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高考数学专题8常用数学方法.doc

高考数学专题8常用数学方法

孤独者
2012-06-09 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《高考数学专题8常用数学方法doc》,可适用于高中教育领域

第讲高考中常用数学的方法配方法、待定系数法、换元法一、知识整合配方法、待定系数法、换元法是几种常用的数学基本方法这些方法是数学思想的具体体现,是解决问题的手段,它不仅有明确的内涵,而且具有可操作性,有实施的步骤和作法配方法是对数学式子进行一种定向的变形技巧,由于这种配成“完全平方”的恒等变形,使问题的结构发生了转化,从中可找到已知与未知之间的联系,促成问题的解决待定系数法的实质是方程的思想,这个方法是将待定的未知数与已知数统一在方程关系中,从而通过解方程(或方程组)求得未知数换元法是一种变量代换,它是用一种变数形式去取代另一种变数形式,从而使问题得到简化,换元的实质是转化二、例题解析例.已知长方体的全面积为,其条棱的长度之和为,则这个长方体的一条对角线长为()(A)(B)(C)(D)分析及解:设长方体三条棱长分别为x,y,z,则依条件得:(xyyzzx)=,(xyz)=而欲求的对角线长为,因此需将对称式写成基本对称式xyz及xyyzzx的组合形式,完成这种组合的常用手段是配方法故==∴,应选C例.设F和F为双曲线的两个焦点,点P在双曲线上且满足∠FPF=°,则ΔFPF的面积是()(A)(B)(C)(D)分析及解:欲求(),而由已知能得到什么呢?由∠FPF=°,得(),又根据双曲线的定义得|PF||PF|=(),那么()、()两式与要求的三角形面积有何联系呢?我们发现将()式完全平方,即可找到三个式子之间的关系即,故∴,∴选(A)注:配方法实现了“平方和”与“和的平方”的相互转化例.设双曲线的中心是坐标原点,准线平行于x轴,离心率为,已知点P(,)到该双曲线上的点的最近距离是,求双曲线方程分析及解:由题意可设双曲线方程为,∵,∴a=b,因此所求双曲线方程可写成:(),故只需求出a可求解设双曲线上点Q的坐标为(x,y),则|PQ|=(),∵点Q(x,y)在双曲线上,∴(x,y)满足()式,代入()得|PQ|=(),此时|PQ|表示为变量y的二次函数,利用配方法求出其最小值即可求解由()式有(y≥a或y≤a)二次曲线的对称轴为y=,而函数的定义域y≥a或y≤a,因此,需对a≤与a>分类讨论()当a≤时,如图()可知函数在y=处取得最小值,∴令,得a=∴所求双曲线方程为()当a>时,如图()可知函数在y=a处取得最小值,∴令,得a=,∴所求双曲线方程为注:此题是利用待定系数法求解双曲线方程的,其中利用配方法求解二次函数的最值问题,由于二次函数的定义域与参数a有关,因此需对字母a的取值分类讨论,从而得到两个解,同学们在解答数习题时应学会综合运用数学思想方法解题例.设f(x)是一次函数,且其在定义域内是增函数,又,试求f(x)的表达式分析及解:因为此函数的模式已知,故此题需用待定系数法求出函数表达式设一次函数y=f(x)=axb(a>),可知,∴比较系数可知:解此方程组,得,b=,∴所求f(x)=例.如图,已知在矩形ABCD中,C(,),点A在曲线(x>,y>)上移动,且AB,BC两边始终分别平行于x轴,y轴,求使矩形ABCD的面积为最小时点A的坐标分析及解:设A(x,y),如图所示,则(x)(y)()此时S表示为变量x,y的函数,如何将S表示为一个变量x(或y)的函数呢?有的同学想到由已知得xy=,如何利用此条件?是从等式中解出x(或y),再代入()式,因为表达式有开方,显然此方法不好如果我们将()式继续变形,会得到S=(xy)xy()这时我们可联想到xy与xy、xy间的关系,即(xy)=xy因此,只需设t=xy,则xy=,代入()式得S=t()S表示为变量t的二次函数,∵<x<,<y<,∴<t<,∴当t=时,SABCD的最小值为此时EMBEDEquation注:换元前后新旧变量的取值范围是不同的,这样才能防止出现不必要的错误例.设方程xkx=的两实根为x,x,若≥,求k的取值范围解:∵≥,以,代入整理得(k)≥,又∵Δ=k≥,∴解得k∈()∪,例.点P(x,y)在椭圆上移动时,求函数u=xxyyxy的最大值解:∵点P(x,y)在椭圆上移动,∴可设于是==令,∵,∴|t|≤于是u=,(|t|≤)当t=,即时,u有最大值∴θ=kπ(k∈Z)时,例.过坐标原点的直线l与椭圆相交于A,B两点,若以AB为直径的圆恰好通过椭圆的左焦点F,求直线l的倾斜角解:设A(x,y),B(x,y)直线l的方程为y=kx,将它代入椭圆方程整理得(*)由韦达定理,(),()又F(,)且AF⊥BF,∴,即,将,代入上式整理得,将()式,()式代入,解得故直线l的倾斜角为或注:本题设交点坐标为参数,“设而不求”,以这些参数为桥梁建立斜率为k的方程求解例.设集合A={}()若A中有且只有一个元素,求实数a的取值集合B()当a∈B时,不等式xx<a(x)恒成立,求x的取值范围解:()令t=x,则t>且方程化为tta=(*),A中有且只有一个元素等价于方程(*)有且只有一个正根,再令f(t)=tta,则Δ=或即a=或a≤,从而B=(,∪{}()当a=时,<x<,当a≤,令g(a)=a(x)(xx),则当a≤时不等式恒成立,即当a≤时,g(a)>恒成立,故≤综上讨论,x的取值范围是(,)unknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknown

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