null第4章 试验数据的回归分析第4章 试验数据的回归分析4.1 基本概念 4.1 基本概念 (1) 相互关系
①确定性关系 :
变量之间存在着严格的函数关系
②相关关系 :
变量之间近似存在某种函数关系
(2) 回归分析(regression analysis)
处理变量之间相关关系的统计方法
确定回归方程:变量之间近似的函数关系式
检验回归方程的显著性
试验结果预测4.2 一元线性回归分析 4.2 一元线性回归分析 4.2.1 一元线性回归方程的建立
(1)最小二乘原理
设有一组试验数据 (如
表
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),若x,y符合线性关系 nulla,b——回归系数(regression coefficient) 计算值 与试验值yi不一定相等 与yi之间的偏差称为残差:——回归值/拟合值,由xi代入回归方程计算出的y值。 一元线性回归方程 :null残差平方和 :
残差平方和最小时,回归方程与试验值的拟合程度最好求残差平方和极小值:null正规方程组(normal equation) :
解正规方程组:null简算法:
4.2.2 一元线性回归效果的检验 4.2.2 一元线性回归效果的检验 (1)相关系数检验法
①相关系数(correlation coefficient) :
描述变量x与y的线性相关程度
定义式:
②相关系数特点:②相关系数特点:-1≤r≤1
r=±1:x与y有精确的线性关系nullr<0:x与y负线性相关(negative linear correlation)
r>0:x与y正线性相关(positive linear correlation)
nullr≈0时 ,x与y没有线性关系 ,但可能存在其它类型关系
相关系数r越接近1,x与y的线性相关程度越高
试验次数越少 , r越接近1
③相关系数检验 ③相关系数检验 对于给定的显著性水平α,查相关系数临界值rmin当 ,说明x与y之间存在显著的线性关系
(2)F检验 (2)F检验 ①离差平方和
总离差平方和: 回归平方和(regression sum of square) : 残差平方和 : 三者关系:②自由度 ②自由度 SST的自由度 :dfT=n-1
SSR的自由度 :dfR=1
SSe的自由度 :dfe=n-2
三者关系: dfT= dfR +dfe
③均方 ④F检验 ④F检验 F服从自由度为(1,n-2)的F分布
给定的显著性水平α下 ,查得临界值: Fα(1,n-2)
若F> Fα(1,n-2) ,则认为x与y有明显的线性关系,所建立的线形回归方程有意义⑤方差分析表 ⑤方差分析表 4.3 多元线性回归分析4.3 多元线性回归分析(1)多元线性回归形式
试验指标(因变量)y与m个试验因素(自变量) xj(j=1,2,…,m)
多元线性回归方程:
4.3.1 多元线性回归方程的建立 偏回归系数:(2)回归系数的确定(2)回归系数的确定根据最小二乘法原理 :求偏差平方和最小时的回归系数
偏差平方和:
根据: 得到正规方程组,正规方程组的解即为回归系数。4.3.2 多元线性回归方程显著性检验 4.3.2 多元线性回归方程显著性检验 (1) F检验法
总平方和:
回归平方和: 残差平方和:nullF服从自由度为(m,n-m-1)的分布
给定的显著性水平α下 ,若F>Fα(m,n-m-1 ),则y与x1,x2,…,xm间有显著的线性关系 方差分析表: (2)相关系数检验法 (2)相关系数检验法 复相关系数(multiple correlation coefficient)R :
反映了一个变量y与多个变量( x1,x2,…,xm )之间线性相关程度
计算式 :R=1时,y与变量x1,x2,…,xm之间存在严格的线性关系
R≈0时,y与变量x1,x2,…,xm之间不存在线性相关关系
当0<R<1时,变量之间存在一定程度的线性相关关系
R>Rmin时 ,y与x1,x2,…,xm之间存在密切的线性关系 R一般取正值 ,0≤R≤1 4.3.3 因素主次的判断 4.3.3 因素主次的判断 (1)偏回归系数的标准化
设偏回归系数bj的标准化回归系数为Pj: Pj越大,则对应的因素(xj)越重要(2) 偏回归系数的显著性检验 (2) 偏回归系数的显著性检验 计算每个偏回归系数的偏回归平方和SSj :
SSj=bjLjy
SSj的大小表示了因素xj对试验指标y影响程度,对应的自由度dfj=1
服从自由度为(1,n-m-1)的F分布 如果若F< Fα(1,n-m-1 ), ,则说明xj对y的影响是不显著的,这时可将它从回归方程中去掉,变成(m-1)元线性方程
(3)偏回归系数的t检验 (3)偏回归系数的t检验 t值的计算 :单侧t分布表 检验: →如果 说明xj对y的影响显著,否则影响不显著, 4.4.1 一元非线性回归分析 4.4.1 一元非线性回归分析 通过线性变换,将其转化为一元线性回归问题 :
直角坐标中画出散点图;
推测y与x之间的函数关系;
线性变换;
用线性回归方法求出线性回归方程;
返回到原来的函数关系,得到要求的回归方程 4.4 非线性回归分析4.4.2 一元多项式回归 4.4.2 一元多项式回归 任何复杂的一元连续函数都可用高阶多项式近似表达 :
可以转化为多元线性方程:4.4.3 多元非线性回归 如果试验指标y与多个试验因素xj之间存在非线性关系,如二次回归模型 :4.5 Excel在回归分析中的应用 4.5 Excel在回归分析中的应用 4.5.1 “规划求解”在回归分析中应用
解方程组
最优化
4.5.2 Excel内置函数在回归分析中应用
4.5.3 Excel图表功能在回归分析中的应用
4.5.4 分析工具库在回归分析中应用