习题 一
1．略.见教材习题参考答案.
2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：
（1） A发生，B，C都不发生；
（2） A与B发生，C不发生；
（3） A，B，C都发生；
（4） A，B，C至少有一个发生；
（5） A，B，C都不发生；
（6） A，B，C不都发生；
（7） A，B，C至多有2个发生；
（8） A，B，C至少有2个发生.
【解】（1） A
（2） AB （3） ABC
（4） A∪B∪C=C∪B∪A∪BC∪AC∪AB∪ABC=
(5) = (6)
(7) BC∪AC∪AB∪C∪A∪B∪==∪∪
(8) AB∪BC∪CA=AB∪AC∪BC∪ABC
3.略.见教材习题参考答案
4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(AB)=0.3，求P（
）.
【解】 P（
）=1P（AB）=1[P(A)P(AB)]
=1[0.70.3]=0.6
5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：
（1） 在什么条件下P（AB）取到最大值？
（2） 在什么条件下P（AB）取到最小值？
【解】（1） 当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.
（2） 当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.
6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.
【解】 P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)
=++=
7.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？
【解】 p=
8.对一个五人学习小组考虑生日问题：
（1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率；
（3） 求五个人的生日不都在星期日的概率.
【解】（1） 设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故
P（A1）==（）5 （亦可用独立性求解，下同）
（2） 设A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故
P（A2）==()5
(3) 设A3={五个人的生日不都在星期日}
P（A3）=1P(A1)=1()5
9.略.见教材习题参考答案.
10.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（n
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21.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.
题21图 题22图
【解】设两人到达时刻为x,y,则0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|xy|>30.如图阴影部分所示.
22.从（0，1）中随机地取两个数，求：
（1） 两个数之和小于的概率；
（2） 两个数之积小于的概率.
【解】 设两数为x,y，则0
分析
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，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：
（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？
（2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？
【解】设A={被调查学生是努力学习的}，则={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P（A）=0.8，P（）=0.2，又设B={被调查学生考试及格}.由题意知P（B|A）=0.9，P（|）=0.9，故由贝叶斯公式知
（1）
即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%
(2)
即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.
26. 将两信息分别编码为A和B传递出来，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A，试问原发信息是A的概率是多少？
【解】 设A={原发信息是A}，则={原发信息是B}
C={收到信息是A}，则={收到信息是B}
由贝叶斯公式，得
27.在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种）
【解】设Ai={箱中原有i个白球}（i=0,1,2），由题设条件知P（Ai）=,i=0,1,2.又设B={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知
28.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.
【解】 设A={产品确为合格品}，B={产品被认为是合格品}
由贝叶斯公式得
29.某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？
【解】 设A={该客户是“谨慎的”}，B={该客户是“一般的”}，
C={该客户是“冒失的”}，D={该客户在一年内出了事故}
则由贝叶斯公式得
30.加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率.
【解】设Ai={第i道工序出次品}（i=1,2,3,4）.
31.设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?
【解】设必须进行n次独立射击.
即为
故 n≥11
至少必须进行11次独立射击.
32.证明：若P（A｜B）=P(A｜
)，则A，B相互独立.
【证】 即
亦即
因此
故A与B相互独立.
33.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为，，，求将此密码破译出的概率.
【解】 设Ai={第i人能破译}（i=1,2,3），则
34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.
【解】设A={飞机被击落}，Bi={恰有i人击中飞机}，i=0,1,2,3
由全概率公式，得
=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+
(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7
=0.458
35.已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求：
（1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率.
（2） 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.
【解】（1）
(2)
36.一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：
（1） A=“某指定的一层有两位乘客离开”；
（2） B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”；
（3） C=“恰有两位乘客在同一层离开”；
（4） D=“至少有两位乘客在同一层离开”.
【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.
（1） ，也可由6重贝努里模型：
（2） 6个人在十层中任意六层离开，故
（3） 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有种可能结果；②4人同时离开，有种可能结果；③4个人都不在同一层离开，有种可能结果，故
（4） D=.故
37. n个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：
（1） 甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率；
（2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；
（3） 如果n个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率.
【解】 （1）
(2)
(3)
38.将线段[0，a]任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率
【解】 设这三段长分别为x,y,axy.则基本事件集为由
0乙反）
由对称性知P（甲正>乙正）=P（甲反>乙反）
因此P(甲正>乙正)=
46.证明“确定的原则”（Surething）：若P（A|C）≥P(B|C),P(A|
)≥P(B|
)，则P（A）≥P(B).
【证】由P（A|C）≥P(B|C),得
即有
同理由
得
故
47.一列火车共有n节车厢，有k(k≥n)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.
【解】 设Ai={第i节车厢是空的}，（i=1,…,n）,则
其中i1,i2,…,in1是1，2，…，n中的任n1个.
显然n节车厢全空的概率是零，于是
故所求概率为
48.设随机试验中，某一事件A出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A迟早会出现的概率为1.
【证】
在前n次试验中，A至少出现一次的概率为
49.袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？
【解】设A={投掷硬币r次都得到国徽}
B={这只硬币为正品}
由题知
则由贝叶斯公式知
50.巴拿赫（Banach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r根的概率又有多少？
【解】以B1、B2记火柴取自不同两盒的事件，则有.（1）发现一盒已空，另一盒恰剩r根，说明已取了2nr次，设n次取自B1盒（已空），nr次取自B2盒，第2nr+1次拿起B1，发现已空。把取2nr次火柴视作2nr重贝努里试验，则所求概率为
式中2反映B1与B2盒的对称性（即也可以是B2盒先取空）.
（2） 前2nr1次取火柴，有n1次取自B1盒，nr次取自B2盒，第2nr次取自B1盒，故概率为
51.求n重贝努里试验中A出现奇数次的概率.
【解】 设在一次试验中A出现的概率为p.则由
以上两式相减得所求概率为
若要求在n重贝努里试验中A出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得
.
52.设A，B是任意两个随机事件，求P{（
+B）（A+B）（
+
）（A+
）}的值.
【解】因为（A∪B）∩（
∪
）=A
∪
B
（
∪B）∩（A∪
）=AB∪
所求
故所求值为0.
53.设两两相互独立的三事件，A，B和C满足条件：
ABC=(，P(A)=P(B)=P(C)<1/2，且P（A∪B∪C）=9/16，求P（A）.
【解】由
故或,按题设P（A）<,故P（A）=.
54.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，求P（A）.
【解】 ①
②
故
故 ③
由A,B的独立性，及①、③式有
故
故 或（舍去）
即P（A）=.
55.随机地向半圆00,P(A|B)=1,试比较P(A∪B)与P(A)的大小. (2006研考)
解：因为
所以 .
习题二
1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.
【解】
故所求分布律为
X
3
4
5
P
0.1
0.3
0.6
2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求：
（1） X的分布律；
（2） X的分布函数并作图；
(3)
.
【解】
故X的分布律为
X
0
1
2
P
（2） 当x<0时，F（x）=P（X≤x）=0
当0≤x<1时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)=
当1≤x<2时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)=
当x≥2时，F（x）=P（X≤x）=1
故X的分布函数
(3)
3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率.
【解】
设X表示击中目标的次数.则X=0，1，2，3.
故X的分布律为
X
0
1
2
3
P
0.008
0.096
0.384
0.512
分布函数
4.（1） 设随机变量X的分布律为
P{X=k}=
，
其中k=0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a.
（2） 设随机变量X的分布律为
P{X=k}=a/N， k=1，2，…，N，
试确定常数a.
【解】（1） 由分布律的性质知
故
(2) 由分布律的性质知
即 .
5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：
（1） 两人投中次数相等的概率;
（2） 甲比乙投中次数多的概率.
【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，则X~b（3，0.6）,Y~b(3,0.7)
(1)
+
(2)
=0.243
6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？
【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则X~b(200,0.02)，设机场需配备N条跑道，则有
即
利用泊松近似
查表得N≥9.故机场至少应配备9条跑道.
7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？
【解】设X表示出事故的次数，则X~b（1000，0.0001）
8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足P{X=1}=P{X=2}，求概率P{X=4}.
【解】设在每次试验中成功的概率为p，则
故
所以 .
9.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号，
（1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；
（2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.
【解】（1） 设X表示5次独立试验中A发生的次数，则X~6（5，0.3）
(2) 令Y表示7次独立试验中A发生的次数，则Y~b（7，0.3）
10.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为（1/2）t的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.
（1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；
（2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.
【解】（1） (2)
11.设P{X=k}=
, k=0,1,2
P{Y=m}=
, m=0,1,2,3,4
分别为随机变量X，Y的概率分布，如果已知P{X≥1}=，试求P{Y≥1}.
【解】因为，故.
而
故得
即
从而
12.某教科
书
关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf
出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.
【解】令X为2000册书中错误的册数，则X~b(2000,0.001).利用泊松近似计算,
得
13.进行某种试验，成功的概率为，失败的概率为.以X表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率.
【解】
14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求：
（1） 保险公司亏本的概率;
（2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.
【解】以“年”为单位来考虑.
（1） 在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元.
设1年中死亡人数为X，则X~b(2500,0.002)，则所求概率为
由于n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有
(2) P(保险公司获利不少于10000)
即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上
P（保险公司获利不少于20000）
即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%
15.已知随机变量X的密度函数为
f(x)=Ae|x|, ∞a时，F（x）=1
即分布函数
18.设随机变量X在[2，5]上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率.
【解】X~U[2,5]，即
故所求概率为
19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布.某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求P{Y≥1}.
【解】依题意知，即其密度函数为
该顾客未等到服务而离开的概率为
,即其分布律为
20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服从N（40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N（50，42）.
（1） 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？
（2） 又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？
【解】（1） 若走第一条路，X~N（40，102），则
若走第二条路，X~N（50，42），则
++
故走第二条路乘上火车的把握大些.
（2） 若X~N（40，102），则
若X~N（50，42），则
故走第一条路乘上火车的把握大些.
21.设X~N（3，22），
（1） 求P{20;
(2) f(x)=
试确定常数a,b，并求其分布函数F（x）.
【解】（1） 由知
故
即密度函数为
当x≤0时
当x>0时
故其分布函数
(2) 由
得 b=1
即X的密度函数为
当x≤0时F（x）=0
当0
标准
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正态分布的上分位点，
（1）=0.01，求;
（2）=0.003，求，.
【解】（1）
即
即
故
（2） 由得
即
查表得
由得
即
查表得
28.设随机变量X的分布律为
X
2 1 0 1 3
Pk
1/5 1/6 1/5 1/15 11/30
求Y=X2的分布律.
【解】Y可取的值为0，1，4，9
故Y的分布律为
Y
0 1 4 9
Pk
1/5 7/30 1/5 11/30
29.设P{X=k}=()k, k=1,2,…,令
求随机变量X的函数Y的分布律.
【解】
30.设X~N（0，1）.
（1） 求Y=eX的概率密度；
（2） 求Y=2X2+1的概率密度；
（3） 求Y=｜X｜的概率密度.
【解】（1） 当y≤0时，
当y>0时，
故
(2)
当y≤1时
当y>1时
故
(3)
当y≤0时
当y>0时
故
31.设随机变量X~U（0,1），试求：
（1） Y=eX的分布函数及密度函数；
（2） Z=2lnX的分布函数及密度函数.
【解】（1）
故
当时
当10时，
即分布函数
故Z的密度函数为
32.设随机变量X的密度函数为
f(x)=
试求Y=sinX的密度函数.
【解】
当y≤0时，
当00）=1，故0<1e2X<1，即P（06,则P（X1时，
即
故
51.设随机变量X的密度函数为
fX(x)=
,
求Y=1
的密度函数fY(y).
【解】
故
52.假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N（t）服从参数为λt的泊松分布.
（1） 求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；
（2） 求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q.（1993研考）
【解】（1） 当t<0时，
当t≥0时，事件{T>t}与{N(t)=0}等价，有
即
即间隔时间T服从参数为λ的指数分布。
（2）
53.设随机变量X的绝对值不大于1，P{X=1}=1/8，P{X=1}=1/4.在事件{1P{|Y-μ2|<1}，试比较σ1与σ2的大小. (2006研考)
解： 依题意 ，，则
，
.
因为，即
，
所以有 ，即.
习题三
1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.
【解】X和Y的联合分布律如表：
0
1
2
3
1
0
0
3
0
0
2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.
【解】X和Y的联合分布律如表：
0
1
2
3
0
0
0
1
0
2
P(0黑,2红,2白)=
0
3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为
F（x，y）=
求二维随机变量（X，Y）在长方形域
内的概率.
【解】如图
题3图
说明：也可先求出密度函数，再求概率。
4.设随机变量（X，Y）的分布密度
f（x，y）=
求：（1） 常数A；
（2） 随机变量（X，Y）的分布函数；
（3） P{0≤X<1，0≤Y<2}.
【解】（1） 由
得 A=12
（2） 由定义，有
(3)
5.设随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
（1） 确定常数k；
（2） 求P{X＜1，Y＜3}；
（3） 求P{X<1.5}；
（4） 求P{X+Y≤4}.
【解】（1） 由性质有
故
（2）
(3)
(4)
题5图
6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为
fY（y）=
求：（1） X与Y的联合分布密度；（2） P{Y≤X}.
题6图
【解】（1） 因X在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为
而
所以
![概率论与数理统计课后习题答案[1]](https://swf.iask.com/OAsbLUpA6Nd.svg?ssig=hZcbWdOhgS&Expires=1719121011&KID=sina,ishare&range=0-79940)
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