null数学物理
方法
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数学物理方法 二阶常微分方程 二阶常微分方程 二阶常微分方程常用齐次定解问题
数学物理中的对称性
特殊函数常微分方程
常微分方程的级数解法
斯图姆—刘维尔本征值问题
本章小结常用齐次定解问题常用齐次定解问题常用齐次定解问题的要素
常用齐次定解问题的分类
拉普拉斯算符的形式
拉普拉斯算符形式的推导常用齐次定解问题要素常用齐次定解问题要素常用齐次定解问题的分类常用齐次定解问题的分类√√√ ！ ！ ×拉普拉斯算符的形式拉普拉斯算符的形式极坐标下拉普拉斯算符形式的推导极坐标下拉普拉斯算符形式的推导极坐标下的形式直角坐标下的形式坐标变换关系微分变换关系数学物理中的对称性数学物理中的对称性对称性的概念
定义：对称性就是在某种变换下的不变性
分类
对称性的描述
对称性原理
当定解问题的泛定方程和定解条件都具有某种对称性时，它的解也具有同样的对称性。
对称性的应用对称性的分类对称性的分类对称性的描述对称性的描述对称性的应用—柱坐标输运方程对称性的应用—柱坐标输运方程特殊函数常微分方程特殊函数常微分方程球坐标下拉普拉斯方程的分离变量
一般情况
欧拉方程，球函数方程，连带勒让德方程
轴对称情况
勒让德方程
极坐标下热传导方程的分离变量
一般情况
亥姆霍兹方程，贝塞尔方程
轴对称情况球坐标下拉普拉斯方程球坐标下拉普拉斯方程球坐标下拉普拉斯方程球坐标下拉普拉斯方程极坐标下热传导方程极坐标下热传导方程常微分方程的级数解法常微分方程的级数解法常微分方程中点的分类
各点邻域级数解的形式
勒让德方程的级数解
贝塞尔方程的级数解常微分方程中点的分类常微分方程中点的分类二阶变系数常微分方程的一般形式
w”+p(z)w’+q(z)w=0
方程中点的分类
常点：z0 是 p(z) 和 q(z) 的解析点
正则奇点：z0 是 (z-z0) p 和 (z-z0)2 q 的解析点
非正则奇点：其它情况各点邻域级数解的形式各点邻域级数解的形式非正则奇点 z0 邻域
有一解为常点z0邻域
两解均为正则奇点 z0 邻域
有一解为
其中 s 由判定方程确定a0≠0勒让德方程的级数解勒让德方程的级数解勒让德方程的级数解勒让德方程的级数解勒让德方程的级数解勒让德方程的级数解勒让德方程的级数解勒让德方程的级数解性质：
奇偶性：y0为偶函数，y1为奇函数；
退化性：l 为非负整数时，级数解退化为多项式；
收敛性：特解的收敛半径为 1 ；
有界性：在 x = ±1 时，非退化级数解发散。贝塞尔方程的级数解贝塞尔方程的级数解ak<0=0贝塞尔方程的级数解贝塞尔方程的级数解贝塞尔方程的级数解贝塞尔方程的级数解性质：
奇偶性：m为奇偶整数时，Jm和Nm为奇偶函数；
收敛性：特解的收敛半径为 ∞ ；
有界性：在 x → 0，m≥0 时, Jm有界，Nm发散。斯图姆—刘维尔本征值问题斯图姆—刘维尔本征值问题本征值问题
本征值：使带边界条件的常微分方程有非零解的参数值
本征函数：相应的非零解
本征值问题：求本征值和本征函数的问题
斯特姆—刘维尔本征值问题
斯特姆—刘维尔型方程
斯特姆—刘维尔型边界条件
斯特姆—刘维尔本征值问题的性质
可数性：存在可数无限多个本征值；
非负性：所有本征值均为非负数；
正交性：对应不同本征值的本征函数带权正交；
完备性：满足边界条件的光滑函数可以按本征函数展开。斯特姆—刘维尔本征值问题斯特姆—刘维尔本征值问题斯特姆—刘维尔型方程其中k(x)、q(x)和ρ(x)都非负；
k(x)、k’(x)和q(x)连续或以端点为一阶极点。
斯特姆—刘维尔型边界条件
三类齐次边界条件
周期性边界条件
有界性边界条件斯特姆—刘维尔本征值问题斯特姆—刘维尔本征值问题本征函数集合的正交性和完备性本征函数集合的正交性和完备性正交性完备性展开系数本征函数集合的正交性和完备性本征函数集合的正交性和完备性例题1问题本征函数正交性完备性本征函数集合的正交性和完备性本征函数集合的正交性和完备性例题2问题本征函数正交性完备性本征函数集合的正交性和完备性本征函数集合的正交性和完备性例题3问题本征函数正交性完备性null本章小结
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