误差理论与数据处理答案（第六章）

6-2 1) 散点图如下，从散点图中可以看出，质量与长度之间呈线性关系。 2) 序号 x/g y/cm x2/g2 y2/cm2 xy/g·cm 1 2 3 4 5 6 5 10 15 20 25 30 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8 25 100 225 400 625 900 52.5625 65.9344 80.1025 98.0100 118.8100 139.2400 36.25 81.2 134.25 198 272.5 354 Σ 105 56.92 2275 554.6594 1076.2 . . . . . . . . 2 2 2 g cm g cm g cm g cm g cm g cm N N i i i i N N N i i i i i i i N N N N i i i i i i i i xx i i x y N x y x y x y x N y N x y N l x = = = = = = = = = = = = = = = = = = ⋅ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= = = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 105 56 92 6 17 5 9 4867 2275 554 6594 1076 2 1837 5 539 9811 996 1 � . . . . . . ( . ) 2 2g cm g cm cm/g cm cm cm/g N N N N N N N i yy i i xy i i i i i i i i i i xy xx x N l y y N l x y x y N l b l b y bx y x = = = = = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞− = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ = = = ⋅ = = = − = = + ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 2 2 2 1 1 1 1 1 1 0 437 5 14 6783 80 1 0 1831 6 2824 6 2824 0 1831 列表计算如上，可得弹簧的刚性系数为 0.1831cm/g，自由状态下长度 为 6.2824cm。 6-6 解： 作散点图如上所示，可看出Δ与 D 呈对数函数关系。 设 x=ln(D/mm),y=Δ/μm,具体计算见下面两表： 序号 x= ln(D/mm) y=Δ/μm x2 y2 xy 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.609 2.303 3.912 4.605 5.011 5.298 5.522 5.704 5.858 5.992 8 11 19 23 27 29 32 33 35 37 2.5889 5.3038 15.3037 21.206 25.1101 28.0688 30.4925 32.5356 34.3162 35.9041 64 121 361 529 729 841 1024 1089 1225 1369 12.872 25.333 74.328 105.915 135.297 153.642 176.704 188.232 205.03 221.704 Σ 45.814 254 230.8297 7352 1299.057 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) . . . . . . . . N N i i i i N N N i i i i i i i N N N N i i i i i i i i N N N N xx i i yy i i xy i i i i i x y N x y x y x y x N y N x y N l x x N l y y N l x = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = − = − = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 45 814 254 10 4 5814 25 4 230 8297 7352 1299 057 209 8923 6451 6 1163 6756 ( )( ) � . . . . . . . [ . . ln( / mm)] m N N N i i i i i i xy xx y x y N l b l b y bx x D y μ = = = − = = = = = = − = − = − + Δ = − + ∑ ∑ ∑ 1 1 1 0 20 9374 900 4 135 3814 6 466 4 2233 4 2233 6 466 4 2233 6 466� 6-8 解：① 设重复测量的算术平均值为 yt。由已知结论知，对所有的观 测值进行回归等同于对重复观测值的算术平均值进行回归，具体计算 见下面两表。 序号 x/g y/cm x2/g2 y2/cm2 xy/g·cm 1 2 3 4 5 6 5 10 15 20 25 30 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8 25 100 225 400 625 900 52.5625 65.9344 80.1025 98.0100 118.8100 139.2400 36.25 81.2 134.25 198 272.5 354 Σ 105 56.92 2275 554.6594 1076.2 . . . . . . . . 2 2 2 g cm g cm g cm g cm g cm g cm N N i i i i N N N i i i i i i i N N N N i i i i i i i i xx i i x y N x y x y x y x N y N x y N l x = = = = = = = = = = = = = = = = = = ⋅ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= = = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 105 56 92 6 17 5 9 4867 2275 554 6594 1076 2 1837 5 539 9811 996 1 � . . . . . . ( . ) 2 2g cm g cm cm/g cm cm cm/g N N N N N N N i yy i i xy i i i i i i i i i i xy xx x N l y y N l x y x y N l b l b y bx y x = = = = = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞− = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ = = = ⋅ = = = − = = + ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 2 2 2 1 1 1 1 1 1 0 437 5 14 6783 80 1 0 1831 6 2824 6 2824 0 1831 ② 下面进行方差 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ，各平方和可按如下公式计算： ( ) xy L yy N m E ti t t i L E U mbl Q ml U Q y y S U Q Q = = =⎧⎪ = −⎪⎪⎨ = −⎪⎪⎪ = + +⎩ ∑∑ 2 1 1 计算结果如下表所示： 来源 平方和/cm2 自由度 方差/cm2 F 显著性 回归 失拟 误差 73.3316 0.0599 0.7878 1 4 24 73.3316 0.0150 0.0328 2.24×103 0.457 —— F0.01=7.82 F0.1=2.19 —— 总计 74.1793 29 —— —— —— 由 .. ( , ) . E U E Q UF F Q ν ν= = × > = 3 0 012 24 10 1 24 7 82 知长度与质量间的线性关系高度显著。 又由 .. ( , ) .L E L Q E Q Q F F Q ν ν= = < =1 0 10 457 4 24 2 19 知对失拟平方和的 F 检验结果不显著，说明失拟平方和相对于试验误 差来说是可以忽略的。 且由 .. ( , ) .( ) ( ) E L U E L Q Q UF F Q Q ν ν ν= = × > =+ + 3 2 0 012 42 10 1 28 7 64 可知 F2检验也高度显著，从而充分说明了回归方程拟合得很好。 ③ 弹簧的非线性误差如下图所示： 试验的重复误差对应的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 差如下图所示： 6-10 解 ： 由 xy ab= 可 得 ， ln( ) ln( ) lny a x b− = − + ， 设 ln( ), ln( ), lnz y b a b b= − = − =0 1 则有 z b b x= +0 1 。选取所有的数据点， 作图如下： 从上图中可以看出选用函数 xy ab= 是合适的。 6-12 解：用列表法求回归方程。 序号 x1 x2 y x21 x22 y2 x x1 2 x y1 x y2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.32 2.69 3.56 4.41 5.35 6.2 7.12 8.87 9.8 10.65 1.15 3.4 4.1 8.75 14.82 15.15 15.32 18.18 35.19 40.4 6.4 15.05 18.75 30.25 44.85 48.94 51.55 61.5 100.44 111.42 1.7424 7.2361 12.6736 19.4481 28.6225 38.44 50.6944 78.6769 96.04 113.4225 1.3225 11.56 16.81 76.5625 219.6324 229.5225 234.7024 330.5124 1238.3361 1632.16 40.96 226.5025 351.5625 915.0625 2011.5225 2395.1236 2657.4025 3782.25 10088.1936 12414.4164 1.518 9.146 14.596 38.5875 79.287 93.93 109.0784 161.2566 344.862 430.26 8.448 40.4845 66.75 133.4025 239.9475 303.428 367.036 545.505 984.312 1186.623 7.36 51.17 76.875 264.6875 664.677 741.441 789.746 1118.07 3534.4836 4501.368 Σ 59.97 156.46 489.15 446.9965 3991.1208 34882.9961 1282.5215 3875.9365 11749.8781 N=10 N t t x = =∑ 1 1 59.97 N t t x = =∑ 2 1 156.46 N t t y = =∑ 1 489.15 x =1 5.997 x =2 15.646 y = 48.915 N t t x = =∑ 21 1 446.9965 N N t t t t l x x N= = ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ 2 2 11 1 1 1 1 1 87.3564 N t t x = =∑ 22 1 3991.1208 N N t t t t l x x N= = ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ 2 2 22 2 2 1 1 1 1543.1476 N t t y = =∑ 2 1 34882.9961 N N yy t t t t l y y N= = ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ 2 2 1 1 1 10956.2238 N t t t x x = =∑ 1 2 1 1282.5215 N N N t t t t t t t l x x x x N= = = ⎛ ⎞⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∑ ∑ ∑12 1 2 1 21 1 1 1 344.2309 N t t t x y = =∑ 1 1 3875.9365 N N N y t t t t t t t l x y x y N= = = ⎛ ⎞⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∑ ∑ ∑1 1 11 1 1 1 942.5040 N t t t x y = =∑ 2 1 11749.8781 N N N y t t t t t t t l x y x y N= = = ⎛ ⎞⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∑ ∑ ∑2 2 21 1 1 1 4096.6372 . . . . . . . . . .y y l l L l l c c l l L c c l ll l l y lb L lb μ − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −− ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = = ⎛ ⎞⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 11 12 21 22 11 12 22 121 2 21 22 21 1111 22 12 0 11 1 22 87 3564 344 2309 344 2309 1543 1476 0 094620 0 0211071 0 021107 0 005356 48 915 0 09462 � � . . . . . . . . . ( . ) . ( . ) . . .或 y x x y x x −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = + − + − = + + 1 2 1 2 0 0 021107 942 5040 2 7120 0 021107 0 005356 4096 6372 2 0482 48 915 2 7120 5 997 2 0482 15 646 0 6050 2 7120 2 0482 来源 平方和 自由度 方差 F 显著性 回归 残余 M j jy j U b l = = ∑ 1 =10946.8032 yyQ l U= − =9.4206 2 7 5473.4016 1.3458 83.0 —— F0.01=9.55 总计 yyS l= =10956.2238 9 —— —— —— 因 .. ( , ) . UF F Q = = > =0 012 83 0 2 7 9 557 故回归方程高度显著。 下面计算自变量的偏回归平方和。 Q N M σ = − − 2 1 P b c= =21 1 11 2.71202/0.094620=77.7314 P b c= =22 2 22 2.04822/0.005356=783.2568 F P σ= =21 1 77.7314/1.3458=57.8 F P σ= =22 2 783.2568/1.3458=582 . ( , ) .F =0 01 1 7 12 25 显然， . ( , )F F F> >2 1 0 01 1 7 ，故 x2 对 y 的影响比 x1 大，但两者都在 .α = 0 01水平上显著。