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高考文科数学专题汇总.pdf

高考文科数学专题汇总

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2012-06-14 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《高考文科数学专题汇总pdf》,可适用于高中教育领域

函数的性质及应用(教师版)★★★高考在考什么【考题回放】.设(C)A BCD函数y=f(x)的图象与y=的图象关于y轴对称若y=f(x)是y=f(x)的反函数则y=f(xx)的单调增区间是(D)A∞B(∞)C(∞)D(∞)在下列四个函数中满足性质:“对于区间(,)上的任意x,x(xx)|f(x)f(x)|<|xx|恒成立”的只有(A)ABCD已知函数若f(x)为奇函数则。对a,bR,记max|a,b|=函数f(x)=max||x|,|x||(xR)的最小值是对定义域是Df、Dg的函数y=f(x)、y=g(x)规定:函数。()若函数g(x)=x写出函数h(x)的解析式()求问题()中函数h(x)的值域()若g(x)=f(xa)其中a是常数且a,p请设计一个定义域为R的函数y=f(x)及一个a的值使得h(x)=cosx并予以证明。【专家解答】:()()当x≠时,h(x)==x,若x>时,则h(x)≥,其中等号当x=时成立若x<时,则h(x)≤,其中等号当x=时成立∴函数h(x)的值域是(∞,∪{}∪,∞)()令f(x)=sinxcosx,α=则g(x)=f(xα)=sin(x)cos(x)=cosxsinx,于是h(x)=f(x)·f(xα)=(sinxcosx)(cosxsinx)=cosx另解令f(x)=sinx,α=,g(x)=f(xα)=sin(xπ)=sinx,于是h(x)=f(x)·f(xα)=(sinx)(sinx)=cosx★★★高考要考什么【考点透视】了解映射的概念理解函数的概念。了解函数单调性、奇偶性的概念掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法。了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系会求一些简单函数的反函数。理解分数指数幂的概念掌握有理指数幂的运算性质掌握指数函数的概念、图像和性质。理解对数的概念掌握对数的运算性质掌握对数函数的概念、图像和性质。能够运用函数的性质特别是指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。【热点透析】苯油ü咛搴疾槟承┬灾缘际ぞ呶坪⒉坏仁健⒎匠套酆峡疾虢馕黾负巍⑹械饶谌萁岷显谝黄穑郧叻匠痰谋浠弧⒉问段У奶角及最值问题等综合性强的新颖试题。★★★高考将考什么【范例】已知函数的最大值是最小值是求的值。解:=∵且∴当即时∴∴又最大值是∴即∴∴专题函数的性质及应用【点晴】()注意挖掘隐含条件“”()掌握复合函数最值问题的求解方法。【文】函数y=axax(a>,a≠)在区间,上的最大值为求a的值。解:令u=ax,y=(u)因为≤x≤当a>时当<a<时综上得【范例】设函数且在闭区间上只有()试判断函数的奇偶性()试求方程在闭区间-上的根的个数并证明你的结论解:()由已知得f()=f()=f()=f()故f()±f(),从而知函数y=f(x)非奇非偶函数不是奇函数()由Tf(x)=f(x),从而知函数y=f(x)的周期为T=由f(x)=f(x)得f(x)的图象关于x=对称且在闭区间上只有f()=f()=∴在[]上只有f()=f()=∴是f(x)的最小正周期∵在[]上只有f()=f()=∴在每一个最小正周期内f(x)=只有两个根∴在闭区间,上的根的个数是.【点晴】本题关键是通过抽象函数的对称性研究其周期性【文】已知奇函数满足的值为。解:【范例】设a为实数函数)讨论f(x)的奇偶性)求f(x)的最小值猓海)当为偶函数耸焙齠(x)既不是奇函数也不是偶函数)(i)当若上单调递减从而函数上的最小值为簦蚝系淖钚≈滴(ii)当时函数若综上当保【点晴】要重视分类讨论的思想和逻辑思维能力的培养。【文】已知定义域为的函数是奇函数。()求的值()若对任意的不等式恒成立求的取值范围解:()因为f(x)是奇函数所以f(x)=即又由f()=f()知()解法一:由(Ⅰ)知易知f(x)在上为减函数。又因f(x)是奇函数从而不等式:专题函数的性质及应用等价于因f(x)为减函数由上式推得:.即对一切有:从而判别式     解法二:由(Ⅰ)知.又由题设条件得:                  即 :         整理得 上式对一切均成立从而判别式【范例】已知f(x)=(x∈R)在区间-上是增函数()求实数a的值组成的集合A()设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x、x试问:是否存在实数m使得不等式mtm≥|x-x|对任意a∈A及t∈-恒成立?若存在求m的取值范围若不存在请说明理由解:()f'(x)==∵f(x)在-上是增函数∴f'(x)≥对x∈-恒成立即x-ax-≤对x∈-恒成立①设j(x)=x-ax-①-≤a≤∵对x∈-f(x)是连续函数且只有当a=时f'()=以及当a=-时f'()=∴A={a|-≤a≤}()由=得x-ax-=∵△=a>∴xx是方程x-ax-=的两非零实根xx=a∴从而|x-x|==xx=-∵-≤a≤∴|xx|=≤要使不等式mtm≥|x-x|对任意a∈A及t∈-恒成立当且仅当mtm≥对任意t∈-恒成立即mtm-≥对任意t∈-恒成立②设g(t)=mtm-=mt(m-)方法一:g(-)=m-m-≥②g()=mm-≥m≥或m≤-所以存在实数m使不等式mtm≥|x-x|对任意a∈A及t∈-恒成立其取值范围是{m|m≥或m≤-}方法二:当m=时②显然不成立当m≠时m>m<②或g(-)=m-m-≥g()=mm-≥m≥或m≤-所以存在实数m使不等式mtm≥|x-x|对任意a∈A及t∈恒成立其取值范围是{m|m≥或m≤-}【点晴】利用导数研究函数的单调性和最值在解决函数综合问题时要灵活运用数学思想和方法化归为基本问题来解决【文】设函数定义在R上对于任意实数总有且当时专题函数的性质及应用()证明:且时()证明:函数在R上单调递减()设若确定的取值范围。()解:令则对于任意实数恒成立设则由得当时当时,,()证法一:设则,函数为减函数证法二:设则=,故,函数为减函数()解:∵∴若则圆心到直线的距离应满足解之得【自我提升】.函数的图象大致是D).下列函数既是奇函数又在区间上单调递减的是(D)ABCD定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x)当x∈时f(x)=-|x-|则(D).f(sin)<f(cos).f(sin)>f(cos).f(cos)<f(sin).f(cos)>f(sin)设函数.设函数区间a,b(a<b),集合则使M=N成立的实数对(a,b)有(A)A.个B个C个D无穷多个设函数为的反函数又函数与函数的图象关于直线对称则对于函数f(x)定义域中任意的xx(x≠x)有如下结论:①f(x+x)=f(x)·f(x)②f(x·x)=f(x)f(x)③>④当f(x)=lgx时上述结论中正确结论的序号是②③已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称且f(x)=x+x.()求函数g(x)的解析式()解不等式g(x)≥f(x)-|x-|()若h(x)=g(x)-f(x)+在-上是增函数求实数的取值范围.解:()设函数的图象上任一点关于原点的对称点为,则即∵点在函数的图象上即故g(x)=()由可得:当时此时不等式无解。当时专题函数的性质及应用因此原不等式的解集为,()①笔保皆赱,上是增函数②当时对称轴的方程为(i)当时解得。(ii) 当时时解得综上,对于函数f(x)若存在使f(x)=x成立则称x为f(x)的不动点已知函数f(x)=ax(b)x(b)()当a=b=时求函数f(x)的不动点()若对任意实数b函数f(x)恒有两个相异的不动点求a的取值范围()在()的条件下若y=f(x)图象上A、B两点的横坐标是函数y=f(x)的不动点且A、B两点关于直线对称求b的最小值。解:()当a=b=时f(x)=xx由题意可知x=xx得x=,x=故当a=b=时f(x)的两个不动点为,()因为f(x)=ax(b)x(b)恒有两个不动点所以x=ax(b)x(b)即axbx(b)=恒有两个相异的实数根得恒成立于是解得<a<故当f(x)恒有两个相异的不动点时a的取值范围为<a<()由题意A、B两点应在直线y=x上设A(x,y)、B(x,y)因为点A、B关于直线对称所以k=设AB的中点为M(x’,y’)因为x,x是方程ax(b)x(b)=的两个根所以于是由M在直线上得即因为a>所以当且仅当即时取得等号故得b的最小值为。专题函数的性质及应用导数的概念及应用(教师版)★★★高考在考什么【考题回放】文.函数是减函数的区间为(D)ABCD(理)函数y=xcosxsinx在下面哪个区间内是增函数(B)A()B(π,π)C()D(π,π).若曲线的一条切线与直线垂直则的方程为AA.B.C.D.函数已知在时取得极值则=(B)ABCD在函数的图象上其切线的倾斜角小于的点中坐标为整数的点的个数是D).....曲线y=x在点(,)处的切线与x轴、直线x=所围成的三角形的面积为设a为实数,函数(Ⅰ)求的极值(Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线轴仅有一个交点【专家解答】:(I)=--若=则==-=当变化时变化情况如下表:-∞-)(-)∞)极大值极小值∴的极大值是极小值是(II)函数由此可知取足够大的正数时有>取足够小的负数时有<所以曲线=与轴至少有一个交点结合的单调性可知:当的极大值<即时它的极小值也小于因此曲线=与轴仅有一个交点它在(∞)上。当的极小值->即(∞)时它的极大值也大于因此曲线=与轴仅有一个交点它在(-∞-)上。∴当∪(∞)时曲线=与轴仅有一个交点★★★高考要考什么【考点透视】(理科)了解导数概念的实际背景,掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义理解导函数的概念。熟记基本导数公式掌握两个函数和、差、积、商的求导法则了解复合函数的求导法则会求某些简单函数的导数。理解可导函数的单调性与其导数的关系了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。会求一些实际问题的最值。(文科)了解导数概念的某些实际背景。理解导数的几何意义。掌握函数y=c(c为常数)、y=xn(n∈N)的导数公式会求多项式函数的导数。理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念并会用导数求多项式函数的专题导数的概念及应用单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值。会利用导数求某些简单实际问题的最值。【热点透析】考查导数的概念和某些实际背景求导公式和求导法则。导数的简单应用利用导数研究函数的单调性和极值复现率较高。综合考查包括解决应用问题将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机的结合在一起设计综合试题。★★★高考将考什么【范例】已知函数在处取得极值()讨论和是函数的极大值还是极小值()过点作曲线的切线求此切线方程()解:依题意即解得∴令得若则故在上是增函数在上是增函数若则故在上是减函数所以是极大值是极小值()解:曲线方程为点不在曲线上设切点为则点M的坐标满足因故切线的方程为注意到点A()在切线上有化简得解得所以切点为切线方程为【点晴】过已知点求切线当点不在曲线上时求切点的坐标成了解题的关键【文】已知函数f(x)=x+ax+bx+c在x=-与x=时都取得极值()骯、b的值与函数f(x)的单调区间()舳詘〔-〕不等式f(x)<c恒成立求c的取值范围。解:()f(x)=x+ax+bx+cf¢(x)=x+ax+b由f¢()=f¢()=+a+b=得a=b=-f¢(x)=x-x-=(x+)(x-)函数f(x)的单调区间如下表:xǎぃ-ǎ)+¥)f¢(x)f(x)ù笾ˉ≈所以函数f(x)的递增区间是(-¥-)与(+¥)递减区间是(-)()f(x)=x-x-x+cx〔-〕当x=-时f(x)=+c为极大值而f()=+c则f()=+c为最大值。要使f(x)<c(x〔-〕)恒成立只需c>f()=+c解得c<-或c>【范例】设函数求a的取值范围使函数f(x)在区间上是单调函数。解:()当时恒成立f(x)在区间上是减函数。()当时解不等式得上f(x)是单调递减速函数得专题导数的概念及应用上f(x)是单调递增函数综合得:当且仅当a时f(x)在区间上是单调函数。【点晴】由导数研究函数的单调性在学习中要引起足够的重视【文】设点P()是函数的图象的一个公共点两函数的图象在点P处有相同的切线(Ⅰ)用表示abc(Ⅱ)若函数在(-)上单调递减求的取值范围解:(I)因为函数的图象都过点()所以因为所以忠蛭#诘悖ǎ)处有相同的切线所以ù肷鲜降因此故(II)解法一当时函数单调递减由若若由题意函数在(-)上单调递减则所以又当时函数在(-)上单调递减所以的取值范围为解法二:蛭:冢ǎ)上单调递减且是(-)上的抛物线即解得缘娜≈捣段【范例】设定义在R上的函数f(x)=axaxax+ax(其中ai∈Ri=)当时f(x)取得极大值并且函数y=f′(x)的图象关于y轴对称。⑴求f(x)的表达式⑵试在函数f(x)的图象上求两点使以这两点为切点的切线互相垂直且切点的横坐标都在区间-上⑶求证:|f(sinx)-f(cosx)|≤)(x∈R).解:∵f′(x)=ax+ax+axa为偶函数。∴a=a=∴f(x)=ax+ax又当x=-时f(x)取得极大值∴解得∴f(x)=x-xf′(x)=x-⑵解:设所求两点的横坐标为x、x则(x-)(x-)=-又∵xx∈-∴x-∈-x-∈-∴x-x-中有一个为一个为-∴x=x=±∴所求的两点为()与(-)或()与(-)。⑶证明:易知sinx∈-cosx∈-。当<x<时f′(x)<当<x<时f′(x)>。∴f(x)在为减函数在上为增函数又f()=f()=-f()=-而f(x)在-上为奇函数∴f(x)在-上最大值为最小值为-∴f(sinx)∈-f(cosx)∈-∴|f(sinx)-f(cosx)|≤|f(sinx)|+|f(cosx)|≤⋯【点晴】本题证明不等式的关键是转化为求最值问题【文】已知是二次函数不等式的解集是且在区间上的最大值是。↖)求的解析式↖I)是否存在实数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根?若专题导数的概念及应用存在求出的取值范围若不存在说明理由。解:(I)是二次函数且的解集是可设在区间上的最大值是由已知得(II)方程等价于方程设则当时是减函数当时是增函数。方程在区间内分别有惟一实数根而在区间内没有实数根所以存在惟一的自然数使得方程在区间内有且只有两个不同的实数根。【范例】已知函数()求函数的反函数的导数()假设对任意成立求实数m的取值范围解:()()令:所以都是增函数因此当时的最大值为的最小值为而不等式②成立当且仅当即于是得解法二:由得设于是原不等式对于恒成立等价于③⋯分由注意到故有从而可均在上单调递增因此不等式③成立当且仅当即【点晴】求参数的取值范围凡涉及函数的单调性、最值问题时用导数的知识解决较简单【文】如图所示曲线段OMB:在点(即点M)处的切线PQ交x轴于点P交线段AB于点Q且BA轴于A(I)试用t表示切线PQ的方程(II)求QAP的面积g(t)的最大值同时指出g(t)在(mn)上单调递减时的最小值。解:(I)K==t,切线方程为yt=t(xt),即y=txt(<t<)(II)在切线方程中令y=得x=函数在上单调递增在上单调递减依题知的最大值是故的最小值是【自我提升】函数有极值的充要条件是(B)A.B.C.D.专题导数的概念及应用.过点(-)作抛物线的切线则其中一条切线方程为(D)ABCD.(浙江卷)设f'(x)是函数f(x)的导函数y=f'(x)的图象如右图所示则y=f(x)的图象最有可能的是(理(理).函数的单调减区间是(A)A..C.及D.(文)函数在闭区间上的最大值、最小值分别是()ABCD.当时在上是减函数..过点A(-)作曲线y=xx-x的切线则切线的方程xy=或xy=或x-y-=已知函数其中是的导函数(Ⅰ)对满足的一切的值都有求实数的取值范围(Ⅱ)设当实数在什么范围内变化时函数的图象与直线只有一个公共点。解:(Ⅰ)由题意令对恒有即∴即解得故时对满足的一切的值都有(Ⅱ)①当时的图象与直线只有一个公共点②当时列表:极大极小∴又∵的值域是且在上单调递增∴当时函数的图象与直线只有一个公共点。当时恒有由题意得即解得综上的取值范围是(理)设函数f(x)=(x+)ln(x+)若对所有的x≥都有f(x)≥ax成立求实数a的取值范围.解法一:令g(x)=(x+)ln(x+)-ax对函数g(x)求导数:g′(x)=ln(x+)+-a令g′(x)=解得x=ea--⋯⋯分(i)当a≤时对所有x>g′(x)>所以g(x)在+∞)上是增函数又g()=所以对x≥都有g(x)≥g()即当a≤时对于所有x≥都有 f(x)≥ax.⋯⋯分(ii)当a>时对于<x<ea--g′(x)<所以g(x)在(ea--)是减函数又g()=所以对<x<ea--都有g(x)<g()即当a>时不是对所有的x≥都有f(x)≥ax成立.综上a的取值范围是(-∞.⋯⋯分解法二:令g(x)=(x+)ln(x+)-ax于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g()成立.  ⋯⋯分对函数g(x)求导数:g′(x)=ln(x+)+-a令g′(x)=解得x=ea--⋯⋯分当x>ea--时g′(x)>g(x)为增函数当-<x<ea--g′(x)<g(x)为减函数⋯⋯分专题导数的概念及应用所以要对所有x≥都有g(x)≥g()充要条件为ea--≤.由此得a≤即a的取值范围是(-∞.(文)已知函数f(x)=,其中a,b,c是以d为公差的等差数列且a>,d>设[]上在将点ABC(I)求(II)若⊿ABC有一边平行于x轴且面积为求a,d的值【解析】(I):令,得当时,当时,所以f(x)在x=处取得最小值即(II)的图像的开口向上,对称轴方程为由知在上的最大值为即又由当时,取得最小值为由三角形ABC有一条边平行于x轴知AC平行于x轴,所以又由三角形ABC的面积为得利用b=ad,c=ad,得联立()()可得解法:又c>知在上的最大值为即:又由当时,取得最小值为由三角形ABC有一条边平行于x轴知AC平行于x轴,所以又由三角形ABC的面积为得利用b=ad,c=ad,得联立()()可得专题导数的概念及应用第二轮专题复习:导数的综合应用(教师版)★★★高考在考什么【考题回放】.(江西卷)对于R上可导的任意函数f(x)若满足(x-)f¢(x)则必有(C)A.()+f()<f()Bf()+f()£f()Cf()+f()f()Df()+f()>f()解:依题意当x时f¢(x)函数f(x)在(+¥)上是增函数当x<时f¢(x)£f(x)在(-¥)上是减函数故f(x)当x=时取得最小值即有f()f()f()f()故选C.(全国II)过点(-)作抛物线y=xx的切线则其中一条切线为(A)xy=(B)xy=(C)xy=(D)xy=解:y¢=x设切点坐标为(x,y)则切线的斜率为x且y=xx于是切线方程为y(xx)=(x)(xx)因为点(-)在切线上可解得x=或-代入可验正D正确。选D(四川卷)曲线y=xx在点(,)处的切线方程是(A)y=x(B)y=x(C)y=x(D)y=x解:曲线y=xx导数y¢=x在点(,)处的切线的斜率为k=所以切线方程是y=x选D(天津卷)函数f(x)的定义域为开区间(a,b)导函数f¢(x)在(a,b)内的图象如图所示则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点( )A.个B.个C.个D.个解析:函数f(x)的定义域为开区间(a,b)导函数f¢(x)在(a,b)内的图象如图所示函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点其导数值为由负到正的点只有个选A(浙江卷)f(x)=xx在区间,上的最大值是(A)(B)(C)(D)解:f¢(x)=xx=x(x)令f¢(x)=可得x=或(舍去)当-£x<时f¢(x)>当<x£时f¢(x)<所以当x=时f(x)取得最大值为。选C(湖南卷)曲线和y=x在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是解析:曲线和y=x在它们的交点坐标是()两条切线方程分别是y=-x和y=x-它们与x轴所围成的三角形的面积是(安徽卷)设函数f(x)=xbxcx(xR)已知g(x)=f(x)f¢(x)是奇函数。(Ⅰ)求b、c的值。(Ⅱ)求g(x)的单调区间与极值。【专家解答】:(Ⅰ)∵f(x)=xbxcx∴f¢(x)=xbxc从而g(x)=f(x)f¢(x)=xbxcx(xbxc)=x(b)x(cb)xc是一个奇函数所以g()=得c=由奇函数定义得b=(Ⅱ)由(Ⅰ)知g(x)=xx从而g¢(x)=x由此可知和是函数g(x)是单调递增区间是函数g(x)是单调递减区间g(x)在时取得极大值极大值为g(x)在时取得极小值极小值为。★★★高考要考什么【考点透视】从近几年的高考命题分析高考对到导数的考查可分为三个层次:第一层次是主要考查导数的概念和某些实际背景求导公式和求导法则。第二层次是导数的简单应用包括求函数的极值求函数的单调区间证明函数的增减性等第三层次是综合考查包括解决应用问题将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机的结合在一起设计综合试题。专题导数的综合应用(教师版)【热点透析】导数综合试题,主要有以下几方面的内容:函数导数不等式综合在一起,解决单调性参数的范围等问题,这类问题涉及到含参数的不等式,不等式的恒成立,能成立,恰成立的求解函数导数方程,不等式综合在一起,解决极值最值等问题,这类问题涉及到求极值和极值点,求最值,有时需要借助于方程的理论解决问题利用导数的几何意义,求切线方程,解决与切线方程有关的问题通过构造函数,以导数为工具,证明不等式导数与其他方面的知识的综合★★★高考将考什么【范例】设函数f(x)=axbxcxd(a、b、c、d∈R)的图象关于原点对称且x=时f(x)取极小值。()求a、b、c、d的值()当x∈,时图象上是否存在两点使得过此两点的切线互相垂直?试证明你的结论()若x,x∈,时求证:|f(x)f(x)|≤。解答()∵函数f(x)图象关于原点对称∴对任意实数x都有f(x)=f(x)∴axbxcxd=axbxcxd即bxd=恒成立∴b=,d=,即f(x)=axcx∴f′(x)=axc∵x=时,f(x)取极小值∴f′()=且f()=,即ac=且ac=解得a=,c=()证明:当x∈,时图象上不存在这样的两点使结论成立假设图象上存在两点A(x,y)、B(xy)使得过这两点的切线互相垂直则由f′(x)=x知两点处的切线斜率分别为k=x,k=x,且(x)(x)=(*)∵x、x∈,,∴x≤x≤∴(x)(x)≥这与(*)相矛盾故假设不成立()证明:∵f′(x)=x,由f′(x)=,得x=±当x∈(∞)或(∞)时f′(x)>当x∈()时f′(x)<∴f(x)在,上是减函数且fmax(x)=f()=,fmin(x)=f()=∴在,上|f(x)|≤于是x,x∈,时|f(x)f(x)|≤|f(x)||f(x)|≤=故x,x∈,时,|f(x)f(x)|≤【点晴】①若x点是y=f(x)的极值点则f′(x)=,反之不一定成立②在讨论存在性问题时常用反证法③利用导数得到y=f(x)在,上递减是解第()问的关键【文】设函数()求函数的单调区间、极值()若当时恒有试确定a的取值范围解答:()=令得列表如下:x∞a)╝a)aa∞)极小极大∴在(aa)上单调递增在(∞a)和(a∞)上单调递减时时()∵<a<∴对称轴∴在aa上单调递减∴专题导数的综合应用(教师版)依题即解得又<a<∴a的取值范围是【范例】已知()当时,求证f(x)在(,)内是减函数()若y=f(x)在(,)内有且只有一个极值点,求a的取值范围解答:()∵∴∵,∴又∵二次函数f¢(x)的图象开口向上,∴在内f¢(x)<,故f(x)在内是减函数()设极值点为则f¢(x)=当时,∵∴在内f¢(x)>,在内f¢(x)<即f(x)在内是增函数,f(x)在内是减函数当时f(x)在内有且只有一个极值点,且是极大值点当时,同理可知,f(x)在内且只有一个极值点,且是极小值点当时,由()知f(x)在内没有极值点故所求a的取值范围为【点晴】三次函数求导后为二次函数考查导函数的性质结合一元二次方程根的分布考查代数推理能力、语言转换能力和待定系数法是近年高考的热点题型。【文】已知函数(、)。(Ⅰ)若的图像在部分在轴的上方且在点处的切线与直线平行求的取值范围á颍┑薄ⅲ沂保坏仁胶愠闪ⅲ蟮娜≈捣段А解答:(Ⅰ)。依题意有所以。因为的图像在部分在轴上方所以在区间上的最小值大于零。令于是由知:在区间上的最小值为故有(Ⅱ)()即当时即恒成立由此得。【范例】设函数f(x)与数列{an}满足下列关系:①a>a其中a是方程f(x)=x的实数根②an=f(an)(nN*)③f(x)的导函数f′(x)∈()⑴证明:an>a(nN*)⑵判断an与an的大小并证明你的结论。解答:()证明:用数学归纳法①n=时a>a成立②假设n=k时ak>a成立则n=k时由于f′(x)>∴f(x)在定义域内递增∴即∴n=k时命题成立由①②知对任意均()解:令则∵∴∴递减∴时即∴猜测下证之①n=时成立②假设n=k时成立则n=k时由于递增∴即∴n=k时命题成立由①②知对任意均【点晴】由导数研究函数的单调性再由单调性来证明不等式、数列有关的综合问题必将会成为今后高考的重点内容在复习中要足够地重视。【文】已知平面向量=(,)=(,)()证明⊥专题导数的综合应用(教师版)()若存在不同时为零的实数k和t使=(t)=kt⊥试求函数关系式k=f(t)()据()的结论讨论关于t的方程f(t)k=的解的情况解答:()∵=×()×=∴⊥()∵⊥∴=即(t)·(kt)=整理后得ktk(t)t(t)·=∵===∴上式化为kt(t)=即k=t(t)()讨论方程t(t)k=的解的情况可以看作曲线f(t)=t(t)与直线y=k的交点个数于是f′(t)=(t)=(t)(t)令f′(t)=,解得t=,t=当t变化时f′(t)、f(t)的变化情况如下表:t∞,),),∞)f′(t)F(t)Jù笾↘≈↗当t=时f(t)有极大值f(t)极大值=当t=时f(t)有极小值f(t)极小值=函数f(t)=t(t)的图象如图--所示可观察出:()当k>或k<时,方程f(t)k=有且只有一解()当k=或k=时,方程f(t)k=有两解()当<k<时,方程f(t)k=有三解【点晴】导数的应用为作函数的草图提供了新途径方程根的个数与极值的正负有关。【范例】已知双曲线与点M()()求证:过点M可作两条直线分别与双曲线C两支相切()设()中的两切点分别为A、B其△MAB是正三角形求m的值及切点坐标。解答:()证明:设要证命题成立只需要证明关于t的方程有两个符号相反的实根。且t≠t≠。设方程的两根分别为t与t则由tt=m<知tt是符号相反的实数且tt均不等于与命题获证。()设由()知tt=mtt=m从而即线段AB的中点在直线上。又AB与直线垂直。故A与B关于对称设则有tmtm=①由及夹角公式知即②由①得③从而由②知代入③知因此。【点晴】本题的关键在于实现了导数的几何意义和曲线切线的斜率和谐的沟通。应深切领会导数的几何意义在解析几何综合问题中的特殊作用【文】设抛物线y=x与直线y=xa(a是常数)有两个不同的交点记抛物线在两交点专题导数的综合应用(教师版)处切线分别为ll求值a变化时l与l交点的轨迹。解答:将y=xa代入y=x整数得x-x-a=①,为使直线与抛物线有两个不同的交点必须△=(-)+a>所以a>-设此两交点为(αα)(β,β)α<β由y=x知y′=x则切线ll的方程为y=αx-αy=βx-β两切线交点为(xy)则因为αβ是①的解由违达定理可知α+β=αβ=-a由此及②可得x=y=-a<从而所求的轨迹为直线x=上的y<的部分【自我提升】.设曲线y=和曲线y=在它们交点处的两切线的夹角为θ则tanθ=(C)A.B.C.D..函数y=f(x)的图象关于直线x=对称则导函数y=f¢(x)的图象(C)A关于直线x=对称B关于直线x=对称C关于点()对称关于点(-)对称.函数y=f(x)在定义域内可导其图象如图所示.记y=f(x)的导函数为y=f¢(x)则不等式f¢(x)≤的解集为(A)A.B.C.D..如果函数f(x)=ax-xx-在(-¥,¥)上单调递增则实数a的取值范围是(D)A.(¥)B.C.(¥)D..设f(x)=xbxcxd又k是一个常数已知当k<或k>时f(x)k=只有一个实根当<k<时f(x)k=有三个相异实根,现给出下列命题:()f(x)=和f¢(x)=有一个相同的实根()f(x)=和f¢(x)=有一个相同的实根()f(x)=的实根大于f(x)=的任一实根()f(x)=的实根小于f(x)=的任一实根其中错误命题的个数是(D)A.B.C.D..设f(x)g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数当x<时f¢(x)g(x)f(x)g¢(x)>且则不等式f(x)g(x)<的解集是=.(文)如果f(x)=xg(x)=ff(x),设F(x)=g(x)lf(x)问是否存在适当的l使F(x)在上是减函数在上是增函数?若存在求出l的值若不存在说明理由。l=.(理)已知函数(Ⅰ)求的单调区间和值域(Ⅱ)设函数若对于任意总存在使得成立求的取值范围解:对函数f(x)求导得令f¢(x)=解得或当变化时f¢(x)、f(x)的变化情况如下表:x所以当时f(x)是减函数当时f(x)是增函数当时f(x)的值域为(Ⅱ)对函数g(x)求导得因此当时专题导数的综合应用(教师版)又即当时有任给存在使得则即解式得或解式得又故:的取值范围为.已知函数F(x)=|x-t|-xx(x∈Rt为常数t∈R)()写出此函数F(x)在R上的单调区间()若方程F(x)-k=恰有两解求实数k的值。解:()∴由-x=得x=-x=而-x-<恒成立∴i)当<-时F(x)在区间(-∞-)上是减函数在区间(-)上是增函数在区间(∞)上是减函数ii)当>≥-时F(x)在区间(-∞)上是减函数在区间()上是增函数在区间(∞)上是减函数iii)当≥时F(x)在(-∞∞)上是减函数()由)可知i)当<-时F(x)在x=-处取得极小值--t在x=处取得极大值-t若方程F(x)-m=恰有两解此时m=--t或m=-tii)当-≤<F(x)在x=处取值为在x=处取得极大值-t若方程F(x)-m=恰有两解此时m=或m=-tiii)当≥时不存在这样的实数m使得F(x)-m=恰有两解.(理)已知≤x≤n为大于的正整数求证:≤xn+(-x)n≤解答:设f(x)=xn+(-x)n则f¢(x)=nxn(-x)n令得xn=(-x)n由于≤x≤则有x=-x解得x=又经比较知f(x)在上的最小值、最大值分别为、所以≤xn+(-x)n≤.(理)A、B两队进行某项运动的比赛以胜三次的一方为冠军设在每次比赛中A胜的概率为pB胜的概率为又A得冠军的概率为P冠军的概率为Q决定冠军队的比赛次数为N()求使P-p为最大的p值()求使N的期望值为最大的p值及期望值。()要决定冠军队至少需要比赛三次最多需要比赛次。解答:如果比赛次A获冠军A需连胜三次其获冠军的概率为p如果比赛次A获冠军前三次有一次B胜其余三次A胜A获冠军的概率为如果比赛次A获冠军前四次有两次B胜其余三次A胜A获冠军的概率为于是将代入整理得令即当时又()随机变量N的概率分布为NQ则专题导数的综合应用(教师版)而这时专题导数的综合应用(教师版)专题等差数列与等比数列★★★高考在考什么【考题回放】.设数列{an}的首项a=-且满足an+=an+(n∈N)则a+a+⋯⋯+a=.设Sn是等差数列{an}的前n项和若=则=(A)(A)(B)(C)(D).已知数列、都是公差为的等差数列其首项分别为、且.设()则数列的前项和等于( C )(A)    (B)     (C)     (D).在等比数列中前项和为若数列也是等比数列则等于(C)(A)(B)(C)(D)若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{an}是公比为q的无穷等比数列下列{an}的四组量中:①S与S②a与S③a与an④q与an.其中一定能成为该数列“基本量”的是第①④组.(写出所有符合要求的组号).设数列{an}的首项且记.(I)求aa(II)判断数列{bn}是否为等比数列并证明你的结论(III)(理)求.【专家解答】(I)a=a=aa=a=a(II)∵a=a=a∴a=a=a所以b=a-=a-b=a-=(a-)b=a-=(a-)猜想:{bn}是公比为的等比数列.证明如下:因为bn=an-=an-=(an--)=bn(n∈N*)所以{bn}是首项为a-公比为的等比数列·(III)(理).★★★高考要考什么【考点透视】本专题主要涉及等差(比)数列的定义、通项公式、前n项和及其性质数列的极限、无穷等比数列的各项和.【热点透析】高考对本专题考查比较全面、深刻每年都不遗漏.其中小题主要考查间相互关系呈现“小、巧、活”的特点大题中往往把等差(比)数列与函数、方程与不等式解析几何等知识结合考查基础知识、思想方法的运用对思维能力要求较高注重试题的综合性注意分类讨论.★★★突破重难点【范例】已知等差数列前三项为aa前n项和为SnSk=.(Ⅰ)求a及k的值(Ⅱ)求(⋯).解析(Ⅰ)设该等差数列为{an}则a=aa=a=aSk=.由已知得a+a=×解得a=a=公差d=a-a=.傻解得k=.a=k=.(Ⅱ)由得Sn=n(n+)∴∴.【点睛】错位相减法、裂项相消法等等是常用的数列求和方法.【文】是等差数列的前n项和已知的等比中项为的等差中项为求数列的通项.解析由已知得即解得或或专题等差数列与等比数列(教师版)经验证或均满足题意即为所求.【点睛】若是等差数列的前n项和则数列也是等差数列.本题是以此背景设计此题.

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