 ， 所以所求圆方程为 。 题型三 直线和圆的位置关系 例1、(2010湖北理）若直线 与曲线 有公共点，则 的取值范围是（ ） A． B. C. D. 【答案】C 【解析】曲线方程可化简为 ，即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，依据数形结合，当直线 与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b距离等于2，解得 ，因为是下半圆故可得 （舍），当直线过（0，3）时，解得b=3,故 所以C正确. 例2、（2010年高考四川卷理科14）直线 与圆 相交于A、B两点，则 . 解析：方法一、圆心为(0,0)，半径为2 圆心到直线 的距离为d＝ w_w w. k#s5_u.c o*m 故 得|AB|＝2 EQ \r(3) 答案：2 EQ \r(3) 例3、（2010江西理8）直线 与圆 相交于M，N两点，若|MN|≥ ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 练习 1、(2011江西理9)若曲线 ： 与曲线 ： 有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（ ） ．( ， ) ．( ，0)∪(0， ) ．[ ， ] ．( ， )∪( ，+ ) 2、直线 截圆 得到的弦长为（ B ） A． B． C． D． 3、（2010江苏卷9）在平面直角坐标系xOy中，已知圆 上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是______▲_____ 【答案】（-13，13） [解析]考查圆与直线的位置关系。 圆半径为2，圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1， ， 的取值范围是（-13，13）。 4、如右图，定圆半径为 ，圆心为 ，则直线 与直线 的交点在（ D ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5、（2010上海理5）圆 的圆心到直线l: 的距离 。 【答案】3 题型四 最值及范围 例1、已知圆 和点 点 在⊙ 上运动．求 的最大(小)值及相应的 点坐标． 解：如图，设 点坐标为 　， 则 EMBED Equation.3 令 ,显然 表示圆 上一点到原点的距离的平方，当 最大（小）时 最大（小）设直线 交圆 于两点 当 重合时， 最小，其值为 当 重合时， 最大，其值为 EMBED Equation.3 的最大值为74，最小值为34. 直线 的方程为 ，解方程组 台得 即相应的点 的坐标 练习 1、在圆 内，过点 的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（ ） （A） （B） （C） （D） 解析：选B ，由题意，AC为直径，设圆心为F，则 ,圆的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程为 ，故 ，由此，易得： ，又 ，所以直线BD的方程为 ，F到BD的距离为 ，由此得， 所以四边形ABCD的面积为 2、已知：P（x,y）是圆 上任意一点，则 的最大值是（ A ） A． B． C．5 D．6 3、圆x2+y2-2x-2y+1=0上的动点Q到直线3x+4y+8=0距离的最小值为______. 【分析】本题考查圆的性质与直线的位置关系、函数以及基本的运算技能.本题有两种做法①做与直线3x+4y+8=0平行的直线且与圆相切，将来会得到两条，有两个切点，这两切点到3x+4y+8=0的距离就得到圆上的点到直线的最大值和最小值.②以圆心做标准，到直线的距离减去或加上半径就是圆上的点到直线的最小值和最大值.圆心到直线的距离d= =3，∴动点Q到直线距离的最小值d-r=3-1=2. 4、（山东理15）与直线 和曲线 都相切的半径最小的圆的标准方程是_________. 【答案】:. 【分析】：曲线化为 ，其圆心到直线 的距离为 所求的最小圆的圆心在直线 上，其到直线的距离为 ，圆心坐标为 标准方程为 。 5、已知圆C: EMBED Equation.DSMT4 ，过定点P(0 , 1)作斜率为1的直线交圆C于A、B两点，P为线段AB的中点.（Ⅰ）求 的值；（Ⅱ）设E为圆C上异于A、B的一点，求△ABE面积的最大值； （Ⅲ）从圆外一点M向圆C引一条切线，切点为N，且有|MN|=|MP| , 求|MN|的最小值，并求|MN|取最小值时点M的坐标. 解：（Ⅰ）由题知圆心C( )，又P（0，1）为线段AB的中点， ,即 ……4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知圆C的方程为 EMBED Equation.DSMT4 圆心C(-1, 2),半径R=2， 又直线AB的方程是 EMBED Equation.DSMT4 圆心C到AB得距离 当 时，△ABE面积最大， ……8分 （Ⅲ） 切线MN CN, , 又 |MN|=|MP|, 设M( )，则有 ，化简得： 即点M在 上， |MN|的最小值即为|MP|的最小值 ，解方程组： 得： 满足条件的M点坐标为 ……12分 题型五 对称问题 例1、求和直线 关于Q（5，－2）对称的直线的方程； 解：设 是直线 上的任意一点，其关于点 的对称点为 .则 ,点 在直线 上， 所以 ，即 例2、求和直线 关于直线 EMBED Equation.3 对称的直线 的方程. 解： 即两直线 与 的交点为 . 设对称的直线 斜率为 ，由于 到 的角等于 到 的角，由到角公式可得 ，所求的 的方程为 . 例3、（上海）圆 关于直线 对称的圆的方程是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 【答案】C 【解析】圆 ，圆心（1，0），半径 ，关于直线 对称的圆半径不变，排除A、B，两圆圆心连线段的中点在直线 上，C中圆 的圆心为（－3，2），验证适合，故选C。 题型六 求轨迹问题 例1、（北京2010第19题）、在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于 . (Ⅰ)求动点P的轨迹方程； (Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。 命题意图：本题主要考查求动点轨迹的一般方法，利用代数方法研究几何性质的思想。对学生解题策略的确定和优化解题方法的意识进行深入的考察。本题入口广，方法灵活多样，可以从多角度体现选拔功能。 （1） 解法一： 设点 ，因为 与 关于原点对称，所以可得 点坐标 ． 依题意可知， ． 故可得方程 ． 化简，得 （或 ）． 所以，动点 的轨迹方程为 （或 ）． 解法二： 设点 ， 因为 与 关于原点对称，所以可得 点坐标 ． 设直线 方程： ，① 则直线 方程为 ，② 将①、②两式相乘， ， 化简，得 （或 ）． 所以，动点 的轨迹方程为 （或 ）． （2） 解法一：（解析法，从点入手） 设点 ，因为直线 方程为 ， ， 所以点 到直线 的距离为 ， 则 ． 直线 的方程为 ， 因为 ，所以 ， 直线 的方程为 ， 因为 ，所以 ， 故 ， 则 ， 若存在点 ，使得 ，则有 ， 因为 ，所以 ，解得 ． 将 代入 ，可得 ． 故存在点 ，使得 ，此时 点坐标为 或 ． 练习1、（2007北京理17）矩形 的两条对角线相交于点 ， 边所在直线的方程为 ，点 在 边所在直线上（I）求 边所在直线的方程； （II）求矩形 外接圆的方程； （III）若动圆过点 ，且与矩形 的外接圆外切，求动圆 的圆心的轨迹方程． 命题意图：本题考查了平面解析几何中的基本的方法及内容，如直线的方程、两条直线的位置关系、圆的方程、圆和圆的位置关系等，重点突出了用代数方法研究几何问题这一解析几何的基本思想方法．本题是一道中等难度的试题． 正确答案： （I）由已知，因为 边所在直线的方程为 ，且 ，所以直线 的斜率为 ． 又因为点 在直线 上，所以 边所在直线的方程是 ，即 （II）解：由 解得点 的坐标是 ，因为矩形 的两条对角线相交于点 ，所以 是矩形 外接圆的的圆心． 又 ，所以矩形 外接圆的方程为 解法二：因为矩形 的两条对角线相交于点 ，所以 是矩形 外接圆的的圆心． 且点 到直线 的距离 ， 点 到直线 的距离 ． 则矩形 外接圆的的半径为 ，所以矩形 外接圆的方程为 解法三：由 解得点 的坐标是 ，因为矩形 的两条对角线相交于点 ，所以 是矩形 外接圆的的圆心，线段 是这个圆的直径．由 是线段 的中点可得点 的坐标为 ，则以线段 为直径的圆的方程为 ，即 （III）解法一：因为动圆 过点 ，所以 是该圆的半径，又因为动圆 与圆 外切，所以 ，即 故点 的轨迹是以 、 点为焦点，实轴长为 的双曲线的左支． 因为实半轴长 ，半焦距 ，所以需半轴长 ，从而动圆 的圆心轨迹方程为 （ ≤ ） 解法二：设动圆 的圆心为 ，因为动圆 过点 ，所以 是该圆的半径，又因为动圆 与圆 外切，所以 ， 所以 即 EMBED Equation.3 ，化简得 （ ≤ ），即为所求的圆心 的轨迹方程 。 x O y � EMBED Equation.DSMT4 ��� PAGE 1 _1292075750.unknown _1337539428.unknown _1337580567.unknown _1344862109.unknown _1347892063.unknown _1369059074.unknown _1369059078.unknown _1369059082.unknown _1386516124.unknown _1386516139.unknown _1386516147.unknown _1386518992.unknown _1386516131.unknown _1369059084.unknown _1369059085.unknown _1369059083.unknown _1369059080.unknown _1369059081.unknown _1369059079.unknown _1369059076.unknown _1369059077.unknown _1369059075.unknown _1351861463.unknown _1369029109.unknown _1369059072.unknown _1369059073.unknown _1369029134.unknown _1369029145.unknown _1369029121.unknown _1369028942.unknown _1369028976.unknown _1357018079.unknown _1347892190.unknown _1347892211.unknown _1347892121.unknown _1347890509.unknown _1347890533.unknown _1347891847.unknown _1347890520.unknown _1347890470.unknown _1347890485.unknown _1344862119.unknown _1337597672.unknown _1337624994.unknown _1344862086.unknown _1344862099.unknown _1337625732.unknown _1344862077.unknown _1337625582.unknown _1337618025.unknown _1337618081.unknown _1337617795.unknown _1337580661.unknown _1337593219.unknown _1337593239.unknown _1337593582.unknown _1337582986.unknown _1337582997.unknown _1337583103.unknown _1337582095.unknown _1337580609.unknown _1337580636.unknown _1337580580.unknown _1337541522.unknown _1337542152.unknown _1337543391.unknown _1337546951.unknown _1337547027.unknown _1337543453.unknown _1337543462.unknown _1337543417.unknown _1337543306.unknown _1337543348.unknown _1337543202.unknown _1337541908.unknown _1337542026.unknown _1337542034.unknown _1337541924.unknown _1337541705.unknown _1337541855.unknown _1337541868.unknown _1337541662.unknown _1337541421.unknown _1337541462.unknown _1337541483.unknown _1337541436.unknown _1337541198.unknown _1337541235.unknown _1337541393.unknown _1337541261.unknown _1337541222.unknown _1337539641.unknown _1337540048.unknown _1337539592.unknown _1337450809.unknown _1337536621.unknown _1337538962.unknown _1337539003.unknown _1337539267.unknown _1337539282.unknown _1337539195.unknown _1337538992.unknown _1337538903.unknown _1337538953.unknown _1337536677.unknown _1337451035.unknown _1337536590.unknown _1337536597.unknown _1337536610.unknown _1337536526.unknown _1337450895.unknown _1337450983.unknown _1337451000.unknown _1337451023.unknown _1337450926.unknown _1337450835.unknown _1337442297.unknown _1337446057.unknown _1337446093.unknown _1337450755.unknown _1337446632.unknown _1337446077.unknown _1337442912.unknown _1337442948.unknown _1337445985.unknown _1337442989.unknown _1337442397.unknown _1337442346.unknown _1337442054.unknown _1337442170.unknown _1337442252.unknown _1337442117.unknown _1334498701.unknown 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